2019-2020學(xué)年江蘇省南京市高三(上)12月模擬數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020 學(xué)年江蘇省南京市高三（上）12 月模擬數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共14 小題，共 70.0 分）1.已知全集 ?= -1,0，則 ?=_， 2 ，集合 ?= -1,0?=?(?- ，則-2.已知復(fù)數(shù)? _3+?為虛數(shù)單位 ) ，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為=3.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個容量為30 的樣本，其中高一年級抽 12 人，高三年級抽8 人，若該校高二年級共有學(xué)生500 人，則該校學(xué)生總數(shù)為_4. 執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若 ?= 0，則輸出的 y 的值為 _ 5. 已知 4 ?= 2， log ?= 2?，則正實(shí)數(shù) ?= _1 的定義域記作集合 ?隨.機(jī)地投擲一枚質(zhì)地

2、均勻的正方體骰子(骰子6. 函數(shù) ?(?)= ?的每個面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2， ， 6) ，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t，則事件“ ?”的概率為 _?+?7. 已知銳角 ?滿足 ?= 6?，則 sin?-cos? = _8.在 ?中，角 A， B， C 所對的邊分別為a， b， ?若. ?+2?= 2?，?則 的值為 _?229.已知橢圓 ?1：?+?= 1(? ? 0)222，若橢圓 ?上存在點(diǎn) P，22與圓 ?：? + ? = ?12?由點(diǎn) P 向圓 ?所作的兩條切線PA，PB 且 ?= 60，則橢圓 ?的離心率的取值21范圍是 _8cm、圓心角為?10.將一個半徑為4的扇形薄鐵片，焊接成一個圓錐

3、形容器，則這個圓錐形容器的容積等于3_?11.設(shè)等比數(shù)列 ? 的前項 n 項和為 ?，若 ? =7，? =63 ，則 ? + ? + ? = _?3678912.224上的動點(diǎn)，點(diǎn) ?(4,0)，若直線 ?= ?+ 1上總存在點(diǎn)已知點(diǎn) P 是圓 O：? + ? =Q，使點(diǎn) Q 恰是線段AP 的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為_13. 如圖，在正 ?中，點(diǎn) G 為邊 BC 上的中點(diǎn)，線段 AB，AC 上的動點(diǎn) D， E?分別滿足 ?= ?,?= (1 -?DEF|?|?(?)，設(shè)中點(diǎn)為，記= ?(?)，則的2?) ?(?)?|?取值范圍為 _第1頁，共 17頁14. 已知函數(shù) ?(?)=?1，若對

4、任意實(shí)數(shù)?1 -5?，都存在唯一2?sin(2-6) +26, -22的實(shí)數(shù) ?，使得 ?(?) + ?(?) = 0，則實(shí)數(shù) m 的范圍是 _2 0,?12二、解答題（本大題共11 小題，共142.0 分）15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 為單位圓上在第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線分別與x 軸，直線 ?= ?交于點(diǎn) M， N，設(shè) ?= ?， ?(0,?4) 1(1) 若?= 5 ，求 cos?；(2) 求?的最大值16. 如圖，在四棱錐 ?- ?中，底面 ABCD 是平行四邊形， ?平面 ABCD ， M 是 AD 中點(diǎn)， N 是 PC 中點(diǎn)(1) 求證： ?

5、/ 平面 PAB；(2) 若平面 ?平面 PAD ，求證： ?17. 為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為100m 的扇形土地 OAB 上建造市民廣場 規(guī)劃設(shè)計如圖：矩形 ?(其中 E，F(xiàn) 在圓弧 AB 上， G，H 在弦 AB 上)區(qū)域為運(yùn)動休閑區(qū)， ?區(qū)域為文化展示區(qū)，其余空地為綠化區(qū)域，已知P 為圓弧 AB 中點(diǎn)， OP 交 AB第2頁，共 17頁于 M，cos?=7220，記矩形 EFGH 區(qū)域的面積為 ?(1) 設(shè) ?= ?(?)，將 S 表示成 ?的函數(shù)；(2) 求矩形 EFGH 區(qū)域的面積 S 的最大值E22ABBlx18. 如圖，已知橢圓?= 1(? ? 0) 的長軸為

