第四講 等腰三角形和直角三角形(教師版本

1、第四講 等腰三角形和直角三角形 知識(shí)要點(diǎn)u 等腰三角形1. 定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊三角形2. 等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個(gè)底角 簡(jiǎn)稱為 等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡(jiǎn)稱為 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸，是 3. 等腰三角形的判定： 定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 有兩 相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)稱 4. 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都 都等于 等邊三角形也是 對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸5. 等邊三角形的判定： 有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形 有一個(gè)角是 度的 三角形是等邊三角形提醒：1、等邊

2、三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)2、有一個(gè)角是直角的等腰三角形是 三角形u 線段的垂直平分線和角的平分線1、 線段垂直平分線定義： 經(jīng)過線段中點(diǎn) 條線段且 垂直 這條線段的直線叫做線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到 得距離相等判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 2、平分線：性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到 得距離相等判定：到角兩邊距離相等的 u 直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 個(gè)直角三角形的兩直角邊為a、b斜邊為c則a、b、c滿足 逆 定 理：若一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足 則這個(gè)三角形是直角三角形2、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組 、 、 3、直角三角形的性質(zhì)：直角

3、三角形兩銳角 （2）在直角三角形中如果有一個(gè)銳角是300，那么它的對(duì)邊是 邊的一半4、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法：定義法：有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形 有兩個(gè)角是 的三角形是直角三角形 典例剖析 考點(diǎn)一：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用例1 （2012襄陽(yáng)）在等腰ABC中，A=30，AB=8，則AB邊上的高CD的長(zhǎng)是 或4分析：此題需先根據(jù)題意畫出當(dāng)AB=AC時(shí)，當(dāng)AB=BC時(shí)，當(dāng)AC=BC時(shí)的圖象，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，分別進(jìn)行計(jì)算即可解：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，A=30，CD=AC=8=4；（2）當(dāng)AB=BC時(shí)，則A=ACB=30，ACD=

4、60，BCD=30，CD=cosBCDBC=cos308=4；（3）當(dāng)AC=BC時(shí)，則AD=4，CD=tanAAD=tan304=；故答案為：或或4。點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（2012廣安）已知等腰ABC中，ADBC于點(diǎn)D，且AD=BC，則ABC底角的度數(shù)為（）A45B75C45或75D601C分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，注意分別從BAC是頂角與BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，即可求得答案解答：解：如圖1：AB=AC，ADBC，BD=CD=BC，AD

5、B=90，AD=BC，AD=BD，B=45，即此時(shí)ABC底角的度數(shù)為45；如圖2，AC=BC，ADBC，ADC=90，AD=BC，AD=AC，C=30，CAB=B=75，即此時(shí)ABC底角的度數(shù)為75；綜上，ABC底角的度數(shù)為45或75故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵 考點(diǎn)二：線段垂直平分線例2 （2012畢節(jié)地區(qū)）如圖在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長(zhǎng)是（）A B2 C D4思路分析：求出ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出A

6、D=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解：A=30，B=90，ACB=180-30-90=60，DE垂直平分斜邊AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=60-30=30，BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，在BCD中，由勾股定理得：CB=，在ABC中，由勾股定理得：AC=2，故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2（2012貴陽(yáng)）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分線DE交

7、于BC的延長(zhǎng)線于F，若F=30，DE=1，則EF的長(zhǎng)是（）A3 B2 C D12B分析：連接AF，求出AF=BF，求出AFD、B，得出BAC=30，求出AE，求出FAC=AFE=30，推出AE=EF，代入求出即可解答：解：連接AF，DF是AB的垂直平分線，AF=BF，F(xiàn)DAB，AFD=BFD=30，B=FAB=90-30=60，ACB=90，BAC=30，F(xiàn)AC=60-30=30，DE=1，AE=2DE=2，F(xiàn)AE=AFD=30，EF=AE=2，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)

8、 考點(diǎn)三：等邊三角形的判定與性質(zhì)3（2012湘潭）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，將ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到DCE，連接BD，交AC于F（1）猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求線段BD的長(zhǎng)3分析：（1）由平移的性質(zhì)可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BDDE，由E=ACB=60可知ACDE，故可得出結(jié)論；（2）在RtBDE中利用勾股定理即可得出BD的長(zhǎng)解答：解：（1）ACBDDCE由ABC平移而成，BE=2BC=6，DE=AC=3，E=ACB=60，DE=BE，BDDE，E=ACB=60，ACDE，BDAC；（2）在RtBED中，BE=6，

