達朗伯原理和動靜法[學校教學]

1、動動 力力 學學 達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的 一個新的普遍方法，即用靜力學中研究平衡一個新的普遍方法，即用靜力學中研究平衡 問題的方法來研究動力學問題，因此又稱為問題的方法來研究動力學問題，因此又稱為 動靜法動靜法。 第第 五五 章章 達達 朗朗 貝貝 爾爾 原原 理理 目錄 動動 力力 學學 53 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 52 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 5 1 達朗達朗貝爾貝爾原理原理 引進慣性力的概念，將動力學系統(tǒng)的二階運動量表示為慣引進慣性力的概念，將動力學系統(tǒng)的二階運動量表示為慣 性力，進而應用靜力學方法研究動力學問題性力，進而應用靜

2、力學方法研究動力學問題 達朗貝達朗貝 爾原理。爾原理。 達朗貝爾原理為解決非自由質點系的動力學問題提供了達朗貝爾原理為解決非自由質點系的動力學問題提供了 有別于動力學普遍定理的另外一類方法。有別于動力學普遍定理的另外一類方法。 達朗貝爾原理一方面廣泛應用于剛體動力學求解動約束達朗貝爾原理一方面廣泛應用于剛體動力學求解動約束 力；另一方面又普遍應用于彈性桿件求解動應力。力；另一方面又普遍應用于彈性桿件求解動應力。 第五章第五章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 工程實際問題工程實際問題 第五章第五章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 第五章第五章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 質點達朗貝爾原理 質點系達朗貝爾原理

3、5-1 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 A B M N FFam 該質點的動力學基本方程為該質點的動力學基本方程為 設質量為設質量為m的非自由質點的非自由質點M，在主，在主 動力動力F和約束力和約束力FN作用下沿曲線運動，作用下沿曲線運動， F* F FN 或或 0)( N aFFm 引入質點的慣性力引入質點的慣性力F* =ma 這一概念，于是上式可改寫成這一概念，于是上式可改寫成 上式表明，上式表明，在質點運動的每一瞬時，作用于質點的主動力、在質點運動的每一瞬時，作用于質點的主動力、 約束力和質點的慣性力在形式上構成一平衡力系。約束力和質點的慣性力在形式上構成一平衡力系。這就是質點這就是質點 的達

4、朗伯原理。的達朗伯原理。 0 N F*FF ama 5-2 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 一、質點達朗伯原理一、質點達朗伯原理 質點達朗貝爾原理的投影形式質點達朗貝爾原理的投影形式 0 0 0 * N * N * N zzz yyy xxx FFF FFF FFF 5-2 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 0 N F*FF 這表明，在質點系運動的任一瞬時，作用于每一質點這表明，在質點系運動的任一瞬時，作用于每一質點 上的主動力、約束力和該質點的慣性力在形式上構成一平上的主動力、約束力和該質點的慣性力在形式上構成一平 衡力系。衡力系。 上述質點的達朗貝爾原理可以直接推廣到質點系。將上述質點的達朗貝爾原理可以

5、直接推廣到質點系。將 達朗貝爾原理應用于每個質點，得到達朗貝爾原理應用于每個質點，得到n個矢量平衡方程。個矢量平衡方程。 0 * N iii FFF 這就是質點系的達朗這就是質點系的達朗貝爾貝爾原理。原理。 5-2 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 二、質點系達朗貝爾原理二、質點系達朗貝爾原理 對于所討論的質點系，有對于所討論的質點系，有n個形式如上式的平衡方程，個形式如上式的平衡方程， 即有即有n個形式上的平衡力系。將其中任何幾個平衡力系合在個形式上的平衡力系。將其中任何幾個平衡力系合在 一起，所構成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學中一起，所構成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學中 空間任意力

6、系的平衡條件，有空間任意力系的平衡條件，有 0 N * i FFF ii 0)()()( N * iOiOiO FMFMFM 5-2 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 0 * N iii FFF 考慮到上式中的求和可以對質點系中任何一部分進行，而考慮到上式中的求和可以對質點系中任何一部分進行，而 不限于對整個質點系，因此，該式并不表示僅有不限于對整個質點系，因此，該式并不表示僅有6個平衡方程，個平衡方程， 而是共有而是共有3n個獨立的平衡方程。同時注意，在求和過程中所有個獨立的平衡方程。同時注意，在求和過程中所有 內(nèi)力都將自動消去。內(nèi)力都將自動消去。 上式表明上式表明在任意瞬時，作用于質點系的主動力、