6、的直線與軸垂： 2 +2，過點(diǎn)?直，橢圓 E 上一點(diǎn)與橢圓E 的長軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大面積為2，且橢圓 E 的離心率 ?= 3 2(1) 求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè) P 是橢圓 E 上異于 A、 B 的任意一點(diǎn)，連接AP 并延長交直線l 于點(diǎn) M ，N 為MB 的中點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)?為橢圓的右焦點(diǎn)，?關(guān)于直線 PN 的對稱點(diǎn)為Q， 若點(diǎn) ?121當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(455 時，求證：點(diǎn) P， Q， ?三點(diǎn)共線5, 5 )2 試判斷直線PN 與橢圓 E 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論19. 已知函數(shù) ?(?)= -?3+ ?+ 1，? ?(1) 若函數(shù) ?= ?(?)的圖象在

7、?= 1處的切線垂直于直線?- 2?+ 1 = 0，求 m 的值；(2) 求函數(shù) ?(?)的單調(diào)區(qū)間；(3) 若函數(shù) ?(?)在 (-1, 2) ，上的極小值也是 ?(?)的最小值， 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍第3頁，共 17頁20. 已知數(shù)列? 是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列?(1) 若?1= 2，且 ?2，?， ?+ 1 成等比數(shù)列，求數(shù)列；34?的通項公式 ?111(2) 在(1) 的條件下，數(shù)列 ?的前 n 和為 ?，設(shè) ?= ?+1 + ?+2 + ? + ?2?，若對任?k 的最小值；意的 ? ，不等式 ? ?恒成立，求實(shí)數(shù)?(3) 若數(shù)列? 中有兩項可以表示為某個整數(shù)?(? 1) 的不同次

8、冪，求證：數(shù)列? ?中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列21. 已知矩陣 ?= ? -1 ，其中 a，?，若點(diǎn) ?(1,2)在矩陣 A 的變換下得到的點(diǎn)? 1?1(2,4)(1) 求實(shí)數(shù) a，b 的值；(2) 求矩陣 A 的逆矩陣22. 在極坐標(biāo)系中， 已知圓 A 極坐標(biāo)方程為 ?= 6?，點(diǎn) M 為圓 A 上異于極點(diǎn) O 的動點(diǎn)，求弦 OM 中點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程23.已知： ? 2， ?求.證： |?- 1 + ?|+ |?- ?| 3 第4頁，共 17頁224. 某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 3，且各次射擊的結(jié)果互不影響，假設(shè)這名射手射擊 3次(1) 求恰有 2 次擊中目標(biāo)的概率；(2) 現(xiàn)在

9、對射手的3 次射擊進(jìn)行計分： 每擊中目標(biāo)1 次得 1 分，未擊中目標(biāo)得0 分；若僅有 2 次連續(xù)擊中，則額外加1 分；若 3 次全擊中，則額外加3 分記 X 為射手射擊 3 次后的總得分，求X 的概率分布列與數(shù)學(xué)期望?(?)25. 已知拋物線2過點(diǎn) (2,1)，直線 l 過點(diǎn) ?(0,-1)與拋物線 C 交于 A，C：? = 2?(? 0)B 兩點(diǎn)點(diǎn)A 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為 ?，連接 ?(1) 求拋物線線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 問直線 ? 是?否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由第5頁，共 17頁答案和解析1.【答案】 2【解析】 解：全集 ?= -1, 0，2 ，集合 ?=

10、-1,0，由補(bǔ)集的定義可得?= 2 故答案為： 2 運(yùn)用集合的補(bǔ)集定義：?= ?|?且 ? ?，即可得到所求本題考查集合的運(yùn)算，主要是補(bǔ)集的求法，注意運(yùn)用定義法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】 4?(3-?)13【解析】 解： ?= 3+?=(3+?)(3-?) = 4+ 4?，-212+ (3 2)2=1?= |?| = ( (4)4 )4故答案為： 1 4直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由-2求解?= |?|本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，考查復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題3.【答案】 1500【解析】 解：該校學(xué)生總數(shù)為x，則由題意可得30-12-8= 30 ，

11、500?解得 ?= 1500 ，故答案為： 1500由題意利用分層抽樣的定義和方法，求得該校學(xué)生總數(shù)本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】 1【解析】 【分析】根據(jù)題意得出執(zhí)行程序后輸出函數(shù)y，由此求出結(jié)果本題考查了程序語言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題【解答】解：根據(jù)題意知，執(zhí)行程序后，輸出函數(shù)?= ?,?0，?,? 00當(dāng) ?= 0時， ?= ? = 1故答案為115.【答案】 2【解析】 解： 4 ?= 2 ， log ?= 2?，?= 1 ， ?1?= 1 ，22第6頁，共 17頁1解得 ?= 2故答案為： 12先求出 ?=1，從而 ?= 1，由此能求出x 的值212本題考查實(shí)