9、DE=3，BD=點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵考點(diǎn)四：角的平分線例4 （2012梅州）如圖，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，則EF= 2思路分析：作EGOA于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OEF=COE=15，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出EFG=30，利用30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題解答：解：如圖，作EGOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30，EG=CE=1，EF=21=2故答案為2點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)和含

10、30角的直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4（2012常德）如圖，在RtABC中，C=90，AD是BAC的平分線，DC=2，則D到AB邊的距離是 242分析：過D作DEAB于E，得出DE的長(zhǎng)度是D到AB邊的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=ED，代入求出即可解答：解：過D作DEAB于E，則DE的長(zhǎng)度就是D到AB邊的距離AD平分CAB，ACD=90，DEAB，DC=DE=2（角平分線性質(zhì)），故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是作輔助線DE，本題比較典型，難度適中考點(diǎn)五：勾股定理例5 （2012黔西南州）如圖，在ABC中，ACB=90，D是BC的中點(diǎn)，DEBC，CEAD，

11、若AC=2，CE=4，則四邊形ACEB的周長(zhǎng)為 思路分析：先證明四邊形ACED是平行四邊形，可得DE=AC=2由勾股定理和中線的定義可求AB和EB的長(zhǎng)，從而求出四邊形ACEB的周長(zhǎng)解：ACB=90，DEBC，ACDE又CEAD，四邊形ACED是平行四邊形DE=AC=2在RtCDE中，由勾股定理得CD=2，D是BC的中點(diǎn)，BC=2CD=4，在ABC中，ACB=90，由勾股定理得AB=2，D是BC的中點(diǎn)，DEBC，EB=EC=4四邊形ACEB的周長(zhǎng)=AC+CE+EB+BA=10+2，故答案為：10+2點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理和中線的定義，注意尋找求AB和EB的長(zhǎng)的方法和途徑

12、對(duì)應(yīng)訓(xùn)練【聚焦山東中考】1（2012泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長(zhǎng)為（）A3B3.5C2.5D2.81C專題：計(jì)算題分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AE=CE，設(shè)CE=x，表示出ED的長(zhǎng)度，然后在RtCDE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解解答：解：EO是AC的垂直平分線，AE=CE，設(shè)CE=x，則ED=AD-AE=4-x，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4-x）2，解得x=2.5，即CE的長(zhǎng)為2.5故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)

13、的距離相等的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，把相應(yīng)的邊轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵2一、選擇題1（2012肇慶）等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A16B18C20D16或201C分析：由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析解答：解：當(dāng)4為腰時(shí)，4+4=8，故此種情況不存在；當(dāng)8為腰時(shí)，8-488+4，符合題意故此三角形的周長(zhǎng)=8+8+4=20故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時(shí)注意分類討論，不要漏解2（2012攀枝花）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x-4|+=0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A20或16B20C16

14、D以上答案均不對(duì)2B分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解解答：解：根據(jù)題意得，解得，（1）若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形；（2）若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為4+8+8=20故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情況討論求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)三邊能否組成三角形做出判斷根據(jù)題意列出方程是正確解答本題的關(guān)鍵3（2012江西）等腰三角形的頂角為80，則它的底角是（）A20B50C60D803B分析：根據(jù)

15、三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù)解答：解：等腰三角形的一個(gè)頂角為80底角=（180-80）2=50故選B點(diǎn)評(píng)：考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，比較簡(jiǎn)單5（2012本溪）如圖在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則ACE的周長(zhǎng)為（）A16B15C14D135分析：首先連接AE，由在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，又由DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，繼而可得ACE的周長(zhǎng)為：BC+AC解答：解：連接AE，在

16、RtABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，BC=10，DE是AB邊的垂直平分線，AE=BE，ACE的周長(zhǎng)為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用6（2012荊門）如圖，ABC是等邊三角形，P是ABC的平分線BD上一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E，線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)Q若BF=2，則PE的長(zhǎng)為（）A2 B C D36C分析：先根據(jù)ABC是等邊三角形P是ABC的平分線可知EBP=QBF=30，再根

17、據(jù)BF=2，F(xiàn)QBP可得出BQ的長(zhǎng)，再由BP=2BQ可求出BP的長(zhǎng)，在RtBEF中，根據(jù)EBP=30即可求出PE的長(zhǎng)解：ABC是等邊三角形P是ABC的平分線，EBP=QBF=30，BF=2，F(xiàn)QBP，BQ=BFcos30=2=，F(xiàn)Q是BP的垂直平分線，BP=2BQ=2，在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60是解答此題的關(guān)鍵2（2012佳木斯）如圖，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則CDE的周長(zhǎng)為（）A20B12C14D13

