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文檔簡介
1、引 言常微分方程理論從創(chuàng)立到現(xiàn)在已有300多年的歷史了。在二十世紀六、七十年代之后,隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展,常微分方程也相應(yīng)進入了新的時期,從“求所有解”的時代轉(zhuǎn)向“求特殊解”的時代。也正是在這一階段,科學(xué)工作者發(fā)現(xiàn)了混沌與微分方程直接相關(guān)。在二十世紀六十年代美國lorenz在氣象數(shù)值研究中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子,自此,混沌在許多的領(lǐng)域中不斷地發(fā)展。近幾十年來,隨著一些專家學(xué)者對混沌理論以及其應(yīng)用的廣泛研究,人們已經(jīng)開始對混沌現(xiàn)象的相關(guān)規(guī)律以及其在自然學(xué)科、社會學(xué)科中的應(yīng)用有了一個廣泛的認識與了解。對于極為著名的“蝴蝶效應(yīng)”常被用來說明在動力系統(tǒng)中存在著一類對初值特別地敏感的不穩(wěn)定系統(tǒng)。但對于
2、混沌系統(tǒng)的研究到目前為止還并不是很充分,對于數(shù)值計算也無法進行全面的定性分析。更者,解對于初值特別的敏感,這致使近似的數(shù)值解與方程的真實解之間的逼近程度是有限的。最近一些學(xué)者從數(shù)學(xué)理論的高度嚴格論證了蝴蝶吸引子的存在性的信息。對于lorenz混沌系統(tǒng)而言,它一般在大范圍內(nèi)是收斂的,即是耗散的,在小范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的,即是混沌的。俄羅斯的學(xué)者leonov在經(jīng)過大量地研究后,得出了目前為止所有混沌系統(tǒng)中第一個也是唯一的一個全局最終有界的結(jié)果,即lorenz系統(tǒng)的吸引集的一個圓柱形估計式以及一個球形估計式?;煦鐚Τ踔捣浅5拿舾?,這使得學(xué)者們長期以來一致認為混沌系統(tǒng)是不可控的,而兩個混沌系統(tǒng)更加不會同步
3、。在九十年代美國首次利用混沌同步得到了保密通信使得人們對混沌的理論及應(yīng)用產(chǎn)生了很大的興趣。自此,出現(xiàn)了大量的研究論文。自從lorenz在一個簡單的三維自治系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子之后,人們又經(jīng)過不斷地研究發(fā)現(xiàn)了新的混沌吸引子。在這幾年,一些研究學(xué)者又不斷地在研究lorenz混沌系統(tǒng)的最終有界性。本文對于一個新的混沌系統(tǒng)進行了研究,一些學(xué)者對這個新的混沌系統(tǒng)以及其動力學(xué)行為等一些方面進行研究之后,得出了這類混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集的一些結(jié)論,但是卻沒有包括該混沌系統(tǒng)的所有正參數(shù)的情況。為此,本文根據(jù)全局指數(shù)吸引集的定義以及李雅普諾夫穩(wěn)定性的理論,通過構(gòu)造新的廣義正定的李雅普諾夫函數(shù)簇,并結(jié)合一
4、些其它的數(shù)學(xué)方法,給出一些新的吸引集的指數(shù)估計,對此進行一定嚴格地證明,同時設(shè)計了一個線性反饋控制器,得到了兩個混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步的相關(guān)結(jié)論。第一章 預(yù)備知識、基本工具1.1 常微分方程的基本定理本節(jié)主要介紹了常微分方程的幾個基本定理??紤]微分方程組 . (1.1)其中, ,是定義域為,值域為的連續(xù)函數(shù),且(1.1)式也可寫為向量形式: .對,若有正常數(shù),使 .那么就稱在上滿足利普希茨條件。如果對于某一正實數(shù),所有的偏導(dǎo)存在,并在上滿足 則也滿足利普希茨條件。定理1.1 如果在上連續(xù),并且滿足利普希茨條件,那么對,總有,使得在內(nèi)存在唯一解滿足 此時也稱(1.1)式的柯西問題的解存在唯一。定理1
5、.2 設(shè)在上連續(xù),滿足利普希茨條件,則有1) 若(1.1)式的兩個均位于內(nèi)的解,在上均有定義,那么對于,在時,有在上恒成立。2)若連續(xù),那么也連續(xù)。考慮依賴于參數(shù)的微分方程組 (1.2)其中,且對每一滿足利普希茨條件。定理1.3 1) 對于,使得在時,(1.2)式有惟一的解滿足初值在上有定義,并且是的連續(xù)函數(shù)。2) 若是的連續(xù)可微函數(shù),那么對連續(xù)可微。1.2 微分、積分不等式本節(jié)主要介紹一些微分積分不等式用以研究之后的問題。定理1.4 設(shè)純量函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在含曲線的某一區(qū)域內(nèi)連續(xù)。右導(dǎo)數(shù)存在且有 如果是 在內(nèi)的右行最大解,那么就有,.定理1.5 設(shè)函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)且對于不減,在上連續(xù),
