三重積分的應(yīng)用

1、三重積分的應(yīng)用教學(xué)目的：掌握三重重積分在體積，質(zhì)量，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等方面的應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：空間 物體的質(zhì)量，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法教學(xué)難點(diǎn)：三重積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一、立體的體積由三重積分的幾何意義知V = dxdydz例1求曲面x= y= z-i 2a=與z_.xy所圍成的立體體積.解門(mén)由錐面和球面圍成，采用球面坐標(biāo)，由 x: y1 z2 = 2a2 r 二.2a, z = x: y:,40 _r _ 2a,0,0_r _2 二,-4由三重積分的性質(zhì)知V二dxdydz,二匸 -2a（2嚴(yán)V d d :r sin drq0POJ空間物體的質(zhì)量由三重積分的物理意義知，當(dāng)物體在（X, y, y）處的

2、體密度為?（X, y, Z）時(shí)，其質(zhì)量為M匸（x, y, z） dxdydzQ例2設(shè)一物體是由yoz平面上的曲線y-2z繞Z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面z二5所圍成的閉區(qū)域，在任一點(diǎn)的體密度為U（x, y, z） = xy ,求物體的質(zhì)量解曲線八繞Z軸旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為z = g(x2 + y譏故0由拋物面 z=2(X3 yO與z二5所圍成知，門(mén)在xoy平面上的投影為x5 y -10由三重積分的物理意義知物體的質(zhì)量為:dV =(y z ) dv = o d To d10rr5 .rd T2250xy =v三、重心設(shè)V是密度為x, y, z的空間物體，x, y, z在v上連續(xù)，因V的質(zhì)量為 *1

3、11 ? (x, y, z) dxdydz,對(duì)平面的靜力矩為 m x?(x, y, z) dxdydz,由重VV心坐標(biāo)的概念有，以jy分別表示V的重心的各個(gè)坐標(biāo)，應(yīng)有Mx ! ! j (x, y, z) dxdydz,所以Vin x (x. y. z) dxdydz m x (x. y. z) dxdydzx =二MM! ! ! y (x y. z) dxdydz i n y (x. y. z) dxdydz類似地有:y二q二qMMz： 、(x.y.z)dxdydz hj : z：厶MM! ydxdydz若“y,z為常數(shù)，則zdxdydzQ例3求密度均勻的上半橢球體的重心.解：設(shè)橢球體方程為2

4、 2 2X y Z ,2 2 2 1 a b c , z_ 0 表不由對(duì)稱性知7二0,而Hizdxdydzz 3cZ =- z 二二一abc/3 8三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)A對(duì)軸I的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I是質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量和到轉(zhuǎn)動(dòng)軸I的距離r的平方的乘積，即當(dāng)討論空間物體V的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題時(shí)，禾I用討 論質(zhì)量、重心等相由的方法可得：設(shè)空間物體 V的密度函數(shù)為8,y,z, 它對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為hi jy2 z2 j x, y, z dxdydz同樣地屮Xs x, y, z dxdydz y = v一 in (x: y: m ix, y, z dxdydz Jz =v對(duì)xy平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為z2 X, y,zdxdydz對(duì)b平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為X2 r x, y, z dxdydz對(duì)zx平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為y2AX,y,zdxdydz對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為x, y, zdxdydz例4設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解：設(shè)球體由式表示，密度函數(shù)為十/“2,則它對(duì)切平面X二R的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 二 k JJJ Jx: + y: + z: (x _ R J dxdydzVk Jd U Jd J(R - r sin co 曲 丫 r sindr r6=o oo= 9例5 求邊長(zhǎng)為密度均勻的立方體關(guān)于其任一棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解:如圖，求Jza a a0 dx0 dy o (x: