教育教學(xué)論文數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法及典例

1、數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法及典例廣東省珠海市北師大（珠海）附中（519000 ）吳愛(ài)國(guó)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題型之一，是歷年高考考察的熱點(diǎn)問(wèn)題 . 本文對(duì)遞推數(shù)列求通項(xiàng)、已知an 與 Sn 的關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題作了探究，并給出了典型例題，希望對(duì)大家有所啟發(fā).1. 遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式有兩大類(lèi)思路：第一類(lèi)思路是通過(guò)變形， 求出通項(xiàng) . 其中具備典型特征的遞推式， 有固定變形方法 ( 具體如下 ),其他則需見(jiàn)機(jī)行事，合理變形，轉(zhuǎn)化為固定類(lèi)型求解.遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的類(lèi)型解法如下：( 一) 基本型：(1) “an an 1f ( n)(n2) ”型，可用累加法

2、 .例 1.已知數(shù)列 an 中， a11， an1an2n1 ， nN *，求 an .解：由已知a2a1 1， a3a23， a4a35 ， anan 12n 3以上 n 1個(gè)式子累加得， ana1( n1)(12n3)(n1)22又因?yàn)?a11，所以， ann22n2(nN*).anf ( n)(n 2)”型，可用累乘法 .(2) “an 1例 2. 已知數(shù)列 a 中，a1， nan1 a0 ，n*，求a.n1n 1nNn解：由已知an 1n 1，a22 a33 a44，annanna1，3an 1n 11 a22 a3以上 n 1個(gè)式子累乘得，ann ，又因?yàn)?a11，所以， ann (

3、nN*) .a11(3) “ an 1panq( p、 q為常數(shù)， p1)”型，可用待定系數(shù)法，將其變形為(an 1)p(an) 的形式，從而構(gòu)造新的數(shù)列 an 成等比數(shù)列，進(jìn)一步可求出 an .例 3.已知數(shù)列 a 中， a1， a13a2 ，n* ，求an.n1nnN第1頁(yè)共5頁(yè)解： an 13an2 ， an 13an23(an2)23令1 an1 是以 2 為首項(xiàng)，以3 為公比的等比數(shù)列 .，得3即n1n1*an1 23所以， an231( nN ) .( 二 ) 常規(guī)型： ( 利用固定方式可轉(zhuǎn)化為基本型處理)(1) “ an 1panqn ( p和 q為常數(shù) , p1) ”型法 1：

4、兩邊同時(shí)除以pn1 ，化為 an1an1 ( q ) n，轉(zhuǎn)化為基本型(1)；pn1pnp p法 2：兩邊同時(shí)除以qn1 ，化為 an1pan1，轉(zhuǎn)化為基本型 (3).qn1qqnq例 4.已知數(shù)列 a 中， a1， an13an2n 1 ，nN*，求 a.n1n解法 1：兩邊同時(shí)除以3n 1 ，得 an 1an( 2) n 1 ，即an1an( 2)n 13n 13n33n 13n3利用累加法可得ana1(2)2(2)3( 2)n42n13n333333n又因?yàn)?a11，所以， an53n12n1(nN*).解法 2：兩邊同時(shí)除以n 1an 13 an1.令 bnan，則 bn 1312，得

5、2n122n2nbn2由基本型 (3)待定系數(shù)法易得， bn2 是首項(xiàng)為5 ，公比為3 的等比數(shù)列，532 ，即 an5322所以， bn()n 1()n12得 an53n 12n1 (nN*).222n22(2) “ an 1anf (n) ”型 , 兩邊同除以 (1)n 1 ，化為an 1anf (n)，( 1)n 1( 1)n( 1)n 1轉(zhuǎn)化為基本型(1)；例 5.已知數(shù)列 an中，a11， aa2n，n N*，求an .n 1n解：兩邊同除以(n1，得an 1an2n(n1)n 1(n(n 12)(1)1)1)利用累加法可得(ana1(2)(2)2(2)n1 2 1(2) n 1 1

6、)n13又因?yàn)?a11，所以， an(1)n 12n(nN*).3(3)“an1an(,為常數(shù) ) ”型， 兩邊取倒數(shù)， 化為1q1panp qanp ，轉(zhuǎn)化為基本型 (3).q1an例 6.已知數(shù)列 an 中， a11， an 12an， nN * ，求 an .3an1解： an12an，13an11133anan 12an2 an21由基本型 (3)待定系數(shù)法易得， 13 是首項(xiàng)為2 ，公比為1的等比數(shù)列，an2所以， 1( 2)( 1 )n13，即 an32n21(nN*).an22n2（ 4）“ an1cank(c 0,a0)”型，兩邊取對(duì)數(shù)，化為基本型(3).n例 7. 已知數(shù)列

