33三元一次方程組(基礎(chǔ))知識(shí)講解(20210112194842)

1、三元一次方程組(基礎(chǔ))知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解三元一次方程(或組)的含義； 2. 會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組； 3. 會(huì)列三元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、三元一次方程及三元一次方程組的概念 1. 三元一次方程的定義 含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 2a-3b+4c = 5等都是三元一次方程. 要點(diǎn)詮釋： (1) 三元一次方程的條件： 是整式方程，含有三個(gè)未知數(shù)， 含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù) 是1次. (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零. 2. 三元一次方程組的定義 一般地，由幾個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方

2、程組，叫做三元一次方程組 要點(diǎn)詮釋： (1)三個(gè)方程中不一定每一個(gè)方程中都含有三個(gè)未知數(shù)， 可. (2 )在實(shí)際問(wèn)題中含有三個(gè)未知數(shù)，當(dāng)這三個(gè)未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)相等關(guān)系時(shí)，可以建立 三元一次方程組求解. 要點(diǎn)二、三元一次方程組的解法 解三元一次方程組的一般步驟 (1) 利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組， 的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組； (2) 解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值； (3) 將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程， 一次方程； (4) 解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值； (5) 將求得的

3、三個(gè)未知數(shù)的值用“ ”合寫(xiě)在一起. 要點(diǎn)詮釋： (1 )解三元一次方程組的基本思路是：通過(guò)“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二 元”.使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.其思想 方法是： I三無(wú)一次方程紐| 士4元一次方程組I 1的整式方程.如 x+y-z = 1, 只要三個(gè)方程共含有三個(gè)未知量即 消去兩組中 得到一個(gè)一元 魚(yú)更T 一元一次方程1 (2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求其較簡(jiǎn)單的解法. 要點(diǎn)三、三元一次方程組的應(yīng)用 列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 1.弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如X, y, z)表示

4、題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù); 2 .找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系； 3 .根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組； 4 .解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值； 5 .寫(xiě)出答案(包括單位名稱). 要點(diǎn)詮釋： 檢查求得的結(jié)果 (1) 解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě) “答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義, 是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去. (2) “設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一. (3) 一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組. 【典型例題】 類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念 1.下列方程組中是三元一次方程組的是 x2 18 12

5、 xz 【答案】D 【解析】A選項(xiàng)中 1與xz 2中未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為 2次，故A選項(xiàng)不是; B選項(xiàng)中丄, x B選項(xiàng)不是; C選項(xiàng)中有四個(gè)未知數(shù), 故 C選項(xiàng)不是；D項(xiàng)符合三元 5 5 5 (1)方程組中的每一個(gè)方程都是 次方程組的定義. 【總結(jié)升華】理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點(diǎn)： 一次方程；(2) 般地，如果三個(gè)一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元 一次方程組. 類型二、三元一次方程組的解法 2. (2016春？棗陽(yáng)市期末)在等式 y=ax2+bx+c中，當(dāng)x= - 1時(shí)，y=0 ;當(dāng)x=2時(shí)，y=3 ; 當(dāng)x=5時(shí)，y=60 .求a, b, c的值. 【思路點(diǎn)撥】

6、由“當(dāng)x= - 1時(shí)，y=0 ;當(dāng)x=2時(shí)，y=3 ;當(dāng)x=5時(shí)，y=60”即可得出關(guān)于 b、c的三元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論. 【答案與解析】 解：根據(jù)題意，得 4a+2b+ c=3 &5計(jì)5b址丸0 -，得a+b=1； -，得4a+b=10. 與組成二元一次方程組 解這個(gè)方程組，得獷3, b二-2 狂3代入，得c= - 5. b二2 因此 呂二3 b=- 2 ，即a, b, c的值分別為3, -2,- 5. 【總結(jié)升華】本題考查了解三元一次方程組, 程組.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大. 解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于a、b、c的三元一次方 舉一反三： 【變式】解方程組: 2x 3x 【答案】 y

7、 z 3 4y z 8 y 2z 3 解：+得：5x 3y 11 X 2+得: 5x y 由此可得方程組: 5x 3y 11 5x y x 1 2代入得: 得：4y 8 , 將y 2代入知： 將 x 1 , y 所以方程組的解為: a W 3.解方程組 20 【答案與解析】 解法一：原方程可化為: 20 由得：x 將代入得: 2 -Z， 5 2 -z 3 -Z 20，得：z 10 將代入中兩式，得: 所以方程組的解為: y 6 10 解法二：設(shè)x . 2 將代入得： 將t 2代入得: y 3 2t z 5 3t x t，則x 2t, y 3t, z 5t 所以方程組的解為: 5t 20, 2t

8、 2 y 3t 3 2 6, z 5t 5 2 10 6 10 【總結(jié)升華】對(duì)于這類特殊的方程組, （如設(shè)比例系數(shù)等）來(lái)解. 舉一反三： 可根據(jù)其方程組中方程的特點(diǎn)，采用一些特殊的解法 【變式】 （2015秋?德州校級(jí)月考）若三元一次方程組 1 的解使 ax+2y+z=0，則 a 的 嚴(yán)=-2 值為（ A. 1 【答案】 解: 時(shí)z二-, y+s= 一 2 ) B. 0 C - 2D. 4 B. +得：x+y+z=1, z= - 4, y=2, x=3, z= - 4代入方程得：3a+4 - 4=0, 把代入得： 把代入得： 把代入得： 把 x=3, y=2, 解得：a=0. 次方程組的應(yīng)用

9、4. 購(gòu)買(mǎi)鉛筆 2支共需 類型三、三元- 7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元； 4元，則購(gòu)買(mǎi)鉛筆11支、作業(yè)本5本圓珠筆 （2015春?黃陂區(qū)校級(jí)月考）購(gòu)買(mǎi)鉛筆 10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需 元. 【思路點(diǎn)撥】 首先假設(shè)鉛筆的單價(jià)是 x元，作業(yè)本的單價(jià)是 y元，圓珠筆的單價(jià)是 z元購(gòu) 買(mǎi)鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元根據(jù)題目說(shuō)明列出方程組，解方程組求 出a的值，即為所求結(jié)果. 【答案】5. 【解析】 解：設(shè)鉛筆的單價(jià)是 x元，作業(yè)本的單價(jià)是 y元，圓珠筆的單價(jià)是 z元購(gòu)買(mǎi)鉛筆11支， 作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元. 則由題意得: 計(jì)3y+牢3 L0 x-H4y+z=4， llxf5y+2z=a 由-得3x+y=1， 由+得17x+7y+2z=7， 由-X 2-得0=5 -a, 解得：a=5. 【總結(jié)升華】本題考查了列三元一次不定方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，若 未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系 列幾個(gè)方程. 舉一反三： 【變式】現(xiàn)有面值為 的比1元的少 【答案】 解：設(shè)面值為 6張, 2元、 2元、1元和5角的人民幣共24張，幣值共計(jì)29元，其中面值為2元 求三種人民幣各多少?gòu)垼?1元和5角的人民幣分別為 x張、y張和z張.