《分式方程的解法》（經(jīng)典實用）

1、16.3 可化為一元一次方程的分式方程 復(fù)習提問復(fù)習提問 1、什么是一元一次方程？什么是方程的什么是一元一次方程？什么是方程的 解？解？ 2 2、解一元一次方程的基本方法和步驟是、解一元一次方程的基本方法和步驟是 什么？什么？ 3 3、分式有意義的條件是什么？、分式有意義的條件是什么？ 4 4、分式的基本性質(zhì)是怎樣的？、分式的基本性質(zhì)是怎樣的？ 輪船在順水中航行輪船在順水中航行8080千米所需的時千米所需的時 間和逆水航行間和逆水航行6060千米所需的時間相同千米所需的時間相同. .已已 知水流的速度是知水流的速度是3 3千米千米/ /時，求輪船在靜時，求輪船在靜 水中的速度水中的速度. .

2、分析：分析：設(shè)輪船在靜水中的速度為設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米千米/ / 時，根據(jù)題意，得時，根據(jù)題意，得 3 60 3 80 xx 這個方程有何特點？這個方程有何特點？ 3 60 3 80 xx 分式方程的主要特征：分式方程的主要特征： （1 1）含有分式）含有分式 （2 2）分母中含有未知數(shù)）分母中含有未知數(shù). . 方程方程 中含有分式，并且分母中含有分式，并且分母 中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程分式方程. 3 60 3 80 xx 你還能舉出一個分你還能舉出一個分 式方程嗎？式方程嗎？ 判斷下列各式哪個是分式方程判斷下列各式哪個是分式方程 (2)(2

3、) (3)(3) (4)(4) (5)(5) (1)(1) (1)(1)、(2)(2)是整式方程是整式方程. . (3)(3)是分式是分式. . (4)(5)(4)(5)是分式方程是分式方程 2 3 (1)0 13 2 (2)4 2 (3)3 0 1 x xx x x x 下列下列方程方程哪些是分式方程：哪些是分式方程： 2 334 (4) 24914 1 (5)1 (6)1 xx xx x x x y 思考：思考：怎樣解分式方程呢？怎樣解分式方程呢？ 為了解決這個問題，請同學們先思考并為了解決這個問題，請同學們先思考并 回答以下問題：回答以下問題： 1 1）、回顧一下解一元一次方程時是怎么）

4、、回顧一下解一元一次方程時是怎么 去分母的，從中能否得到一點啟發(fā)？去分母的，從中能否得到一點啟發(fā)？ 2 2）、有沒有辦法可以去掉分式方程的分）、有沒有辦法可以去掉分式方程的分 母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？ 試動手解一解方程：試動手解一解方程： 3 60 3 80 xx 方程兩邊同乘以（方程兩邊同乘以（x+3x+3）( (x-3)x-3)，約，約 去分母，得去分母，得 80 80（x-3x-3）=60(=60(x+3)x+3) 解這個整式方程，得解這個整式方程，得 x=21x=21 所以輪船在靜水中的速度為所以輪船在靜水中的速度為2121千米千米/ /時時. . 2 75 x

5、x 解方程：解方程： 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以x（x-2），約去分，約去分 母，得母，得 5（x-2）=7x 解這個整式方程，得解這個整式方程，得 x=-5x=-5 上述解分式方程的過程，上述解分式方程的過程，實質(zhì)實質(zhì)上是上是將方將方 程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分 式方程轉(zhuǎn)化為整式方程式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解來解. .所乘的整式通所乘的整式通 常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母. . 解方程：解方程： 1 2 1 1 2 xx 例題講解與練習例題講解與練習 例例1 1解方程：解方程： 1 2 1 1 2 xx

6、 解：解：方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以( (x+1)(+1)(x-1),-1),約去分母，得約去分母，得 x+1=2+1=2 解這個整式方程，得解這個整式方程，得 x =1=1 事實上，當事實上，當x=1時，原分式方程左邊和右邊的分時，原分式方程左邊和右邊的分 母（母（x x1 1）與（）與（x x2 21 1）都是）都是0 0，方程中出現(xiàn)的兩，方程中出現(xiàn)的兩 個分式都沒有意義，因此，個分式都沒有意義，因此，x=1不是原分式方程不是原分式方程 的根，應(yīng)當舍去的根，應(yīng)當舍去. . 所以原分式方程無解所以原分式方程無解. . 在將分式方程變形為整式方程時，方程在將分式方程變形為整式方程時，方程 兩

