平新喬課后習題詳解(第5講--風險規(guī)避、風險投資與跨期決策)

1、平新喬微觀經(jīng)濟學十八講第5講 風險規(guī)避、風險投資與跨期決策 1一個農(nóng)民認為在下一個播種的季節(jié)里，雨水不正常的可能性是一半對一半。他的預 期效用函數(shù)的形式為： 預期效用=-n yNR - ln yR 2 2 這里，yNR與yR分別代表農(nóng)民在“正常降雨”與“多雨”情況下的收入。 (1) 假定農(nóng)民一定要在兩種如表5-1所示收入前景的谷物中進行選擇的話，會種哪種 谷物？ 表5-1 小麥和谷子在不同天氣狀況下的收入單位：元 小麥 28000 10000 19000 15000 (2)假定農(nóng)民在他的土地上可以每種作物都播種一半的話，他還會選擇這樣做嗎？請 解釋你的結(jié)論。 (3) 怎樣組合小麥與谷子才可以給

2、這個農(nóng)民帶來最大的預期效用？ (4) 如果對于只種小麥的農(nóng)民，有一種要花費4000元的保險，在種植季節(jié)多雨的情 況下會賠付8000元，那么，這種有關(guān)小麥種植的保險會怎樣改變農(nóng)民的種植情況？ 解：(1 )農(nóng)民種小麥的預期效用E uw為： 6 E(Uw 嚴0.51 n 28000+0.5In 10000 =0.51n (280匯 10 ) 農(nóng)民種谷子的預期效用E Uc為： E 4 嚴0.51 n19000 0.5In15000 =0.51 n 285 106 因為E Uw : E Uc ，所以農(nóng)民會種谷子。 (2) 若農(nóng)民在土地上每種作物都播種一半，他不會選擇繼續(xù)只種谷子。如果農(nóng)民在他 的土地上每

3、種作物各種一半，他的收益如表5-2所示： 表5-2 混合種植時不同天氣狀況下的收入單位：元 祥物 小麥和香子各種一半 23500 12500 從而他的預期效用E u為： E u =0.5In 23500 0.51n12500 =0.5ln 293.75 106 由于 E(Uw )E (% )E(u )，所以農(nóng)民會混合種植。 (3) 假設小麥的種植份額為 一那么混合種植的期望效用EU為: EUn ”28000：. 19000 1 _： fin 1000 15000 1 -：- 0.5in 4 10000 - 5 15000 效用最大化的一階條件為： dEU128000 -19000110000

4、-15000 d2 |28000二腐9000 1 - J 2 |10000.15000 1 - 解得： 4 。 9 此時的期望效用為: EU =0.5 in 4 280005 19000 = 0.5ln 293.9，：.1 所以當農(nóng)民用4/9的土地種小麥，5/9的土地種谷子時，其期望效用達到最大，最大期 望效用為 0.5ln 293.9 1 06。 （4）如果種植小麥的農(nóng)民購買保險，那么他的期望效用E Uw為： E Uw =1|n 28000-4000 ln 10000 4000 =1 n 336 106 這個值大于兩種作物按最優(yōu)混合比例種植所能帶給農(nóng)民的效用，所以農(nóng)民會買保險。 2證明：如一

5、個人擁有初始財產(chǎn)w*，他面臨一場賭博，賭博的獎金或罰金都為h，賭 博的輸贏概率都為 0.5 （公平賭博）。若這個人是風險厭惡型的，那么他就不會參加該賭博。 證明：假設消費者的效用函數(shù)為 u w，那么他參與賭博的期望效用為： 而他不參加賭博的效用為 u w*。對于風險厭惡者，財富的期望值的效用總是大于效用 的期望值，即: 門f w h 這就意味著參與賭博的效用低于不賭博的效用，所以此人不會參加賭博。 3.當決定在一個非法的地點停車時， 任何人都知道，會收到罰款通知單的可能性是 P , 并且罰金額為f。假定所有的個人都是風險厭惡型的（也就是說，u，w ：0，其中，w是 個人的財富）。那么被抓到的可

6、能性的按比例增加和罰金上的按比例增加在防止非法停車方 一 一f2 面哪個更有效？（提示：運用泰勒級數(shù)展開式u w-f =uw - fu w廠一uw ） 答：利用泰勒級數(shù)展開式，非法停車的總效用為： -f2 Pu W-f 廠1-P U W : P u w - fu w u w =U W PfU W !亠1 Pf 2U w 假設罰金的比例增加為原來的t( t .1)倍，那么非法停車的效用就變?yōu)椋?U W ；tPfU W !亠?t2Pf2u W 假設收到罰款通知單的可能性增加為原來的t( t 1)倍，那么非法停車的效用就變?yōu)? u w ;-tPfu w 1tPf2u w 疋： 由于消費者是風險厭惡型