12、數(shù)值的求法，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題56.【答案】 6【解析】 【分析】本題考查古典概型求概率，函數(shù)的定義域，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題求出 ?= ?|0 ?1 ，t 的所有可能取值為1，2，3，4，5，6，共 6 種，事件“ ?”包含的基本事件有234565種，由此能求出事件“ ?”的概， ， ，共率【解答】解： 函數(shù) ?(?)=1的定義域記作集合D ，?= ?|0 ? 1 ，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子( 骰子的每個面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1， 2， ，6) ，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t，則 t 的所有可能取值為1， 2， 3，4， 5， 6

13、，共 6 種，事件“ ?”包含的基本事件有2，3，4， 5，6，共 5 種，5事件“ ?”的概率為 ?= 6故答案為： 5 67.【答案】 3 + 2 2?【解析】 解： 銳角 ?滿足 ?= cos? = 6?，又 sin 2 ?+ cos2 ?= 1，可得： sin 2?+?，整理可得：6sin 2 ?+ ?-6 = 0，6= 1解得： ?=6，或-62?=3，32 ( 舍去 ) ，可得： ?= 1- sin363?+?= 3+ 22sin?-cos?= 33633 -3故答案為：3 + 22?由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求?= cos? = 6?，sin 2?+ cos 2?= 1，

14、聯(lián)立可得： 6sin 2?+ ?-6 = 0，解得 ?，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求?，即可代入所求得解本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題第7頁，共 17頁8.【答案】 2【解析】 【分析】?根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意即可求出的值?本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題【解答】解： ?中， ?+2?= 2?，2?+=?2?；?= 2?，?= 2?故答案為29.【答案】 3 ,1)2【解析】 解：連接OA， OB， OP，如圖所示；依題意知， O、 P、 A、 B 四點(diǎn)共圓， ?= 60 ， ?= ?=?，6在直角三角形OAP?中，

15、 ?=，3?1cos ?=|?|=2，?2?|?|= 1 =2，? |?| ?，2? ?，222224? ?，即 4(? -?) ?，2223?，3? 4?，即 24? 23；又0 ? 1，3 2 ? 1，橢圓 ?的離心率取值范圍是 3 , 1) 12故答案為：32 ,1)根據(jù) O、 P、A、 B 四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及橢圓離心率的概念，結(jié)合題意即可求得橢圓C 的離心率的取值范圍本題考查了圓的性質(zhì)與橢圓離心率的概念應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算能力，是中檔題10.【答案】 7?第8頁，共 17頁?【解析】 解：將一個半徑為8cm、圓心角為 4 的扇形薄鐵片，焊接成一個圓錐形容器，則圓錐的底面圓周長

16、為：8 ? = 2?= 1，4， 圓錐的底面圓半徑圓錐的高? =212= 378 -這個圓錐形容器的容積為：?=1?12? =1?3 7 = 7?33故答案為：7?圓錐的底面圓周長為：8 ?= 2?= 1 ，進(jìn)而圓錐的高 ? =4，從而圓錐的底面圓半徑212= 37.由此能求出這個圓錐形容器的容積8 -本題考查圓錐的體積的求法，考查圓錐及側(cè)面展開圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題11.【答案】 448【解析】 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得?， ?，?， 成等比數(shù)列，并設(shè)其公比36- ?3 9- ?6為 q，又由題意可得 ? = 7， ? - ? =63 -7= 56 ，?=56= 8，

17、3637?7 + ?8 + ?9 =?9 - ?6 = 56 8 = 448故答案為： 448由等比數(shù)列的性質(zhì)可得?，?-， ?， 成等比數(shù)列，由已知數(shù)據(jù)易得答案36?9- ?36本題考查等比數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題412.【答案】 - 3 ,0【解析】 解：設(shè) ?(2?,2?)，則 AP 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ?(?+ 2, ?)，?= ?(?+ 2) + 1，即 ?=?-1，cos?+2即 k 表示單位圓上的點(diǎn) (?,?)與點(diǎn)?(-2,1) 連線的斜率，設(shè)過點(diǎn)M 的直線 ?- 122= ?(?+ 2) 與圓 ?+ ? = 1相切，則 |2?+1|= 1，解得 ?=0或 ?= -423 ?+1

