高中生物理競賽復(fù)賽試題及答案

1、全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題全卷共六題，總分為140 分。一、（ 20 分）一汽缸的初始體積為V0 ，其中盛有 2 mol 的空氣和少量的水 （水的體積可以忽略） 。平衡時氣體的總壓強(qiáng)是3.0 atm ，經(jīng)做等溫膨脹后使其體積加倍，在膨脹結(jié)束時，其中的水剛好全部消失，此時的總壓強(qiáng)為2.0 atm 。若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使體積再次加倍。試計算此時：1. 汽缸中氣體的溫度；2. 汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；3. 汽缸中氣體的總壓強(qiáng)。假定空氣和水蒸氣均可以當(dāng)作理想氣體處理。二、（ 25 分）兩個焦距分別是f1 和 f2 的薄透鏡 L1 和 L2 ，相距為 d ，被共軸地安置在光具座上。1. 若要求入射光線

2、和與之對應(yīng)的出射光線相互平行，問該入射光線應(yīng)滿足什么條件？2.根據(jù)所得結(jié)果，分別畫出各種可能條件下的光路示意圖。三、（ 25 分）用直徑為 1mm 的超導(dǎo)材料制成的導(dǎo)線做成一個半徑為5 cm 的圓環(huán)。圓環(huán)處于超導(dǎo)狀態(tài)，環(huán)內(nèi)電流為100 A 。經(jīng)過一年，經(jīng)檢測發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)內(nèi)電流的變化量小于106 A 。試估算該超導(dǎo)材料電阻率數(shù)量級的上限。提示：半徑為 r 的圓環(huán)中通以電流I 后 , 圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0I,式中B、I、2r 7 2r 各量均用國際單位，04N A。10四、（ 20 分）經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形勢

3、和分布情況有了較深刻的認(rèn)識。雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理?，F(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是 M ，兩者相距 L 。他們正繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動。1. 試計算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期 T計算 。2. 若實(shí)驗上觀測到的運(yùn)動周期為 T觀測 ，且 T觀測 :T 計算 1: N ( N 1) 。為了解釋 T觀測 與T計算 的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不

4、考慮其它暗物質(zhì)的影響。試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。五、（ 25 分）六個相同的電阻（阻值均為R ）連成一個電阻環(huán)，六個接點(diǎn)依次為1、 2、 3、 4、5 和 6，如圖復(fù) 16-5-1 所示。現(xiàn)有五個完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱為 D1 、 D2、 D5。現(xiàn)將 D的 1、 3、 5 三點(diǎn)分別與 D 的 2、 4、 6 三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，如圖復(fù)16-5-2所示。然21后將 D3 的 1、3、5 三點(diǎn)分別與 D2 的 2、4、6 三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，依此類推。最后將D5的 1、3、 5 三點(diǎn)分別連接到 D4 的 2、 4、 6 三點(diǎn)上。1證明全部接好后，在D1 上的 1、

5、3 兩點(diǎn)間的等效電阻為724R。6272求全部接好后，在D5 上的 1、 3 兩點(diǎn)間的等效電阻。六、（ 25 分）如圖復(fù) 16-6 所示， z 軸豎直向上， xy 平面是一絕緣的、 固定的、 剛性平面。 在 A(x0,0,0) 處放一帶電量為 q ( q 0) 的小物塊， 該物塊與一細(xì)線相連， 細(xì)線的另一端 B 穿過位于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的光滑小孔，可通過它牽引小物塊。現(xiàn)對該系統(tǒng)加一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向垂直與 x 軸，與 z 軸夾角為（如圖復(fù)16-6所示）。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為tan, 且靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)相同。不計重力作用。現(xiàn)通過細(xì)線來牽引小物塊，使之移動。在牽引過程中，我們約定

6、：細(xì)線的 B 端只準(zhǔn)沿z 軸向下緩慢移動，不得沿z 軸向上移動；小物塊的移動非常緩慢，在任何時刻，都可近似認(rèn)為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答一、參考解答1 只要有液態(tài)水存在，平衡時汽缸中氣體的總壓強(qiáng)就等于空氣壓強(qiáng)與飽和水蒸氣壓強(qiáng)之和：p總0p空0p飽3.0 atm（ 1）第一次膨脹后V12V0p總 1p空1 p飽2.0 atm（ 2）由于第一次膨脹是等溫過程，所以p空 0V0 p空1V12 p空 1V0（3）解（ 1）、（ 2）、（ 3）三式，得p飽1.0atm（ 4）p空 02.0 atm（ 5）p空 11.0