7、約束在任意瞬時，作用于質點系的主動力、約束 力和該點的慣性力所構成力系的主矢等于零，該力系對任一力和該點的慣性力所構成力系的主矢等于零，該力系對任一 點點O的主矩也等于零。的主矩也等于零。 達朗伯原理提供了按靜力學平衡方程的形式給出質點系動達朗伯原理提供了按靜力學平衡方程的形式給出質點系動 力學方程的方法，這種方法稱為力學方程的方法，這種方法稱為動靜法動靜法。這些方程也稱為。這些方程也稱為動態(tài)動態(tài) 平衡方程。平衡方程。 5-2 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 0 * Niii FFF 0)()()( N * iOiOiO FMFMFM 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 慣性力系的簡化 剛體常見運

8、動情況下 慣性力的主矢和主矩 0 F*F 0 * MM OO 由質心運動定理有由質心運動定理有 F = maC ,得得 對于作任意運動的質點系，把實際所受的力和虛加慣性對于作任意運動的質點系，把實際所受的力和虛加慣性 力各自向任意點力各自向任意點O簡化后所得的主矢、主矩分別記作簡化后所得的主矢、主矩分別記作F，MO 和和F* ，M*O ，于是，由力系平衡條件，可得，于是，由力系平衡條件，可得 C m aF* 即即, ,質點系慣性力的主矢恒等于質點系總質量與質心加速度質點系慣性力的主矢恒等于質點系總質量與質心加速度 的乘積，而取相反方向。的乘積，而取相反方向。 一、 慣性力系的簡化 1.1.慣性

9、力系的主矢慣性力系的主矢 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 由對任意固定點由對任意固定點O的動量矩定理有的動量矩定理有 ， t O O d d L M t O * O d dL M 現(xiàn)將上式兩端投影到任一固定軸現(xiàn)將上式兩端投影到任一固定軸Oz上，上， t L M z d d z * 上式表明上式表明質點系的慣性力對于任一固定點（或固定軸）質點系的慣性力對于任一固定點（或固定軸） 的主矩，等于質點系對于該點（或該軸）的動量矩對時間的導的主矩，等于質點系對于該點（或該軸）的動量矩對時間的導 數(shù)，并冠以負號。數(shù)，并冠以負號。 2.2.慣性力慣性力系的主矩系的主矩 代入代入0 * OO MM 得得

10、 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 t L M z d d * z 上式表明：上式表明：質點系的慣性力對質心（或通過質心的平動軸）質點系的慣性力對質心（或通過質心的平動軸） 的主矩，等于質點系對質心（或該軸）的動量矩對時間的導數(shù)，的主矩，等于質點系對質心（或該軸）的動量矩對時間的導數(shù)， 并冠以負號。并冠以負號。 以及它在通過質心以及它在通過質心C的某一平動軸的某一平動軸 zC上的投影表達式 上的投影表達式 利用相對于質心的動量矩定理，可以得到質點系的慣性力利用相對于質心的動量矩定理，可以得到質點系的慣性力 對質心對質心C的主矩表達式的主矩表達式 t * C d d C L M 5-2 慣性

11、力系的簡化慣性力系的簡化 慣性力慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關。系的主矩與剛體的運動形式有關。 慣性力慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關。系的主矢與剛體的運動形式無關。 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 1. 1. 剛體作平動剛體作平動 aC a1 a2 an M m2 mn m1 F*n F*1 F*2 F* 0*M 剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質心的合力。剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質心的合力。 剛體平移時，慣性力系向質心簡化剛體平移時，慣性力系向質心簡化 )( ii ma*F 主矢主矢 主矩主矩 CCi mmaa )( 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 二、剛體常

12、見運動情況下慣性力的主矢和主矩二、剛體常見運動情況下慣性力的主矢和主矩 O C 2. 2. 剛體做定軸轉動剛體做定軸轉動 設剛體繞固定軸設剛體繞固定軸Oz轉動，在任意瞬轉動，在任意瞬 時的角速度為時的角速度為，角加速度為，角加速度為。 主矢主矢 n C a t C a * n F * t F 具有質量對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉動。具有質量對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉動。 Cii mmaaF )(* 設質心設質心C的轉動半徑為的轉動半徑為rC，則，則 和和 的大小可分別表示為的大小可分別表示為 * F t * Fn nt CCC aaa * FFF nt 5-2 慣性力

13、系的簡化慣性力系的簡化 ; t tC maF * ; n nC maF * rC CC mrma t 2n CC mrma 顯然，當質心顯然，當質心C在轉軸上時，剛在轉軸上時，剛 體的慣性力主矢必為零。體的慣性力主矢必為零。 ; t tC maF * ; n nC maF * 其中其中 )( nt CCC mmaaaF * 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 * FFF nt O C z y x n C a t C a * n F * t F rC 主矢主矢 具有質量對稱平面的剛體繞垂直于具有質量對稱平面的剛體繞垂直于 質量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力質量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力 系

