數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)之排列組合和二項(xiàng)式定理

1、數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)之排列組合和二項(xiàng)式定理 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中。 (1)排列數(shù)公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n?。ǎ┑膫€(gè)位數(shù)字為 （答：3）；（2）滿足的 （答：8） (2)組合數(shù)公式；規(guī)定，。如已知，求 n，m的值（答：mn2） (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；。2.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類(lèi)相加（每類(lèi)方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無(wú)序組合。比如：（1）將5封信投

2、入3個(gè)郵筒，不同的投法共有 種（答：）；（2）從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 種（答：70）；（3）從集合和中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_（答：23）；（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有 個(gè)（答：12）；（5）的一邊ab上有4個(gè)點(diǎn)，另一邊ac上有5個(gè)點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_個(gè)三角形（答：90）；（6）用六種不同顏色把右圖中a、b、c、d四塊區(qū)域分開(kāi)，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答：480）；（7）同室4人各寫(xiě)1張賀年卡，然

3、后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有 個(gè)（答：7）（9）滿足的集合a、b、c共有 組（答：）3.解排列組合問(wèn)題的方法有：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。比如某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種（答：300）；某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4

4、位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的密碼共有_種（答：100）；用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個(gè)（答：156）；某班上午要上語(yǔ)、數(shù)、外和體育4門(mén)課，如體育不排在第一、四節(jié)；語(yǔ)文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_(kāi)（答：6）；四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中。恰有兩個(gè)空盒的放法有_種；甲球只能放入第2或3號(hào)盒，而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_種（答：84；96）；設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1

5、、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有_種（答：31）（2）間接法（對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。如在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：15）。（3）相鄰問(wèn)題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。比如：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_(kāi)（答：2880）；某人射擊槍?zhuān)袠專(zhuān)瑯屆兄星『糜袠屵B

6、在一起的情況的不同種數(shù)為_(kāi)（答：20）；把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_（答：144）（4）不相鄰(相間)問(wèn)題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒(méi)有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。比如：3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種（答：24）；某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_(kāi)（答：42）。

7、（5）多排問(wèn)題單排法。如若2n個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個(gè)學(xué)生排成前后兩排，每排各n個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_(kāi)（答：相等）；（6）多元問(wèn)題分類(lèi)法。比如：某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用，且依次投料時(shí)，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_種（答：15）；某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門(mén).其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能同給一個(gè)部門(mén)；另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門(mén)，則不同的分配方案有_種（答：36）；9名翻譯中，6個(gè)懂英語(yǔ)，4個(gè)懂日語(yǔ)，從中選撥5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英

8、語(yǔ)翻譯，選撥的方法有_種（答：90）；（7）有序問(wèn)題組合法。比如：書(shū)架上有3本不同的書(shū)，如果保持這些書(shū)的相對(duì)順序不便，再放上2本不同的書(shū)，有 種不同的放法（答：20）；百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)a、b、c、d、e、f參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度都不同，則運(yùn)動(dòng)員a比運(yùn)動(dòng)員f先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_種（答：360）；學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)且滿足，則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況有_種（答：15）；設(shè)集合，對(duì)任意，有，則映射的個(gè)數(shù)是_（答：）；如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱(chēng)這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：240）；離心率等于(其中且)的不同形狀

9、的的雙曲線的個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：26）。（8）選取問(wèn)題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_（答：576）。（9）至多至少問(wèn)題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_種（答：596）（10）相同元素分組可采用隔板法。比如：10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分發(fā)？每人至少兩個(gè)呢？（答：36；15）；某運(yùn)輸公司有7個(gè)車(chē)隊(duì)，每個(gè)車(chē)隊(duì)的車(chē)都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車(chē)隊(duì)中抽出10輛車(chē)組成一運(yùn)輸車(chē)隊(duì)，每個(gè)車(chē)隊(duì)至少抽1輛車(chē)，

10、則不同的抽法有多少種？（答：84）4、分組問(wèn)題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問(wèn)題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_種（答：37440）；5.二項(xiàng)式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其中第r+l項(xiàng)稱(chēng)為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng).特別提醒：（1）項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開(kāi)式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系

11、數(shù)；（2）當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫(xiě)出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（3）審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？比如：的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_（答：14）；的展開(kāi)式中的的系數(shù)為_(kāi) （答：330）；數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_（答：3）；展開(kāi)后所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)（答：7）；若的值能被5整除，則的可取值的個(gè)數(shù)有_個(gè)（答：5）；若二項(xiàng)式按降冪展開(kāi)后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則 的取值范圍是 （答：）；函數(shù)的最大值是_（答：1024）。6、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)c的

12、值逐漸增大，當(dāng)時(shí),c的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第和1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值。比如：在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)（答：426）；在的展開(kāi)式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則_（答：17,18或19）。（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：；。比如：如果，則 （答：128）；化簡(jiǎn)（答：）7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為。比如：已知，則等于_（答：）；，則_（答：2004）；設(shè),則_（答：）。8、系數(shù)最大項(xiàng)的求法：設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組確定。如求的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最