7、邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去了兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去了 分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解 （或根），這種根通常稱為（或根），這種根通常稱為增根增根. . 因此，在解分式方程時必須進行因此，在解分式方程時必須進行檢驗檢驗. . 那么，可能產(chǎn)生那么，可能產(chǎn)生“增根增根”的原因在哪里呢？的原因在哪里呢？ 對于原分式方程的解來說，必須要求對于原分式方程的解來說，必須要求 使方程中各分式的分母的值均不為零，但使方程中各分式的分母的值均不為零，但 變形后得到的整式方程則沒有這個要求變形后得到的整式方程則沒有這個要求. . 如果所得整式方程的某

8、個根，使原分式方如果所得整式方程的某個根，使原分式方 程中至少有一個分式的分母的值為零，也程中至少有一個分式的分母的值為零，也 就是說使變形時所乘的整式（各分式的最就是說使變形時所乘的整式（各分式的最 簡公分母）的值為零，它就不適合原方程，簡公分母）的值為零，它就不適合原方程， 即是原分式方程的增根即是原分式方程的增根. . 驗根的方法驗根的方法 解分式方程進行檢驗的關(guān)鍵是看所解分式方程進行檢驗的關(guān)鍵是看所 求得的整式方程的根是否使原分式方程中求得的整式方程的根是否使原分式方程中 的分式的分母為零的分式的分母為零. .有時為了簡便起見，有時為了簡便起見， 也可將它代入所乘的整式（即最簡公分也可

9、將它代入所乘的整式（即最簡公分 母），看它的值是否為零母），看它的值是否為零. .如果為零，即如果為零，即 為增根為增根. . 1.1.代入原方程進行檢驗代入原方程進行檢驗 2.2.代入最簡公分母進行檢驗代入最簡公分母進行檢驗 例題講解與練習例題講解與練習 30 7x 2 100 x 例例解解方方程程 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以x（x-7），約去分母，得，約去分母，得 100（x-7）=30 x 解這個整式方程，得解這個整式方程，得 x=10 x=10 x（x-7），得），得 10（10- -7）0 所以，所以， 例題講解與練習例題講解與練習 例例3 3解方程：解方程： 解：解：方方程兩邊同

10、乘以程兩邊同乘以x- -4，得，得 451xx 檢驗：檢驗：把把 x = 5 代入代入 x - -4，得，得x- -40 x = 5= 5是原方程的解是原方程的解. . 解這個整式方程得解這個整式方程得x = 5 4 1 4 5 1 ) 1 ( xx x 2 2162 242 xx xxx 解：解：方程兩邊同乘以（方程兩邊同乘以（x-2)(x+2），得得 22 (2)16(2)xx 22 44 1644xxxx 檢驗：把檢驗：把x=-2代入代入 x2-4得得x2-4=0 x=-2是是增根，從而原方程無解增根，從而原方程無解. 解這個整式方程，得解這個整式方程，得x=-2 例例3解方程：解方程：

11、 例題講解與練習例題講解與練習 (2) 注意：注意：分分 式方程的式方程的 求根過程求根過程 不一定是不一定是 同解變形，同解變形， 所以分式所以分式 方程一定方程一定 要驗根！要驗根！ 解下列分式方程：解下列分式方程： 0 1 14 1 xx 11 12 2 x x x x 2 1 42 45 63 52 3 x x x x 1 623 4 222 xxxxx )5)(4( 1 )3)(2( 1 5 xxxx 1；1；2 2化為整式方程得x化為整式方程得x x x2 2 1 1 2 2 2 2x x x x 把分式方程把分式方程3 3 1；1；的解是x的解是x 1 1x x 1 1 1 1x

12、 x x x 方程方程2 2 2；2；1的解是x1的解是x x x 2 2 x x 1 1x x 方程方程1 1 2 2 1、你學到了哪些知識？、你學到了哪些知識？ 要注意什么問題？要注意什么問題？ 2、在學習的過程、在學習的過程 中你中你 有什么體會？有什么體會？ 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 驗根的方法有：驗根的方法有： 代入原方程檢驗法代入原方程檢驗法和和代入最簡公分母檢驗法代入最簡公分母檢驗法. . (1)(1)代入原方程檢驗代入原方程檢驗，看方程左，右兩邊的值，看方程左，右兩邊的值 是否相等，如果值相等，則未知數(shù)的值是原方是否相等，如果值相等，則未知數(shù)的值是原方 程的解，否則就是原方程的增根。程的解，否則就是原方程的增根。 (2)(2)代入最簡公分母檢驗時代入最簡公分母檢驗時，看最簡公分母的，看最簡公分母的 值是否為零，若值為零，則未知數(shù)的值是原方值是否為零，若值為零，則未知數(shù)的值是原方 程的增根，否則就是原方程的根。程的