7、atm（ 6）由于 p飽1.0 atm ，可知汽缸中氣體的溫度T0 373 K（ 7）根據(jù)題意，經(jīng)兩次膨脹，氣體溫度未改變。2 設(shè)水蒸氣為 水 mol 經(jīng)第一次膨脹，水全部變成水蒸氣，水蒸氣的壓強(qiáng)仍為p飽 ，這時對于水蒸氣和空氣分別有p飽V1水 RT0（ 8）p VRT2RT（ 9）空1 1空00由此二式及（5）、（ 6）式可得水2 mol（ 10）3. 在第二次膨脹過程中，混合氣體可按理想氣體處理，有p Vp V（ 11）總22總11由題意知， V24V0 ， V12V0 ，再將（ 2）式代入，得p總2 1.0 atm（ 12）二、參考解答l 在所示的光路圖（圖復(fù)解16-2-1 ）中，人射光

8、AB 經(jīng)透鏡 L1折射后沿 BC 射向 L2 ，經(jīng)L2 折射后沿 CD 出射 AB、 BC 、 CD 與透鏡主軸的交點(diǎn)分別為P 、 P 和 P ，如果 P 為物點(diǎn)，因由 P 沿主軸射向 O1的光線方向不變， 由透鏡性質(zhì)可知，P 為 P 經(jīng)過 L1 所成的像， P為P 經(jīng) L2 所成的像，因而圖中所示的u1 、 v1 、 u2 、 v2 之間有下列關(guān)系：111（ 1）u1v1f1111（ 2）u2v2f2du2 v1（ 3）當(dāng)入射光線 PB 與出射光線平行時，圖中的，利用相似三角形關(guān)系可求得hv2hu2h,hv1u1從而求得v2u2（ 4）u1v1聯(lián)立方程（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4），

9、消去 v1 、 u2 和 v2 ，可得u1f1d（ 5）d ( f1f2 )由于 d 、 f1 、 f2 均已給定，所以 u1 為一確定值，這表明：如果入射光線與出射光線平行，則此入射光線必須通過主軸上一確定的點(diǎn)，它在f1d處，又由L1 的左方與 L1 相距 u1d ( f1f 2)于 u1 與無關(guān)，凡是通過該點(diǎn)射向L1 的入射光線都和對應(yīng)的出射光線相互平行2由所得結(jié)果（ 5）式可以看出，當(dāng)d f1f2 時， u1 0 ，此情況下的光路圖就是圖復(fù)解 16-2-1 當(dāng) df1f2 時， u1，0 ，此時入射光線和出射光線均平行于主軸，光路如圖復(fù)解 16-2-2 當(dāng) df1f2 時，u10 ，這表

10、明 P 點(diǎn)在 L1 的右方，對L1 來說，它是虛物由（ 1）式可知，此時 v10，由 u2f2v1 可知， u20 ，又由 u2v10 可知， v2 0 ，所以此時的光路f1v2u2圖如圖復(fù)解 16-2-3 三、參考解答根據(jù)題中所給的條件，當(dāng)圓環(huán)內(nèi)通過電流I 時，圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0 12 r穿過圓環(huán)的磁通量可近似為BS0Ir（ 1）2根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，電流變化產(chǎn)生的感生電動勢的大小Et0rI（2）2t圓環(huán)的電阻RE0 rI（ 3）I2It根 據(jù) 題 設(shè) 條 件 r0.05 m ，0472， I100A ，10 NAI106 A/s3 1014 A/s , 代入（ 3）式得tR 31

