角提高知識講解

1、 【學(xué)習(xí)目標】 1 掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進行角度的互換； 2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進行有關(guān)計算； 4. 掌握互為余角和互為補角的概念及性質(zhì)，會用余角、補角及性質(zhì)進行有關(guān)計算; 5. 了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題. 【要點梳理】 【要點梳理】 【高清課堂：角 397364 角的概念：】 知識點一、角的概念 1. 角的定義: (1 )定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的 兩條邊.如圖1所示，角的頂點是點 0，邊是射線 0A、OB . (2)定義二

2、：圖一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而 形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng) 過的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線 0A繞它的端點 0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時，形成的圖形叫做 角，起始位置 0A是角的始邊，終止位置 0B是角的終邊. 要點詮釋: (1) 兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān). (2) 平角與周角：如圖1所示射線0A繞點0旋轉(zhuǎn)，當終止位置 0B和起始位置0A成一條直線時，所 形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時，所形成的角叫做周角. 2. 角的表示法：角的幾何符號用表示，角的表示法通常有以下四種： 要點詮釋： 用數(shù)字或小寫希臘字 母. 母表示角時，

3、要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字 3. 角的畫法 (1) 用三角板可以畫岀30、45、60、90等特殊角； (2) 用量角器可以畫岀任意給定度數(shù)的角； (3) 利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角. 知識點二、角的比較與運算 1. 角度制及其換算 1 角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是 1的角，1的 為1 60 1 分，記作“ 1”，1的 為1秒，記作“ T ” 這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度 60 制. 要點詮釋： 在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從 高一位借的單位要化為

4、低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于 60時要向高一位進 位. 2. 角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種. 方法1:度量比較法先用量角器量岀角的度數(shù)，然后比較它們的大小. 方法2:疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較. 如比較/ AOB和/ A O B 的大小：如下圖，由圖（1）可得/ AOB Z A O B . 3. 角的和、差關(guān)系 如圖所示，/ AOB是/ 1與/ 2的和，記作：/ AOB =Z 1 + / 2; Z 1是/ AOB與/ 2的差，記作： / 1 = Z AOB - / 2. 要點詮釋： （1）用量角器量角和畫角的一般步驟：對中

5、（角的頂點與量角器的中心對齊）；重合（一邊與刻度尺上 的零度線重合）；讀數(shù)（讀岀另一邊所在線的度數(shù) ）. （2）利用三角板除了可以做岀30 、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫岀15, 75, 105 ， 120 ， 135 ， 150 ， 165 的角. 4. 角平分線 從一個角的頂點岀發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，OC 是/ AOB 的角平分線，/ AOB = 2 / AOC = 2 / BOC， 1 / AOC =Z BOC =/ AOB . 2 要點詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣. 知識點三、余角和

6、補角 1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90 （直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個 角的余角. 類似地，如果兩個角的和等于180 （平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的 補角. 2性質(zhì)：（1）等角的余角相等.（2）等角的補角相等. 要點詮釋： （1）互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān). （2）一般地，銳角a的余角可以表示為（90 -a ），一個角a的補角可以表示為 （180 -a ） 顯然一個銳角 的補角比它的余角大 90. 知識點四、方位角 在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的

7、方向是北偏東 60 ;射 線OB的方向是南偏西 30.這里的“北偏東 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角. 要點詮釋： （1）正東，正西，正南 ，正北4個方向不需要用角度來表示； （2） 方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60 ” 一般不說成“東偏北30”； （3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫岀表示方向的“十字線”，確定其觀察 點的正東、正西、正南、正北的方向； （4） 圖中的點O是觀測點，所有方向線 （射線）都必須以O(shè)為端點. 知識點五、鐘表上有關(guān)夾角問題 鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng) 30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6,時針

8、每小時轉(zhuǎn) 30,時針1分鐘轉(zhuǎn)，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題. 【典型例題】 類型一、角的比較與運算 CP1.利用一副三角板上的角，能畫岀多少個小于180 的角，試一一畫岀來. 【思路點撥】 首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30，45 , 60 , 90這樣4個不相等的角，利用這些角進行 一次和差，可得小于 180的所有角. 【答案與解析】 解：除了可以畫 30 ，45，60 ，90 外，還可畫 15 ，75 ，105 ，120，135 ，150 ，165 的七個度數(shù)的角，畫法如圖所示. A O A B 【點評】利 用一副三 角板共可 以畫岀11 個度數(shù)的 角，分別 是：30 ， 45

9、， 60， 90， 15， 75， 105， 120， 135， 150， O (4) 8 LAOB-750 B LA0B=5Q (1) B Z./4O=105o (3) 165 OB rJO5=i35 (5) O (6) B 乙 *0165。 (7) 2.計算下列各題： (1) 152 49 12 + (3)35 36 47X 9; 【答案與解析】 解：(1)解法一：J 即: 152 49 12 ff 解法二：152 + = 173 即: 152 49 12 (2) 將82化為81 82 -36 42 423 = 7 3， (2)82 - 36 42 (4) 41 37 = 20 10 48

10、 + = 173 . 49 12 =， + = 173 . 59 60，則 15= 45 17 45 324 +7 = 5 31 ， 15 35 36 47X 9= 320 31 3 41 37- 3=13 52 20. 【點評】在角度的和、差運算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進行計算；在進行乘法運 算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60進T,滿60進1;對于除法運算則是從 度開始除，將余數(shù)化為分和以前的分數(shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往 往四舍五入. 舉一反三： 【變式】計算： (1) 23 45 36 +66 14 24；(2)180 -9