18、4?-1- 3 cos?+2 0故答案為： -43,0設(shè) ?(2?,2?)，把 AP 的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得出 ?=?-1，利用 k 的幾何意義cos?+2得出 k 的范圍第9頁，共 17頁本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題1 713.【答案】 2 , 4 【解析】 解：?，?，? ?=?=(1-2?)?0 ? 1，0 ? 1；0 1 - 2?12由題意，設(shè)正三角形邊長為1，得，|?；?=1；| = |?|= | = 12111-?2?2? ?2?2 3?+1；| ? ?(?+?=(=|?=(?-?) =(?+?)-)+?)2222?(?)=21|?= 3?+1 ； ?0, ；?22|

19、?當(dāng) ?= 0時，?(?)1?=1時， ?(?)7；當(dāng)；?=22?=4故 ?(?)的取值范圍是1 72 ,4 .故答案為： 1,7.24正 ?中，?2 ，轉(zhuǎn)化為用向量 ?，?表| =|?|=|根據(jù)? ?| ?|?= (?-?)|?|示，變?yōu)殛P(guān)于 ?的關(guān)系式，再用二次函數(shù)求取值范圍|?|本題考查了向量數(shù)乘和線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題? 5?14.【答案】 2 , 6 )?1?2?1【解析】 解： ?(?)= 2?cos-cos sin) += 3sin cos-cos+=2(sin22626222231?2?-?= sin(?-6) ，2? -5?, -，162?2?1 - 6-?, -3 ，?(?)

20、= sin(?-?3，) -,01162對任意實(shí)數(shù) ? -5?，使得 ?(?) + ?(?) = 0，6, -2 ，都存在唯一的實(shí)數(shù)?2 0,1?12當(dāng) ?2 0,?時， ?= ?(?2)與直線 ?= ?0, 3 有且僅有一個交點(diǎn)，2作出圖象如下：第10 頁，共 17頁? 5?由圖可知， ?2 , 6 )故答案為： ? 5?2,6)5?時，先把所給函數(shù)化簡， 根據(jù) ?1 -, -，求出 ?(?) 的范圍，進(jìn)而得到當(dāng)? 0, ?62123?= ?(?)與直線 ?= ?0, 有且僅有一個交點(diǎn)，再結(jié)合圖象即可求解22本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題?15.【答案】 解： (

21、1) 因為 ?= ?， ?(0, 4 )，且點(diǎn) P 在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，所以點(diǎn)P 坐標(biāo)為 (?),，又 ?軸，點(diǎn) N 在直線 ?= ?上，所以點(diǎn) N 坐標(biāo)為 (?),，因為 ?=1 ，且 ?(0,?26 ，4) ，所以 ?=55所以 cos?=cos(?)=226+21=2+4 34-2525；10(2)?2；? ?=(?,?(?)?,?)= cos?+ ?1+?2?111=2+2 ?2?=2 (?2?+?2?)+ 2；=2sin(2? +?124) + ，2?=?21當(dāng)2?+，即時，? 有最大值為4 =2+228?【解析】 (1) 若 ?=1cos?；5，根據(jù)兩角和差的余弦公式即可求(

22、2) 求出 P，Q 的坐標(biāo)以及的表達(dá)式，利用輔助角公式將式子進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出數(shù)量積的最小值本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和差的余弦公式的應(yīng)用， 以及向量數(shù)量積的計算，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點(diǎn) P， Q 的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵屬于中檔題16.【答案】 證明：(1)取PB中點(diǎn)E，連，EN，EA1?中， ?/?且?=2，1又 ?= 2 ?，?/?， ?= ?，第11 頁，共 17頁?/= ?，四邊形 ENMA 是平行四邊形，?/?， ? 平面PABPAB， ? 平面?/平面 PAB(2) 在平面 PAD 內(nèi)過點(diǎn) A 作直線 PM 的垂線，垂足為H，平面 ?平面 PAD

23、 ，平面 ?平面 ?= ?，?， ? 平面 PAD ，?平面 PMC ， ? 平面 PMC ，?，?平面 ABCD ， ? 平面 ABCD ， ?，?= ?， PA、 ? 平面 PAD ，?平面 PAD ，? 平面 PAD， ?【解析】(1) 取 PB 中點(diǎn) E，連 EA，EN，推導(dǎo)出四邊形 ENMA 是平行四邊形， 從而 ?/?，由此能證明 ?/ 平面 PAB(2) 在平面 PAD 內(nèi)過點(diǎn) A 作直線 PM 的垂線，垂足為 H ，由 ?，得?平面 PMC ，從而 ?，進(jìn)而 ?，由此能證明 ?平面 PAD，從而 ?本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題717【. 答案】解：(1) 由題意可知： ?= ?= 100 ，?= ? = ?10020 = 35，故矩形 EFGH 中， ?= 2?=?200?，?= ?-?=100?-35 ，故