18、考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)。 分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ADBC，CD=BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE=AC，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解解答：解：AB=AC，AD平分BAC，BC=8，ADBC，CD=BD=BC=4，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，DE=CE=AC=5，CDE的周長(zhǎng)=CD+DE+CE=4+5+5=14故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵二、填空題8（2012隨州）等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊為 6和4或5和586

19、和4或5和5分析：此題分為兩種情況：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底邊然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形解答：解：當(dāng)腰是6時(shí)，則另兩邊是4，6，且4+66，滿足三邊關(guān)系定理；當(dāng)?shù)走吺?時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是5，5，5+56，滿足三邊關(guān)系定理，故該等腰三角形的另兩邊為 6和4或5和5故答案為：6和4或5和5點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，應(yīng)從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法，難度適中9（2012泉州）如圖，在ABC中，AB=AC，BC=6，ADBC于D，則BD= 393分析：直接根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行解答即可解答：解：ABC中，AB=AC，BC=6，AD

20、BC于D，BD=BC=6=3故答案為：3點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合10（2012欽州）已知等腰三角形的頂角為80，那么它的一個(gè)底角為 501050分析：已知給出了等腰三角形的頂角等于80，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接可求得答案解答：解：等腰三角形的頂角等于80，又等腰三角形的底角相等，底角等于（180-80）2=50故答案為：50點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)；題目比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題11（2012黑龍江）等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為4，則底邊長(zhǎng) 116或或 分析：根據(jù)不同邊上的高為4分

21、類討論，即可得到本題的答案解答：解：如圖1，當(dāng)AB=AC=5，底邊上的高AD=4時(shí)，則BD=CD=3，故底邊長(zhǎng)為6；如圖2，ABC為銳角三角形，當(dāng)AB=AC=5，腰上的高CD=4時(shí)，則AD=3，BD=2，BC=，此時(shí)底邊長(zhǎng)為；如圖3，ABC為鈍角三角形，當(dāng)AB=AC=5，腰上的高CD=4時(shí)，則AD=3，BD=8，BC=，此時(shí)底邊長(zhǎng)為故答案為：6或或點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論14（2012黃岡）如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，連接BE，則EBC的度數(shù)為 361436分析：由DE是AB的垂直平分線

22、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，則可求得ABE的度數(shù)，又由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得ABC的度數(shù)，繼而求得答案解答：解：DE是AB的垂直平分線，AE=BE，ABE=A=36，AB=AC，ABC=C=72，EBC=ABC-ABE=72-36=36故答案為：36點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用16（2012泰州）如圖，ABC中，C=90，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到AB的距離是 4164分析：過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，即可得解

23、解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，AD是BAC的平分線，DE=CD，CD=4，DE=4故答案為：4點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，作出圖形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17（2012佳木斯）等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，則底邊長(zhǎng)為 178或或分析：由已知的是一邊上的高，分腰上的高于底邊上的高兩種情況，當(dāng)高為腰上高時(shí)，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，由AB-AD求出BD的長(zhǎng)，在直角三角形BDC中，由BD及CD的長(zhǎng)，即可求出底邊BC的長(zhǎng)；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，如圖

24、所示，同理求出AD的長(zhǎng)，由AB+AD求出BD的長(zhǎng)，同理求出BC的長(zhǎng)；當(dāng)高為底邊上的高時(shí)，如圖所示，由三線合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由BC=2BD即可求出BC的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿足題意的底邊長(zhǎng)解答：解：如圖所示：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形，且CD為腰上的高時(shí)，在RtACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：AD=4，BD=AB-AD=5-4=1，在RtBDC中，CD=3，BD=1，根據(jù)勾股定理得：BC=；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形，且CD為腰上的高時(shí)，在RtACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：AD=4，BD=AB+AD=5+

25、4=9，在RtBDC中，CD=3，BD=9，根據(jù)勾股定理得：BC=3；當(dāng)AD為底邊上的高時(shí)，如圖所示：AB=AC，ADBC，BD=CD，在RtABD中，AD=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得：BD=4，BC=2BD=8，綜上，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為8或或故答案為：8或或.點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生考慮問題要全面，注意不要漏解420（2012常州）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF求證：AE=AF20分析：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由