14、向固定軸簡化，得到的系向固定軸簡化，得到的慣性力系主矢慣性力系主矢 的大小等于剛體質量與質心加速度大小的大小等于剛體質量與質心加速度大小 的乘積，方向與質心加速度方向相反的乘積，方向與質心加速度方向相反。 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 )( nt CCC mmaaaF * O C z y x n C a t C a * n F * t F rC O C z y x n C a t C a * n F * t F t JJ tt L M zz z z d d )( d d d d * 即即 zz JM * 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 將剛體對轉軸將剛體對轉軸Oz的動量矩的動量矩 代入代入

15、可得剛體慣性力對可得剛體慣性力對 軸軸Oz的主矩的主矩 t L M z z d d * zz JL 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 rC 具有質量對稱平面的剛體繞垂直具有質量對稱平面的剛體繞垂直 于質量對稱平面的固定軸轉動時，慣于質量對稱平面的固定軸轉動時，慣 性力系向固定軸簡化的結果，得到合性力系向固定軸簡化的結果，得到合 力偶的力偶矩即為力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，慣性力系的主矩， 其大小等于剛體對轉動軸的轉動慣量其大小等于剛體對轉動軸的轉動慣量 與角加速度的乘積，方向與角加速度與角加速度的乘積，方向與角加速度 方向相反。方向相反。 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 5-2 慣性力系的簡

16、化慣性力系的簡化 zz JM * O C z y x n C a t C a * n F * t F 主矢主矢 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質 量與質心加速度大小的乘積，方向與質心加速度方向相反。量與質心加速度大小的乘積，方向與質心加速度方向相反。 具有質量對稱平面的剛體繞垂直于具有質量對稱平面的剛體繞垂直于 質量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力質量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力 系向固定軸簡化的結果，得到一個系向固定軸簡化的結果，得到一個合力合力 和一個和一個合力偶合力偶。 合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩

17、，其大小等于剛體合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體 對轉動軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方對轉動軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方 向相反。向相反。 O C * F M*z 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 zz JM * )( nt CCC mmaaaF * 3. 3. 剛體作平面運動剛體作平面運動 具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動 平面與質量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將平面與質量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將 剛體的空間慣性力系向質量對稱平面內(nèi)簡化，得到這剛體的空間慣性力系向質量對

18、稱平面內(nèi)簡化，得到這 一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作 進一步簡化。進一步簡化。 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 3. 3. 剛體作平面運動剛體作平面運動 若取質心若取質心C為基點，則剛體的平面運動為基點，則剛體的平面運動 可以分解為隨質心可以分解為隨質心C的平動和繞質心（通過的平動和繞質心（通過 質心且垂直于運動平面的軸）的轉動。質心且垂直于運動平面的軸）的轉動。 C aC ri mi aC t r i a n r i a 剛體上各質點的加速度及相應的慣剛體上各質點的加速度及相應的慣 性力也可以分解為性力也可以分解為隨質心的平

19、動和繞質隨質心的平動和繞質 心軸的轉動心軸的轉動兩部分。兩部分。 于是，此剛體的于是，此剛體的牽連平動慣性力牽連平動慣性力可合可合 成為作用線通過質心、且在對稱面內(nèi)的一成為作用線通過質心、且在對稱面內(nèi)的一 個力個力F*。 因質心因質心C在相對運動的轉軸上，故剛在相對運動的轉軸上，故剛 體的體的相對轉動的慣性力合成為一力偶。相對轉動的慣性力合成為一力偶。 F* M*C 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 C maF * 具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與 質量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質心簡化質量對稱平面互相平行。這種

20、情形下，慣性力系向質心簡化 的結果得到的結果得到一個合力一個合力和和一個合力偶一個合力偶，二者都位于質量對稱平，二者都位于質量對稱平 面內(nèi)。面內(nèi)。 合力的矢量即為慣性力系的合力的矢量即為慣性力系的 主矢，其大小等于剛體質量與質心主矢，其大小等于剛體質量與質心 加速度大小的乘積，方向與質心加加速度大小的乘積，方向與質心加 速度方向相反。速度方向相反。 主矢主矢 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 C aC ri mi aC t r i a n r i a F* M*C 合力偶的力偶矩即為慣性力合力偶的力偶矩即為慣性力 系的主矩，其大小等于剛體對通系的主矩，其大小等于剛體對通 過質心的轉動軸的轉