7、an 中， a11， an 1 3an5 ， nN * ，求 an .解：由已知lg an1lg 35lg an由基本型 (3)待定系數(shù)法易得， lg an1 lg3是首項(xiàng)為1 lg 3 ，公比為 5 的等比數(shù)列，44即 lg an1 lg3 (5n 1) ，所以， an1lg3(5n1)N*).104( n4(5)“ an 1panA0nB0 ( p、 A0、 B0為常數(shù)， p1)” 型法 1：兩邊同時(shí)除以pn1 ， an 1anA0nB0 ，轉(zhuǎn)化為基本型 (1).pn 1pnpn1法2：可用待定系數(shù)法，將其變形為an 1A(n1)Bp(anAnB) ，從而構(gòu)造新的數(shù)列 anAnB 成等比數(shù)

8、列，進(jìn)一步求出an .例 8.已知數(shù)列 an 中， a11， an 13an2n1， nN * ，求 an .解法 1：兩邊同時(shí)除以 3n 1 ，得 an1an2n13n13n3n1第3頁(yè)共5頁(yè)利用累加法可得ana11 3 52n 3112n 33n3 3233343n32 3n 12 3n又因?yàn)?a11，所以， an23n 1n(nN*).解法 2：an13an2n1，設(shè) an1A(n 1)B3(anAn B)2A2A1故 ann 是首項(xiàng)為 2 ，公比為 3的等比數(shù)列 .可得A，解得B02B1所以， an23n 1n (nN*).注：比較上述兩個(gè)解法，很明顯，解法2 更簡(jiǎn)潔，計(jì)算量也小很多，

9、故待定系數(shù)法的思想在解決此類(lèi)型問(wèn)題中較常用 .第二類(lèi)思路是先算前幾項(xiàng)，再猜通項(xiàng).此法多用于小題，解答題中還需證明猜想（常用數(shù)學(xué)歸納法） .例 9.設(shè) an滿足： an 1an2nan1，且 a12 ，求an .解：此題直接計(jì)算似乎無(wú)從下手，于是我們利用題目遞推關(guān)系易得a2 3 ， a34 ， a45 ，于是我們很容易猜想ann1 (nN * ) .然后再用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明（本處過(guò)程從略）.2已知 an 與 Sn 的關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題（三）和項(xiàng)混合型(已知 an 與 Sn 的關(guān)系式，求 an ) ： 一般利用 anSnSn 1 (n2) ，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有an 或 Sn 的遞推關(guān)系，再利用上述

10、方法求出an .例 10.（ 1）設(shè) Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，且2Sn = 3an + 3n ，求 an .（ 2）設(shè) S 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，且 a2 = 2, Sn2= 4an Sn- 1 (n ? 2) ，求 a.nn解：（ 1）當(dāng) n1 時(shí)， 2S1 = 3a1 + 3? 1，得 a13當(dāng) n2 時(shí)， 2Sn = 3an + 3n， 2Sn- 1 = 3an- 1 + 3(n - 1)，得， 2an 3an3an 13即 an3an13由基本型 (3)待定系數(shù)法易得， an3 是首項(xiàng)為9，公比為 3的等比數(shù)列，322所以， an(13n )(nN*).2（ 2）a

11、22S2 24a2 S1即 (2 a1 )24 2 a1得 a12當(dāng) n 2時(shí)， Sn2 = 4an Sn - 1 = 4(Sn -Sn- 1 )Sn- 1整理得Sn24Sn Sn 14Sn210即 ( Sn2Sn 1) 20Sn2Sn1 故 Sn 是首項(xiàng)為 2 ，公比為2 的等比數(shù)列Sn2n當(dāng) n2 時(shí)， anSnSn 12n2n 12n 1所以， an2, n1.2n 1,n2注：本例題第2 問(wèn)如果直接求 an 是比較困難的，于是我們采用“曲線救國(guó)”的思想，先求Sn ，進(jìn)而再求 an ，實(shí)際解答過(guò)程中需要一步步探索 .（四）逐步引導(dǎo)型(題目是通過(guò)多個(gè)小問(wèn)逐步引導(dǎo)，最后求通項(xiàng)) ：應(yīng)注意遵循題目的引導(dǎo)順序逐步求解， 水到渠成地求出通項(xiàng)，切忌不顧引導(dǎo)， 強(qiáng)行利用上述技巧先求通項(xiàng)，這樣往往較麻煩 .例 11.已知數(shù)列 an 中 a12 ，且 an 12( n1)an(nN*) .ann（ 1）求證：