第五講定積分的微元法定積分在幾何中的應(yīng)用(一).

1、第五講 定積分的微元法 定積分在幾何中的應(yīng)用(一) 一、定積分的微元法 由引入定積分概念的兩個實(shí)例不難看出， 可用定積分所求的量 A 具有以下 三個特點(diǎn)： 1、量A是分布在區(qū)間a,b上的整體量，即A與區(qū)間a,b有關(guān)，在a,b上 連續(xù)分布。 n 2、 量A具有可加性，即整體量等與部分量的和：A A ； i1 3、量A在區(qū)間a,b上的分布是非均勻的。 現(xiàn)在來討論如何用定積分解決一些實(shí)際問題。 復(fù)習(xí)求曲邊梯形面積的方法，給出微元法的概念。 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(x) 0，求以曲線y f(x )為曲邊的a,b上 的曲邊梯形的面積A .把這個面積A表示為定積分A abf (x)dx，求面積

2、A的思 路是“分割、取近似、求和、取極限”即： 1、分割 將a,b分成n個小區(qū)間，相應(yīng)地把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形， n 其面積記作A(i 1,2, , n),則A A ； i1 2、取近似 計(jì)算每個小區(qū)間上面積Ai的近似值A(chǔ) f(jxi (xi 1 xn ) ； n 3、求和 求和得A的近似值A(chǔ) f( i) xi ; i1 nb i1 4、取極限取極限得 A lim f( i ) xi f (x)dx 為了以后使用方便，可把上述四步概括為下面兩步， 設(shè)所求量為A，區(qū)間 為a,b, 1、無限細(xì)分，化整為零 細(xì)分區(qū)間a,b，從中任取一小區(qū)間x,x dx x x x dx (dx x)，并求出相

3、應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量 a o A的近似值 A f x dx ; 2、連續(xù)求和，積零為整 在dx 0時(shí)，將A從a到b連續(xù)求和，則有：A f (x)dx . y 鉄 由于A與區(qū)間a,b有關(guān)，且在a,b上連續(xù)分布, x 上限函數(shù)的定義則有：A x a x dx，從而， x 有積分 a b x x dA dA x d f x dx f x dx， A a bbb dA dA x f x dx ； aaa 由此不難看出，f x dx實(shí)際上就是量A在點(diǎn)x出的微分，將dA f x dx稱 為量A的微元，上述方法稱為微元分析法，簡稱為微元法。 二、定積分在幾何中的應(yīng)用 (一)平面圖形的面積 1、直角坐標(biāo)系下

4、面積的計(jì)算 1、當(dāng)平面圖形是由曲線f (x)及直線x b、y 0所圍成時(shí); b f x dx ； 般地, y 當(dāng) f(x) 0時(shí)，A f x dx ；當(dāng) f (x) 0 時(shí), a b c d A f x dxf x dx f a a c o x b x dx f x dx . d 2、當(dāng)平面圖形是由曲線y1 f1 x y2 f2 x及直線x a、x b所圍成時(shí); .y 4 o x a b 若yi y2時(shí)，則有：A f2 x bb f1 x dxf2 x dxf1 x dx aa d b x dxf2 x f1 x dxf1 x f2 x dx c d X2 f2 y及直線y c、y d所圍成時(shí)

5、; 一般地， bc A f2 x fi x dxf1 x aa 3、當(dāng)平面圖形是由曲線x1 f1 y d 則：A 2 y 1 y dy. c yf ox 例1、計(jì)算由兩條拋物線y2 x和y x 例2、計(jì)算拋物線y2 2x與圓x2 y2 8所圍平面圖形的面積。 例3、計(jì)算拋物線y2 2x與直線x y 4所圍平面圖形的面積 2、曲線方程為參數(shù)方程的平面圖形面積的計(jì)算 xt 設(shè)曲線的參數(shù)方程為：t ,，則: y t t t dt. 例4、計(jì)算擺線 sin t cost 的一拱與x軸圍成的平面圖形的面積 0圍成的平面圖形的面積 例5、求橢圓x acost a 0,b x bsint ;求由曲線r r

6、及射線 第六講 5.2定積分在幾何中的應(yīng)用（二） 3；、極坐標(biāo)下面積的計(jì)算 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為：r r ， 圍成的曲邊扇形的面積。 用微元法先求出曲邊扇形面積的微元 細(xì)分區(qū)間，從中任取一小區(qū)間 該區(qū)間上對應(yīng)的小曲邊扇形近似的看作圓弧扇形, 從而可得面積的微元： dA 1r2 d . 2 于是：A 1r2 d - r2d . 2 2 例1、求心形線 r a 1 cos a 0圍成圖形的面積 解：由圖形的對稱性, 其面積等于極軸上方面積 于是，A 2A12 1r2d o2 a2 1 0 cos 2d 3 a2. 4 例2、 求圓r 2acos 的面積。 例3、 求雙紐線r2 a2cos2 a 0

7、圍成圖形的面積 4倍。 a2sin2 R a2. 解：令r 0可得， -，由圖形的對稱性, 4 其面積等于位于第一象限部分面積的 4 2 a2 cos2 d 0 二、旋轉(zhuǎn)體的體積 由連續(xù)曲線y f(x) ,x軸及直線x a,x b所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn) 周所形成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體。求此旋轉(zhuǎn)體的體積V . y f x 先求幾何體的體積微元。 細(xì)分區(qū)間a,b，從中任取一小區(qū)間x,x dx，在此小區(qū)間上，將所對應(yīng)的 小旋轉(zhuǎn)體近似的看作以y f(x)為底半徑，dx為高的 小圓柱體，從而可得：dV f2 x dx. b 于是：V dV a b f2 x dx a b y2dx. p a xdx b 1 / 1 1 ： ill / 1 x 類似的可求出由連續(xù)曲線 x y、y軸及直線 y d圍成的曲邊梯形繞 圖5 10繞x軸求體積 y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V . dV 2 y dy ； dd V dV