高三數(shù)學數(shù)列放縮法

1、數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力 本文介紹一類與數(shù)列和有關的不等式問題， 解決這類問題常常用到放縮法， 而求解途徑一般有兩條： 一是先求和再放縮，二是先放縮再求和一先求和后放縮例 1正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（ 1）由已知得，時，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即是公差為2 的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項公式如果此數(shù)列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式求

2、和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和二先放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例 2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：解：（ 1）在條件中，令，得，又由條件有，上述兩式相減，注意到得所以，所以（2）因為，所以，所以；2放縮后成等比數(shù)列，再求和例 3（ 1）設 a， nN* ， a2，證明：；（ 2）等比數(shù)列 an 中，前 n 項的和為 An，且 A7， A9， A8 成等差數(shù)列設，數(shù)列 bn 前 n 項的和為Bn，證明： Bn 解：（ 1）當 n 為奇數(shù)時， an a，于是，當

3、 n 為偶數(shù)時， a 1 1，且 an a2，于是（2），公比3放縮后為差比數(shù)列，再求和例 4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項相消，再求和例 5在 m（ m 2）個不同數(shù)的排列 P1P2 Pn 中，若 1ij m 時 PiP（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱 Pi 與 Pj 構成一個逆序 . 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列的逆序數(shù)為 an，如排列 21 的逆序數(shù)，排列 321 的逆序數(shù) j（ 1）求 a4、 a5 ，并寫出 an 的表達式；（2）令，證

4、明， n=1,2,.（2）因為，所以.又因為，所以=.綜上，.注：常用放縮的結論： （ 1）（2）在解題時朝著什么方向進行放縮，是解題的關鍵， 一般要看證明的結果是什么形式如例要證明的結論、為等差數(shù)列求和結果的類型，則把通項放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3 要證明的結論為等比數(shù)列求和結果的類型，則把通項放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4 要證明的結論為差比數(shù)列求和結果的類型，則把通項放縮為差比數(shù)列，再求和即可； 如例 5 要證明的結論為裂項相消求和結果的類型，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可雖然證明與數(shù)列和有關的不等式問題是高中數(shù)學中比較困難的問題，但是我們通過仔細分析它的條件與要證明的結論之間的內在關系， 先確定能不能直接求和， 若不能直接求