11、023（ 4）由電阻與電阻率、導(dǎo)線截面積 S 、長度 L 的關(guān)系RLS及已知導(dǎo)線的直徑 d1mm ，環(huán)半徑 r5 cm ，得電阻率R SR d27.5 1029m（ 5）L8r四、參考解答1雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動速率為v ，向心加速度滿足下面的方程：Mv2GM 2（ 1）L / 2L2vGM（ 2）2L周期T計算2 (L/ 2)L2L（ 3）vGM2根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運(yùn)動周期T觀察 1T計算（4）N T計算這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等

12、于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M 位于中點(diǎn)處的質(zhì)量點(diǎn)相同考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v觀 ，則有Mv觀2GM 2GMM（ 5）L/2L2(L / 2)2v觀 G( M 4M )（6）2L因為在軌道一定時，周期和速度成反比，由（4）式得1 11（ 7）v觀Nv把（ 2）、（ 6）式代入（ 7）式得MN1M（ 8）4設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有3N 1 M4L324故3( N1)M（9）2L3五、參考解答解法一：1（ 1）電阻圖變形此題連好的線路的平面圖如圖預(yù)解16-5-1 所示現(xiàn)將電阻環(huán)改畫成三角形，1、3、 5三點(diǎn)為頂點(diǎn)， 2、 4、 6三點(diǎn)為三邊中點(diǎn)，如圖預(yù)解 15-2 與圖預(yù)解 16-5

13、-3 所示整個連好的線路相當(dāng)于把Dn 的三個頂點(diǎn)分別接到Dn 1 的三個中點(diǎn)上，圖預(yù)解16-5-1 變 為 圖預(yù)解 16-5-4 這樣第1問歸結(jié)為求圖預(yù)解16-5-4 中 最 外層三角環(huán)任意兩頂點(diǎn)間的等效電阻。（2）遞推公式為使圖形簡化， 討論如何將接好的兩個電阻環(huán)化簡成為一個單環(huán)。由六個阻值為r 的電阻構(gòu)成一個三角環(huán)，將其頂點(diǎn)接在另一由六個阻值為R 的電阻構(gòu)成的三角環(huán)的中點(diǎn)上（如圖預(yù)解 16-5-5 所示）。圖預(yù)解 16-5-6 是由六個阻值為R 的電阻構(gòu)成的三角環(huán)。若圖預(yù)解16-5-5 頂點(diǎn) 1、 3間的電阻與圖預(yù)解 16-5-6 頂點(diǎn) l 、3間的電阻阻值相等，我們稱圖預(yù)解16-5-6

14、中的 R 為等效單環(huán)電阻用符號“ / ”表示電阻的并聯(lián)，如RA/ RB1(1/ RA )(1/ RB )由圖預(yù)解 16-5-5 中的對稱性可知l 、 3兩頂點(diǎn)間的電阻R1,3 等于圖預(yù)解 16-5-7 中 1、0間的電阻R1, 0 的 2倍，即R1，3=2R1,02 R / r /(2 r )R/ R21R/ R111Rr2r2 4rR3R2/ R2r3R1 4r3RR3rRR1 r / R（ 1）3同理，圖預(yù)解 16-5-6中 1、3兩頂點(diǎn)間的電阻R1,3 為R1,32(2R )/ R 4（ 2）R3由（ 1）、（ 2）式得等效單環(huán)電阻R 為R3R1（ 3）4r / R42.第一問現(xiàn)在考慮把

15、 D1、 D2 、 D3 、D4、 D5 按相反的次序， 由內(nèi)向外依次連接的情況首先將 D4接在 D5 外面，求雙環(huán) D4D5 的等效單環(huán)電阻 R (2) 即（ 3）式中的 R 這時 rR 由（ 3）式得到 R (2)為R (2)3 R1R/ R7 R448其次，在雙環(huán) D4D5 外面接上 D3 ，這時 rR (2) 三環(huán) D3 D4D5 的等效單環(huán)電阻 R (3)為R (3)3 R1 R/ R (2)3 R1 R/7 R13 R4444815由此可得一般公式，(s1) 環(huán)的等效單環(huán)電阻R (s 1) 可由 R( s)求出R ( s1)3R1（ 4）4R/ R( s)4于是R( 4)31( 3