7、的，所以 u w :： 0 , w -tPfU W !亠；t2Pf 2u W : u w -tPfu w 廠；tPf 2u w 這說明罰金的比例和收到罰款通知單的可能性同比例增加，前者會使消費者的效用更 低，所以罰金按比例增加在防止非法停車方面更有效。 4在固定收益率為r的資產(chǎn)上投資 w美元，可以在兩種狀態(tài)時獲得 w 1 r ;而在風 險資產(chǎn)上的投資在好日子收益為 w*(1+厲)，在壞日子為w*(1+h )(其中心Arb )。通過上 述假定，風險資產(chǎn)上的投資就可以在狀態(tài)偏好的框架中被加以研究。 (1) 請畫出兩種投資的結(jié)果。 (2) 請說明包含無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)的“資產(chǎn)組合”怎樣可以在你的圖

8、中得到顯示。 你怎樣說明投資在風險資產(chǎn)中的財富比例？ (3) 請說明個人對于風險的態(tài)度會怎樣決定他們所持有的無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)的組 合。一個人會在什么情況下不持有風險資產(chǎn)？ 答：(1)兩種投資的結(jié)果如圖 5-1所示，A點是將全部財富都投入到風險資產(chǎn)時收益 率狀態(tài)，B點是將全部財富投入到無風險資產(chǎn)時收益率的狀態(tài)。線段AB表示把總資產(chǎn)在風 險和無風險資產(chǎn)上各投資一部分時的資產(chǎn)組合的收益的狀態(tài)。 圖5-1兩種投資的結(jié)果 (2)連接AB的線即資產(chǎn)組合線。 設C點表示一種投資組合，則 竺表示投在風險資產(chǎn)比例，匹表示投在無風險資產(chǎn) |ab|ab| 上的比例。現(xiàn)證明如下: 設c點坐標為:XaxB 0。 盞

9、卩從而詩需一1 即牛,可知 同理雖二邑-1，對雖利用斯拉茨基方程有 主二史一衛(wèi)c，由于交叉替代 dr (1 +r ) 所以第二期的消費量和利率變化方向相同。 12. 一個人買了一打雞蛋、并一定要把它們帶回家。盡管回家的旅行是無成本的，但 在任何一條路上所帶的雞蛋被打破的概率都是50%這個人會考慮兩個戰(zhàn)略。 第一個戰(zhàn)略：走一條路帶所有 12個雞蛋。 第二個戰(zhàn)略：走兩條路，每次帶6個雞蛋。 (1) 請列出每種戰(zhàn)略的可能結(jié)果與每種結(jié)果的可能性。請說明在每種戰(zhàn)略下，回家之 后平均都有6個雞蛋沒有被打碎。 (2) 畫一圖表示在每一種戰(zhàn)略下可獲得的效用，人們會傾向于哪一個戰(zhàn)略？ (3) 采用多于兩條路的方

10、案，效用是否可以被進一步改善？如果其他的路是有成本的， 那么，這種可能性會受到怎樣的影響？ 答：(1)如果此人采用戰(zhàn)略 1,那么可能的結(jié)果與每種結(jié)果的可能性如表5-3所示: 表5-3 戰(zhàn)略1的結(jié)果 結(jié)果(未打碎的雞爼牛 0 12 0. 5 0, 5 如果此人采用戰(zhàn)略 2,那么可能的結(jié)果與每種結(jié)果的可能性如表5-4所示: 表5-4 戰(zhàn)略2的結(jié)果 結(jié)果（未打碎的雞逅”個 0 6 12 0. 25 0. 5 0. 25 未打碎雞蛋的平均個數(shù)為0 0.25 6 0.5 12 0.25=6 （個）。 （2）假設此人的效用函數(shù)為u x，這里x是雞蛋的個數(shù)。那么戰(zhàn)略1帶給此人的效用 為： E s, =0.5

11、u 0 廠0.5u 12 戰(zhàn)略2帶給此人的效用為：E $ ；=0.25u 0 0.5u 60.25u 12 所以可得： E sE S2 =0.5 |0.5u 0 廠0.5u 12；-u 6 ：| 這樣，如果此人是風險厭惡型的，那么由式可知E（s J-E（S2 ）c0，即此人偏好于戰(zhàn) 略2 （如圖5-5所示）；反之，如果此人是風險偏好型的，那么E s -E s, .0，即此人偏 好于戰(zhàn)略1。 （3）如果有其他多于兩條路的方案，那么對于風險規(guī)避者而言，其效用可以進一步 得到提高。這是因為路越多，風險就越容易得到分散。 如果走路是有成本的，那么路越多，成本就越高，這會降低消費者的效用，因此，最 終的

12、結(jié)果是消費者需要在分散風險和降低成本之間進行平衡，也就是說存在某個數(shù)N，當 路的條數(shù)大于 N時，由于成本的增加導致的效用的減少大于由于風險分散引起的效用的提 高，所以消費者的總效用會減少。當路的條數(shù)小于N時，成本的減少導致的效用增加小于 風險的增大引起的效用的降低，所以消費者的總效用也會減少，因此最優(yōu)的選擇就是分 N條 路把雞蛋帶回家。 13. 判斷：下列說法對嗎？為什么？ （1）當利率上升時，原來的貸款者仍將貸款，而且貸款數(shù)量一定會增加；當利率下降 時，原來的借款者將繼續(xù)借款，而且借款數(shù)量至少不會減少。 （2） 跨期消費的第一期和第二期的消費之間的邊際替代率為1 r。 （3）如果名義利率小于

