高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.6 垂直關(guān)系 1.6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2

1、6.1垂直關(guān)系的判定1.掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義.(重點(diǎn))2.掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，并能靈活應(yīng)用判定定理證明直線與平面垂直、平面與平面垂直.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.了解二面角、二面角的平面角的概念，會(huì)求簡單的二面角的大小.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1直線與平面垂直的概念及判定定理閱讀教材P36P37“練習(xí)1”以上部分，完成下列問題.1.定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直.2.畫法：通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直，如圖161.圖1613.直線與平面垂直的判定定理：文字語言如果一條直線和

2、一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言符號(hào)語言若直線a平面，直線b平面，直線la，lb，abA，則l平面判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，則該直線與此平面垂直.()(2)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直，則該直線與該平面垂直.()(3)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則該直線與該平面垂直.()(4)若直線l不垂直于平面，則內(nèi)不存在直線垂直于直線l.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2二面角閱讀教材P37“練習(xí)1”以下至倒數(shù)第4行部分，完成下列問題.1.二面角的概念：(1)半平面：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，

3、把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面.(3)二面角的記法：以直線AB為棱、半平面，為面的二面角，記作二面角AB.2.二面角的平面角：文字語言以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角圖形語言符號(hào)語言若l，OA，OB，且OAl，OBl，則AOB為二面角l的平面角取值范圍0180直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角如圖162，正方體ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1AB

4、C的大小為_.圖162【解析】ABBC，ABBC1，C1BC為二面角C1ABC的平面角，其大小為45.【答案】45教材整理3平面與平面垂直閱讀教材P37倒數(shù)第4行至P38“例1”以上部分，完成下列問題.1.平面與平面垂直：定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直畫法把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直(如圖)記法2.平面與平面垂直的判定定理：文字語言如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直符號(hào)語言若直線AB平面，AB平面，則空間四邊形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面A

5、BC平面ADBC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC【解析】ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.【答案】D小組合作型線面垂直的判定如圖163，正方體ABCDA1B1C1D1中.圖163(1)求證：AC平面B1D1DB；(2)求證：BD1平面ACB1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：39292035】【精彩點(diǎn)撥】證明線面垂直，只需證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.【自主解答】(1)BB1平面ABCD，且AC平面ABCD，BB1AC.又ACBD，BDBB1B，AC平面B1D1DB.(2)連接A1B.由(1)知AC平面B1D1DB，BD1平面B1D1DB，

6、ACBD1.A1D1平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，A1D1AB1.又A1BAB1且A1BA1D1A1，AB1平面A1D1B.BD1平面A1D1B，BD1AB1，又ACAB1A，BD1平面ACB1.1.直線與平面垂直的判定(或證明)常用的方法是線面垂直的判定定理，要注意定理中的兩個(gè)關(guān)鍵條件：面內(nèi)的兩條相交直線；都垂直.2.要證明線面垂直，先證線線垂直，而證線線垂直，通常又借助線面垂直，它們是相互轉(zhuǎn)化的.再練一題1.如圖164，RtABC所在平面外有一點(diǎn)S，且SASBSC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).圖164(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.【證明】(1)S

7、ASC，D為AC的中點(diǎn)，SDAC.在RtABC中，ADDCBD.又SBSA，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.(2)BABC，D為AC中點(diǎn)，BDAC.又由(1)知SD平面ABC，SDBD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，BD平面SAC.面面垂直的判定 如圖165所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中點(diǎn).圖165求證：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA.【精彩點(diǎn)撥】(1)解答本題，只要證明三角形全等.(2)注意M為EA的中點(diǎn)，可取CA的中點(diǎn)N，證明平面ECA的垂線在平面BDM內(nèi).【自主解答】(1)如圖所示，取EC的中

8、點(diǎn)F，連接DF.EC平面ABC，ECBC，又由已知，易得DFBC，DFEC.在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，且由已知，易得FDBCAB，RtDFERtABD，故EDDA.(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MNEC，又BDCE，MNBD，N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)，EC平面ABC，ECBN，又CABN，CAECC，BN平面ECA，又BN在平面MBD內(nèi)，平面BDM平面ECA.證明面面垂直的方法：(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，

9、則另一個(gè)也垂直于此平面.再練一題2.如圖166，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC平面PDB.圖166【證明】ACBD，ACPD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.探究共研型二面角探究1如圖167所示，在三棱錐SABC中，SBC，ABC都是等邊三角形，請根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角SBCA的平面角，并說明理由.圖167【提示】取BC的中點(diǎn)O，連接SO，AO，因?yàn)锳BAC，O是BC的中點(diǎn)，所以AOBC.同理可證SOBC，所以SOA是二面角SBCA的平面角.探究2在上述問題中，若BC1

10、，SA，請計(jì)算二面角SBCA的大小.【提示】在AOB中，AOB90，ABO60，AB1，所以AO1sin 60.同理可求SO.又SA，所以SOA是等邊三角形，所以SOA60，所以二面角SBCA的大小為60.已知D，E分別是正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點(diǎn)，且A1D2B1EB1C1.求過D，E，C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.【精彩點(diǎn)撥】先確定過D，E，C1三點(diǎn)的平面，再根據(jù)二面角的定義確定好二面角，然后求值.【自主解答】如圖所示，在平面AA1B1B內(nèi)延長DE和A1B1交于點(diǎn)F，則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點(diǎn).于是C1F為這兩個(gè)平面的交線

11、.因而，所求二面角即為二面角DC1FA1.A1DB1E，且A1D2B1E，E，B1分別為DF和A1F的中點(diǎn).A1B1B1C1A1C1B1F，F(xiàn)C1A1C1.又CC1平面A1B1C1，F(xiàn)C1平面A1B1C1，CC1FC1.又A1C1，CC1為平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線，F(xiàn)C1平面AA1C1C.DC1平面AA1C1C，F(xiàn)C1DC1.DC1A1是二面角DC1FA1的平面角，由已知，A1DA1C1，則DC1A145，故所求二面角的大小為45.求二面角大小的關(guān)鍵是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為：作角證明計(jì)算.要在適當(dāng)位置作出二面角

12、的平面角，就要注意觀察二面角兩個(gè)面的特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等.再練一題3.已知正四棱錐的高為3，底面對角線的長為2，求側(cè)面與底面所成的二面角.【解】設(shè)正四棱錐為SABCD，如圖所示，底面邊長為a，則2a2(2)2，a212.設(shè)O為S在底面上的射影，則SO3，作OECD于E，連接SE，可知SECD，SEO即為所求二面角的平面角.SO3，a212，SE2，SEO60.側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60.1.空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交D.不確定【解析】由題意可知，該直線垂直于三角形所確定的平面，故這條直線和三

13、角形的第三邊也垂直.【答案】B2.對于直線m，n和平面，能得出的一個(gè)條件是()A.mn，m，nB.mn，m，nC.mn，n，mD.mn，m，n【解析】n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，.【答案】C3.如圖168，在三棱錐DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則平面ADC與平面BDE的位置關(guān)系是_.圖168【解析】ABBC，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，DEAC，AC平面BDE，又AC平面ADC，平面ADC平面BDE.【答案】垂直4.如圖169所示，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，則二面角BPAC的大小為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：39292036】圖169【解析】PA平面ABC，BA，