11、8 24 30； (3) 15 50 42X 3;(4) 88 14 48+ 4 . 【答案】(1)23 45 36 +66 14 24= 90 ; (2) 180 - 98 24 30= 81 35 30; (3) 15 50 42X 3 = 47 32 6; (4) 88 14 484= 22 3 42. 3.如圖所示表示兩塊三角板. (1) 用疊合法比較/ 1，Za，Z 2的大??； (2) 量岀圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用“V”或“=”連接. 【答案與解析】 1 Za，用同樣的方法, 解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得/ 可得ZaVZ 2 .所以/ 2

12、 = Z 1 Za. (2)用量角器量岀圖中各個角的度數(shù)，分別是/1 = 2 2 = 45,/ 3 = 90，Za= 30，Zp= 60， /丫= 90 ，把它們從小到大排列，有ZaVZ1 = 2 2 v/pvZ 3 = 2丫. 【點評】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先將兩個角的頂點與頂點重合，一條邊與一條邊重合 再比較先量岀每個角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來比較. 舉一反三： 【變式】如圖，Z AOB的平分線OM, ON為Z MOA內(nèi)的一條射線，0G為Z AOB外的一條射線。某同 1 學(xué)經(jīng)過認真分析，得到一個關(guān)系式是ZMON= (Z BON -Z AON )，你認為這個同學(xué)得到的關(guān)系式正

13、2 確嗎？若正確，請把得到這個結(jié)論的過程寫出來。 【答案】 解：正確，理由如下： Z AOB的平分線 OM , Z AOM= Z MOB 又TZ MON= Z AOM -Z AON= Z MOB -Z AON=( Z BON -Z MON) -Z AON 即有Z MON= Z BON -Z MON -Z AON 2 Z MON= Z BON -Z AON 1 Z MON= (Z BON -Z AON ) 2 類型二、余角與補角 KIM 4. (武漢武昌區(qū)期末調(diào)研考試 )已知點O是直線AB上的一點，Z COE = 90，OF是Z AOE的平 分線. (1) 當點C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖所

14、示)時試說明Z BOE = 2Z COF ; (2) 當點C與點E、F在直線AB的兩旁(如圖所示)時(1)中的結(jié)論是否仍然成立 ？請給岀你的結(jié)論 并說明理由； (3) 將如圖中的射線 OF繞點0順時針旋轉(zhuǎn) m (Ov m 180)，得到射線0D，設(shè)/ AOC = n, 2 n 若/ BOD = (60 )，則/ DOE的度數(shù)是多少?(用含n的式子表示) 3 【思路點撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來說明理由. 【答案與解析】 解：(1)如圖，設(shè)/ COF =a， 則/ EOF = 90 - a 因為OF是/ AOE的平分線 所以/ AOF = 90 - a 所以/ AOC

15、= ( 90 - a )- a = 90 -2a / BOE = 180 - / COE - / AOC =180 - 90 -( 90 -2 a) = 2a 即/ BOE = 2 / COF (2) 成立如圖2 、90 設(shè)/ AOC = B，貝U AOF 2 1 所以 COF AOC AOF 45(90 -) 2 2 / BOE = 180 - - / AOE = 180 -( 90 - 3 ) = 90 + 3 所以/ BOE = 2 / COF (3) 因為/ DOE = 180 - / AOE - / BOD 故 DOE的度數(shù)是(305n) 3 【點評】 根據(jù)角平分線，互余及互補的定義

16、，進行有關(guān)角的計算有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng) 分析問題和解決問題的能力. 【高清課堂：角 397364角的有關(guān)計算例 4】 舉一反三： 1 【變式】如圖，已知 O是直線AC上一點，OD平分 AOB，OE在BOC內(nèi)，且 BOE = EOC， DOE 2 =70，求EOC的度數(shù). 【答案】 11 解：設(shè)/ EOC= X ，則BOE = EOC = (一 X),根據(jù)題意可得： 22 解得：x 80 EOC = 2 BOE = 80 5. 輪船在海面上以每小時 15海里的速度向正北方向航行，上午8時到達A處，測得燈塔 C在北 偏西45方向，上午10時到達B處，又測得燈塔 C在北偏西60方向. (

17、1) 根據(jù)題設(shè)條件，選用適當?shù)谋壤弋媽鐖D形； (2) 量出BC的圖上距離，并推算出BC的實際距離；輪船繼續(xù)向北航行到達 D處，這時燈塔C在輪 船的正西方向，這時 CD的實際距離是多少？ (3) 你能確定輪船到達 D處時的時間嗎？ 【答案與解析】 解：(1)如圖所示作圖步驟如下： 從點A引南北、東西方向的兩條直線，并畫岀/ DAC = 45; 輪船從8時到10時共航行了 30海里，在南北方向上截取AB = 7 mm （這時圖距7 mm表示30海 里）； CDA = 90, 畫/ DBC = 60 ，射線AC、BC的交點C就是燈塔C的實際位置；在圖上作/ CD與AD交于點D . （2）從圖中依次

18、量岀 BC 22 mm，BD 11 mm，CD 19 mm，那么BC的實際距離為 里），CD (3) BD 30 的實際距離為19 X 81 （海里）. 7 30 的實際距離為11- 47（海里），輪船船速為15海里/時，所以，輪船到達 7 D處所需時間為 15 （小時），即3小時8分24秒.3小時8分24秒+10小時=13小時8分24秒. 30 11 - 7 答：輪船到達 D處時的時間是13時8分24秒. 【點評】以A點作為南北方向所構(gòu)成的平角的頂點，由觀察點A、B的位置以及它們與 燈塔C的夾角, 由此可確定燈塔 C的位置，然后根據(jù)比例尺和草圖準確地畫圖，并計算即可. 類型三、鐘表上有關(guān)夾角問題 6. 在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線？ 【答案與解析】 解：設(shè)7時x分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得： 1 5 6x x 30， x 5. 2 11 5 答：7時5 分鐘時針與分針成一條直線. 11 【點