16、)3 11397RRR/ R4RR /R11244415(5)3R1( 4)3 197181R4R/ RRR /RR444112209由（2）式 R1,3 (4/ 3R)得出由一個環(huán)（ D5）、兩個環(huán)（ D5D4）直至五個環(huán)（ D5D4D3D2D1 ）構(gòu)成的線路1、 3點(diǎn)間的電阻為R1,3(1)4 R4 R33R1,3(2)47R7R386R1,3(3)413R52 R31545R1,3(4)497R97 R311284R1,3(5)4181 R724 R3209627答：所求的五個環(huán)的 1與 3間的等效電阻確為724R 證畢。6273. 第二問根據(jù)五個 D 組成的圓柱形網(wǎng)絡(luò)的對稱性，D5 的

17、 l 、3兩點(diǎn)等價于 D1 的2、4兩點(diǎn) 等價線路如圖預(yù)解 16-5-8 與圖預(yù)解 16-5-9 所示設(shè)二圖等價，求圖預(yù)解16-5-9 中的 R 即可R(2R) /(2R)1194 R156209圖復(fù)解 16-5-82R97R圖復(fù)解 16-5-9所以R2,4(5)R /2R2 R388 R3627答：所求值為 388 R 。627解法二：第一問圖預(yù)解 16-5-3 可看做 D5的接線圖，其一半如圖預(yù)解16-5-10 所示，豎直粗線為一短路線一個環(huán)（ D5 ）構(gòu)成線路的1與0點(diǎn)間的阻值用R1,(1)0 表示，根據(jù)對稱性， R1,(1)0 1R1,3(1)2R 。23當(dāng) D5 接入 D4 后，由兩

18、個環(huán)（類似圖預(yù)解16-5-5 ）構(gòu)成線路圖的一半如圖預(yù)解16-5-11 所示三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形（200 ）中的 2與 0 間的阻值就是圖預(yù)解16-5-10 中 1與 0間的阻值 R1,(1)0 。其等效電路如圖預(yù)解16-5-12所示圖預(yù)解 16-5-11（或圖預(yù)解16-5-12 ）中的 l 與 0點(diǎn)間的阻值用R (1) 表示有1, 0R1,0(2)( R / R1,(1)0 ) R/ RR /2RR/ R7R312再將雙環(huán) D5 D4 接入 D3 ，其一半如圖預(yù)解 16-5-13所示，三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形中含有六個電阻，其2與 0 間的阻值就對應(yīng)為R1,0(2

19、) ，參看圖預(yù)解 16-5-12的等效電路，得R1,(3)0 ( R/ R1,0(2)R)/ RR/7RR /R1226 R45同理，得R1,0(4)( R/ R1,(3)0R)/ RR/ 26RR /R97 R45168R1,(5)0( R / R1,(4)0R)/ RR /97R R /R362 R168627由此得R1,3(5)2R1,0(5)724R627第二問五個電阻環(huán)構(gòu)成線路后，最外層環(huán)（ D1 ）上2點(diǎn)與 4點(diǎn)間的等效電阻可借用圖預(yù)解 16-5-12求得，將圖中R2,(1)0 換成 R2,(4)0 ，五個環(huán)構(gòu)成的線路中2與 4間阻值可如下求得：因R (5)2R/ R(4)/ R

20、2R/ 97R/ R194 R2,01,0168627故R2,(5)42R 2,0(5)388 R627六、參考解答設(shè)所 加勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)為E ， 它在 y 方向和z 方 向的分量分別為 EyE sin ，EzEcos。由于物塊帶負(fù)電，電場作用于物塊的電力的兩個分量分別為FyqEyqE sin（ 1）FzqEzqE cos（ 2）Fy 在 xy 平面內(nèi)，方向沿y 軸正方向 Fz 垂直于 xy 平面，被絕緣平面的支持力所平衡，故物塊對絕緣平面的正壓力的大小N 和 Fz 的大小相等，即N qE cos絕緣平面作用于物塊的摩擦力fNqE tancos qE sinFy（ 3）f 的方向決定于物塊移動的方向根據(jù)題意，物塊在xy 平面內(nèi)的運(yùn)動可看做是一種在力平衡下的緩慢移動作用于物塊的三個力 Fy 、 f 和線的拉力 T 都在 xy 平面內(nèi)物塊