6、在上,且滿足積分不等式 ,滿足微分不等式 那么就有.由定理1.6進而得出結(jié)論:設(shè)是上的連續(xù)非負實值函數(shù),如果對,滿足 ,那么對,則有 .定理1.6(第一比較定理)設(shè)純量函數(shù)在平面區(qū)域上連續(xù)且有 .如果分別為 與的解,那么1) 在且屬于兩者的共存區(qū)間時,2) 在且屬于兩者的共存區(qū)間時,定理1.7(第二比較定理)設(shè)是平面上的連續(xù)函數(shù)且有 ,如果分別是方程 與的唯一解,其中,那么1) ,2) .1.3 幾個重要的函數(shù)本節(jié)主要對李雅普諾夫函數(shù),狄尼導(dǎo)數(shù)的相關(guān)定義進行了描述。首先介紹李雅普諾夫函數(shù)的相關(guān)定義。設(shè),是包含原點的維子集,是定義在上的連續(xù)函數(shù),是定義在上的連續(xù)函數(shù),定義1.1 若,且只有零解,
7、則稱函數(shù)在上是正定(負定)函數(shù)。定義1.2 若,且有非零解,則稱在上是半正定(半負定)函數(shù),或稱為常正(常負)函數(shù)。定義1.3 若正定(負定),使得在上成立,并且則稱在上正定(負定)。若,則稱在上是半正定(半負定)的。對于狄尼導(dǎo)數(shù),它使得用不可導(dǎo)的李雅普諾夫函數(shù)證明定理時證法要簡單得多。下面介紹狄尼導(dǎo)數(shù)。設(shè),對,有1) 稱為在處的右上導(dǎo)數(shù);2) 稱為在處的右下導(dǎo)數(shù);3) 稱為在處的左上導(dǎo)數(shù);4) 稱為在處的左下導(dǎo)數(shù)。上述四個導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為狄尼導(dǎo)數(shù)。在滿足利普希茨條件時,上述導(dǎo)數(shù)均有限,且當(dāng)且僅當(dāng)四個導(dǎo)數(shù)相等時的導(dǎo)數(shù)存在。1.4 hurwitz矩陣,m矩陣判定的簡化形式本節(jié)主要對hurwitz矩陣以
8、及m矩陣進行了簡單的介紹。設(shè)如果,那么為hurwitz多項式,即為hurwitz矩陣這里在或者時,這里要判斷個行列式的正負。定義1.4 對于一個是矩陣,如果滿足下列條件1)2)那么稱該矩陣為一個矩陣。與該定義等價的矩陣的判別條件有;(1) ,是一個非負矩陣,即(2) ,并且,使得或者(3) ,僅有負實部特征值,即是一個霍爾維茨矩陣。1.5 穩(wěn)定性與吸引性本節(jié)主要介紹了穩(wěn)定性與吸引性的概念以及穩(wěn)定性定理??紤]微分方程組 , (1.3)現(xiàn)在來討論此方程組的零解鄰近解的性態(tài)。定義1.5 如果對,使得在滿足時,方程組(1.3)由初值條件確定的解,對,有,那么就稱(1.3)的零解是穩(wěn)定的。如果,即使,但
9、存在,有,那么稱(1.3)的零解是不穩(wěn)定的。定義1.6 如果對,在,時,滿足 ,那么稱(1.3)的零解是吸引的。定義1.7 如果,在時有,那么就稱(1.3)的解是指數(shù)穩(wěn)定的。定義1.8 如果,在時,有那么就稱(1.3)的解是全局指數(shù)穩(wěn)定的。對于下面的維非自治微分方程 為上的連續(xù)函數(shù),保證上式解的唯一性,且有。定理1.8 如果為正定函數(shù),其中滿足,使得 那么上式的零解是穩(wěn)定的。第二章 新混沌系統(tǒng)的全局吸引集的結(jié)果及應(yīng)用2.1 新混沌系統(tǒng)的全局吸引集 本節(jié)主要是介紹了一個新的混沌系統(tǒng)的全局吸引集的一些相關(guān)理論??紤]下面的混沌系統(tǒng) (2.1)式中:系統(tǒng)的參數(shù)滿足。記。對于 即可稱為(2.1)式的廣義
10、正定徑向無界的李雅普諾夫函數(shù)。定義2.1 如果,對于時,有 ,則稱為(2.1)的一個全局吸引集。如果對于,有,那么就稱為正向不變集。如果還有,在時有指數(shù)估計式 ,則稱為(2.1)式的一個全局指數(shù)吸引集。定理2.1 令,,其中,那么(2.1)有全局指數(shù)吸引集估計式: 特別地, ,為(2.1)式的全局吸引集。證明 對于李雅普諾夫函數(shù) (2.2)估計沿著(2.1)的正半軌線關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)有 而對于 故有。 時,在時有: (2.3)對于微分方程 有解則對于(2.3)有:,即,則有,那么為全局吸引集。 時,在時有: (2.4) 對于微分方程 有解則對于(2.4)有:,即,則有,那么為全局吸引集。綜上可得