13、通貨膨脹率，則一個理性的消費者不會選擇存錢。 答：（1）第一個說法的前半句正確，后半句錯誤；第二個說法的前半句正確，后半句錯 誤。理由如下：跨期決策的消費者的效用最大化問題為: max u ci ci，C2- C2m2 st Ci 二mi 1+r1 +r 當利率上升時，原來的貸款者仍將貸款，但貸款數(shù)量不一定會增加。理由如下：如圖 5-6所示，利率上升后，預算線從CD變?yōu)锳B，根據(jù)顯示偏好弱公理，消費者的最優(yōu)選擇 一定位于AF段，即消費者一定還是貸款者。但是具體位于AF段的哪一點，則依賴于效用 函數(shù)的具體形式（比如在圖5-6中，如果消費者的無差異曲線為 S，那么消費者的貸款數(shù)量 就會增加；但是如

14、果消費者的無差異曲線為S2，那么消費者的貸款數(shù)量就會減少）。 圖5-6 利率升高對貸款者的影響 當利率下降時，原來的借款者將繼續(xù)借款，但借款數(shù)量的變化不確定。理由和上述的 分析類似，如圖5-7所示。 圖5-7 利率降低對借款者的影響 （2） 這個說法正確。理由如下：如果令pi =1，p2匚，分別為第一期和第二期的 1+r 價格，那么跨期決策的消費者的效用最大化問題就是一個普通的效用最大化問題，根據(jù)最優(yōu) 解的必要條件： MRS1,2工 P2 把P1和P2的表達式代入式中，就有： MRS =1 +r （3） 這個說法錯誤。理由如下：如果考慮通貨膨脹的因素（假設通貨膨脹率為二），那 么跨期決策的消費

15、者的效用最大化問題為： maxu q,C2 C1, C2: 丄1 +証1 +兀 st.c十叫 由于消費者在i期是否存錢依賴于時期 i的消費和時期i的收入的差別，而由上面的優(yōu) 化問題可知，時期i的消費又取決于消費者的效用函數(shù)，兩期的收入和利率以及通貨膨脹率 這些因素的綜合影響， 所以消費者在i期是否存錢也依賴于多個因素的綜合影響，而并非利 率和通貨膨脹率就能決定的。 i4.在一個封閉的村莊中唯一的產(chǎn)品是玉米，由于土地的原因好收成與壞收成交替出 現(xiàn)，今年的收成是iOOO公斤，明年的收成是 i50公斤，這個村莊與外界沒有貿(mào)易。玉米可 以儲存但是老鼠會吃掉 25%村民的效用函數(shù)是uGCaiucG ,

16、5是今年的消費，C2是明年 的消費。 (1) 畫出跨時期預算曲線，指出截距位置。 (2) 村民今年消費量是多少？ (3) 老鼠會吃掉多少？ (4) 村民明年消費多少? (5)如果考慮后年，且效用函效為u(c ,0,0 )=CC2C3 , C3是后年的消費，求解問題(2) (4) 。 44 解：(i)跨期預算線為 c 一q =m - m2 =i200, C _i000，如圖5-8所示。截距在縱 33 軸C2上，縱軸截距為900。 圖5-8 村民的跨期預算線 (2)跨期決策的消費者的效用最大化問題為： max C&2 Ci， C2 4 st . CiC2 =i200 3 5000 這里之所以會有式

17、這個約束條件是因為這是一個封閉的村莊，所以如果第一年的糧食 不夠吃，這個村莊不能從別的地方借到糧食，也就是說第一年的消費上限是i000公斤。但 是在求解這個問題的過程中，可以先不用理會式的約束，只需要對目標函數(shù)式和式應用 拉格朗日乘數(shù)法求出最優(yōu)解，然后在判斷最優(yōu)解是否滿足式即可。利用拉格朗日乘數(shù)法解 得G =600公斤,C2=450公斤且q =600公斤滿足式。故村民今年的消費量為600。 （3） 根據(jù)（2）的結(jié)果，村民將存儲 1000_600 =400公斤玉米，其中400 0.25 = 100公 斤將被老鼠吃掉。 （4） 根據(jù)（2）的結(jié)果可知，第二年村民會消費450公斤玉米。 （5）跨期決策

18、的消費者的效用最大化問題為： max cc2c3 C1， C2， C3 4ai金 st , CiC2C3 =2977.8 33 C1000 4 G -C2 _1200 3 c3乞1000 式的含義是說村民們在前兩年的總消費不能超過前兩年的總收入（因為該村莊不能對 外借糧食）。式的含義是說第三年的消費至少等于該年度的收入，這是因為在這個模型中， 假設消費者只生存三年，所以最后一年要消費掉所有的玉米， 包括前兩年盈余的和第三年新 收的玉米。關(guān)于求解這個最優(yōu)化問題，有幾個要注意的地方： 1）在這個最優(yōu)化問題中，最多只能有兩個等式約束，因為如果有三個等式約束，那么 就可以直接解出5、C2和C3，優(yōu)化問題就沒有意義了。