九級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)課件 （新版）北師大版

1、教學(xué)課件教學(xué)課件 一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：的求根公式： x=x= a acbb 2 4 2 (b2-4ac 0) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 1.1. 填表，觀(guān)察、猜想填表，觀(guān)察、猜想 方程方程 x x1 1, , x x2 2 x x1 1+ + x x2 2 x x1 1. . x x2 2 x x2 2-2-2x x+1=0 +1=0 1,11,12 21 1 x x2 2+3x-10=0+3x-10=02,-52,-5-3-3-10-10 x x2 2+5x+4=0+5x+4=0-1,-4-1,-4-5-54 4 問(wèn)

2、題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的兩根的兩根x x1 1, , x x2 2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 2 0pxq x 如果關(guān)于如果關(guān)于x x的方程的方程 的兩根的兩根是是 , , ,則則: :x1x2 根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1 1呢呢? ? 方方 程程x x1 1, , x x2 2 x x1 1+ + x x2 2 x x1 1. . x x2 2 2 2x x2 2-3-3x x-2=0 -2=0 3 3x

3、 x2 2-4-4x x+1=0 +1=0 問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律；問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律； 用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ax ax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的兩根的兩根x x1, 1, , x x2 2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：（韋達(dá)定理）（韋達(dá)定理） 如果方程如果方程 axax2 2+bx+c=0 (a0) +bx+c=0 (a0) 的兩個(gè)根的兩個(gè)根是是x x1 1 , , x x2 2 , , 那那么么x x1 1+x+x2 2=

4、 - , = - , x x1 1x x2 2= = 注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為 b b2 2-4ac-4ac00 韋達(dá)（韋達(dá)（15401603） 韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。 第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改 進(jìn)。進(jìn)。 他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò) 律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)的議員，在對(duì)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)的議員，在對(duì) 西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯

5、敵軍的密碼。韋達(dá) 還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使 用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了 代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根 的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān) 系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 的結(jié)論稱(chēng)為的結(jié)論稱(chēng)為“韋達(dá)定理韋達(dá)定理”）。）。 韋達(dá)在歐洲被尊稱(chēng)為韋達(dá)在歐洲被尊稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之父代數(shù)學(xué)之父”。 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明：一元二

6、次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明： a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 X1+x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 += a b 2 2 = - X1x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 = 2 4 2 )4 2 ( 2 )( a acbb = 2 4 4 a ac = 例例 已知方程已知方程x x2 2-(k+1)x+3k=0-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是2 2 , ,求求它的它的 另一個(gè)根及另一個(gè)根及k k的值。的值。 解：解： 設(shè)方程的另一個(gè)根為設(shè)方程的另一個(gè)根為 x x1 1. . 把把x=2x=2代入方

7、程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=04-2(k+1)+3k=0 解這方程，得解這方程，得 k= - 2k= - 2 由根與系數(shù)關(guān)系，由根與系數(shù)關(guān)系，得得2x2x1 13k3k 即即 2 x2 x1 1 6 6 x x1 1 3 3 答：方程的另一個(gè)根是答：方程的另一個(gè)根是3 , k3 , k的值是的值是2 2。 練習(xí)練習(xí) 已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程 012) 1( 2 mxmx 當(dāng)當(dāng)m= m= 時(shí)時(shí), ,此方程的兩根互為相反數(shù)此方程的兩根互為相反數(shù). . 當(dāng)當(dāng)m= m= 時(shí)時(shí), ,此方程的兩根互為倒數(shù)此方程的兩根互為倒數(shù). . 1 1 1 1 練習(xí)練習(xí) 已知兩個(gè)數(shù)的和是已知兩

8、個(gè)數(shù)的和是1 1，積是，積是-2-2，則，則兩個(gè)數(shù)是兩個(gè)數(shù)是 。 2 2和和-1-1 解法解法( (一一):):設(shè)兩數(shù)分別為設(shè)兩數(shù)分別為x , yx , y則則: : 1 yx 2 yx 解得解得: : x=2x=2 y= y=1 1 或或 1 1 y=2y=2 解法解法( (二二):):設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的 兩根則兩根則: :02 2 aa 求得求得1, 2 21 aa 兩數(shù)為兩數(shù)為2,2, 已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù)已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù) 拓展：拓展：方程方程 有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m m的取值范圍。的取值范圍。 解解: :由已知由已知, 0) 1(44 2 mmm= 0 1 21 m m xx 即即 m0m0 m-10m-10 0m10m1 )0(012 2 mmmxmx 一正根，一負(fù)根一正根，一負(fù)根 0 0 x x1 1x x2 20 0 兩個(gè)正根兩個(gè)正根 00 x x1 1x x2 20 0 x x1 1+x+x2 20 0 兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根 00 x x1 1x x2 20 0 x x1 1+x+x2 20 0 小結(jié)：小結(jié)：