11、:系統(tǒng)(2.1)式有全局指數(shù)吸引集估計式: 且特別地有 ,為(2.1)的全局吸引集。2.2 新混沌系統(tǒng)的線性反饋全局指數(shù)同步本節(jié)主要是對于第一節(jié)中的混沌系統(tǒng)的線性反饋的全局指數(shù)同步的相關(guān)理論進行了詳細的介紹。對于混沌系統(tǒng)(2.1)設(shè)其驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)分別為: (2.5) (2.6)取,那么就有誤差動力系統(tǒng): (2.7)式中的為控制信號,且滿足。定義2.2 對于以及其相對應(yīng)的,如果滿足 ,其中,是依賴于始值的常數(shù),那么就稱(2.7)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的,且稱(2.5)與(2.6)是全局指數(shù)同步的。定理2.2 對于,我們總可以選擇線性反饋控制 (2.8)使得系統(tǒng)(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從
12、而系統(tǒng)(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 證明 在時,有矩陣令,則有:,并且存在,使得 ,即可使得滿足 故只要有,那么為矩陣,故為hurwitz矩陣。在時,有矩陣令,則有,并有,使得 ,即可使得滿足 , 所以只要有,則有,則為矩陣,則為hurwitz矩陣。對混沌系統(tǒng)(2.7)作向量的李雅普諾夫函數(shù) 沿著混沌系統(tǒng)(2.7)的解求狄尼導(dǎo)數(shù),有 當(dāng)時,有 (2.9)當(dāng)時,有 (2.10)在微分不等式(2.9),(2.10)中考慮比較方程 求該方程,解得: 由是hurwitz矩陣,所以為常數(shù),使得 在時,有 則有結(jié)論(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從而有(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 定理2.3
13、 選取 ,則有(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從而(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 證明 考慮正定徑向無界的李雅普諾夫函數(shù) , (2.11)令有在時, 對于矩陣有,由有 由有 ,故是負定的。由于是對稱矩陣,則為正定矩陣,使得 ,其中為矩陣的特征值。那么令,則有 而于是有 解得:,則有 在時有對于矩陣有由有 由有 所以式負定的。于是有 解得:,則有 故(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從而(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 定理2.4 選取 則有(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從而(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 證明 同樣的考慮函數(shù) 在時有對于矩陣有,由有 由有 故是負定的。于是有 解得:故
14、有 ,在時有對于矩陣有,由有 由有 故是負定的。于是有 解得:故有 則結(jié)論成立。 定理2.5 設(shè),選取 ,那么(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,式(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。證明 仍然考慮下列正定的徑向無界的李雅普諾夫函數(shù) 在時有對于矩陣有,由,可得: 以及 ,則有是負定的。于是就有 解得:即有 ,在時有對于矩陣有,由,可得: 以及 ,則有是負定的。于是就有 解得:即有 ,由此結(jié)論成立,即(2.7)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,式(2.5)與(2.6)全局指數(shù)同步。 結(jié)論本文在第一章、第二章中分別寫了有關(guān)常微分方程的一些基本的概念與定理等研究的理論與工具以及對于一個新的混沌系統(tǒng)的全局吸引集和全局指數(shù)
15、同步的相關(guān)的結(jié)論與應(yīng)用。在第一章中,首先對常微分方程理論中的幾個最基本的定理進行了介紹,之后又對微分和積分不等式的相關(guān)定理進行了敘述,還敘述了比較著名的比較定理,隨后簡要地給出了李雅普諾夫函數(shù)、狄尼導(dǎo)數(shù)的定義及其相關(guān)定理。其中李雅普諾夫函數(shù)是核心工具。緊接著介紹了hurwitz矩陣,m矩陣判定的簡化形式。最后系統(tǒng)地介紹了各種穩(wěn)定性、吸引性的相關(guān)數(shù)學(xué)定義與定理,這些工具概念對第二章的內(nèi)容的研究有重要的作用,貫穿文章始終。 在第二章中,首先對文獻【22】中所提出的一個新的混沌系統(tǒng)的全局吸引集的定義進行了簡要地介紹,之后通過構(gòu)造新的李雅普諾夫函數(shù)以及運用積分不等式,比較定理等工具對該混沌系統(tǒng)的全局吸
16、引集以及全局指數(shù)吸引集估計式的定理進行了詳細的證明。接著敘述了該混沌系統(tǒng)線性反饋的全局指數(shù)同步的定義,又通過構(gòu)造向量的李雅普諾夫函數(shù),普通的李雅普諾夫函數(shù)以及霍爾維茨矩陣,狄尼導(dǎo)數(shù)等工具,選擇了四種線性反饋控制,對混沌系統(tǒng)的誤差動力系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性,該混沌系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的全局指數(shù)同步的結(jié)論進行了詳細的證明。謝 辭本文是在錢守國老師的耐心指導(dǎo)下完成的,錢老師從選擇課題直到全稿的完成都提出了很多寶貴的意見。在此,對錢守國老師表示衷心的感謝!同時對所有給與幫助的老師以及同學(xué),還有參考文獻的相關(guān)作者一并表示深深的謝意。感謝數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的各位老師四年來的悉心教導(dǎo),使我學(xué)到了很多的知識與道理,感
17、謝四年來與我并肩的同學(xué)們。最后感謝我的家人,感謝他們一直以來對我無微不至的關(guān)懷! 參考文獻1 lorenz z n.deterministic non-periodic flow.j atoms sci,1963,20:1301412 lorenz e.n.the essence of chaos.washington:usa university of washington press,19933 sparrow c.the lorenz equations:bifurcation,chaos and strange attractors,new york,berlin-heideler:s
18、pringer press,19824 ruelle,d.,lorenz attractor and problem of turbulence,inlecture notes in mathematics,v565,new york:springer-verlag,19765 陳關(guān)榮,呂金虎.lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析控制與同步.北京,科學(xué)出版社,20036 stwart i.the lorenz attractor exists.nature,2002,406:9489497 tucker w.the lorenz attractor exists.c r acad sci paris
19、,1999,328:11912028 leonov g,reitmann v.attraktoreingrenzuny fur nichtlineare system.teubner-verlag,leipzing,19879 leonov g,bunin a,koksch n.attractor localization of the lorenz system.zamm,1987,67:64965610 pecora l m,carroll l t l.synchronization in chaotic circuits.phys rev lett,1990,64(8):82182411
20、 pecora l m,carroll l t l.driving systems with chaotic signals.phys rev a,1991,44(4):2374237812 chen g,dong x.from chaos to order,world scientific pub co singapore,198813 關(guān)新平,范正平,陳彩蓮,等.混沌控制及其在保密通信中的應(yīng)用.北京:國防工業(yè)出版社,200214 brown r,kocorev l.a unified definition of synchronization for dynamic system.chao
21、s.2000,10:34434915 liao x x,chen g r,wang h o.one global synchronization of chaotic systems,dynamic continuous.discrete and impulsive systems ser b,2003,10(6):86587216 liao x x,chen g r.chaos synchronization of general lurie systems via time-lag feedback control.int j bifurcation and chaos,2003,13(1
22、):20721317 liao x x,chen g r.on feedback-controlled synchronization of chaotic sysems.int j of systems science,2003,34(7):45446118 廖曉昕,陳關(guān)榮.some new results on chaos synchronization. control theory & applications,2003,2092):25425819 chen g r,ueta t.yet another chaotic attractorj.int j bifurcation chaos,1999,9(7):1465146620 lu h,chen g r.a new chaotic attractor coinedj.int j bifurcation cha
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