21、動慣量與角過質心的轉動軸的轉動慣量與角 加速度的乘積，方向與角加速度加速度的乘積，方向與角加速度 方向相反。方向相反。 zCC JM * 主矩主矩 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 C aC ri mi aC t r i a n r i a F* M*C zCC JM * 主矩主矩 C maF * 主矢主矢 Cii mmaaF * )( 主矢主矢 主矩主矩 0 * M 主矢主矢)( nt CCC mmaaaF * z JM * z 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 綜上所述：綜上所述： 5-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題例題 5-1 汽車連同貨物的總質

22、量是汽車連同貨物的總質量是m ，其質心，其質心 C 離前后離前后 輪的水平距離分別是輪的水平距離分別是 b 和和 c ，離地面的高度是，離地面的高度是 h 。當汽車以。當汽車以 加速度加速度a沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。 輪子的質量不計。輪子的質量不計。 AB C cb h 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題 5-1 取汽車連同貨物為研取汽車連同貨物為研 究對象。汽車實際受到的究對象。汽車實際受到的 外力有：重力外力有：重力 G，地面對，地面對 前、后輪的鉛直反力前、后輪的鉛直反力 FNA 、 FNB 以及水平摩擦力以及水

23、平摩擦力 FB (注注 意：前輪一般是被動輪，意：前輪一般是被動輪， 當忽略輪子質量時，其摩當忽略輪子質量時，其摩 擦力可以不計擦力可以不計)。 解： 因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質心因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質心 C 上的上的 一個力一個力 F*= ma 。 C c b h 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 ) 1 ( 0)( , 0 N * cbFmgchFM AB 于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程 由式由式(1)和和(2)解得解得 cb ahgbm F cb ahgcm F B A )( )( N N )2( 0)( , 0 N * cbFm

24、gbhFM BA 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 C c b h 無無ABS系統(tǒng)時，剎車會產(chǎn)生側滑現(xiàn)象系統(tǒng)時，剎車會產(chǎn)生側滑現(xiàn)象 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 汽車剎車時，前輪和后輪哪個容易汽車剎車時，前輪和后輪哪個容易“抱死抱死”？ 車輪防抱死裝置車輪防抱死裝置ABS: Anti-Brake System 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 思考題 1 l 2 l h gm 1 l 2 l h gm 1 F 1N F 2 F 2N F 分析汽車剎車時的動力學特性分析汽車剎車時的動力學特性 * F 0)(, 0 * 2211N hFmglllFM B 21 * 2 1N ll

25、hFmgl F 0)(, 0 * 1212N hFmglllFM A 21 * 1 2N ll hFmgl F 剎車時的動力學特性：剎車時的動力學特性：車頭下沉；車頭下沉； 若質心在中間，后輪容易打滑。若質心在中間，后輪容易打滑。 A B 底盤可升降的轎車底盤可升降的轎車 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題例題5-2 如圖所示，如圖所示， 勻質滑輪的半徑為勻質滑輪的半徑為r，質，質 量為量為m，可繞水平軸轉動。，可繞水平軸轉動。 輪緣上跨過的軟繩的兩端輪緣上跨過的軟繩的兩端 各掛質量為各掛質量為m1和和m2的重物的重物, 且且m1 m2 。繩的重量不計，。繩的重量不計， 繩與滑輪之間無

26、相對滑動，繩與滑輪之間無相對滑動， 軸承摩擦忽略不計。求重軸承摩擦忽略不計。求重 物的加速度和軸承反力。物的加速度和軸承反力。 O A B r O 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題 5-2 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 以滑輪與兩重物一起組成所研究的以滑輪與兩重物一起組成所研究的 質點系。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力質點系。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力 m1g，m2g，mg和軸承約束反力和軸承約束反力FN。 , 1 * 1 amF amF 2 * 2 O A B r y 解：解： 已知已知m1m2，則重物的加速度，則重物的加速度a方向方向 如圖所示。如圖所示。 在系統(tǒng)中每個質點上

27、假想地加上在系統(tǒng)中每個質點上假想地加上 慣性力后，可以應用達郎伯原理。慣性力后，可以應用達郎伯原理。 重物的慣性力方向均與加速度重物的慣性力方向均與加速度a 的方向相反，大小分別為：的方向相反，大小分別為： O 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 滑輪定軸轉動，慣性力向轉軸滑輪定軸轉動，慣性力向轉軸O簡簡 化?；?。 0( * 2211 O * Mg)rmFFgm 應用達朗貝爾原理列平衡方程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 F*=maO=0 主矩主矩 M*O=JO = mar r a mr 2 1 2 1 2 O A B r y O , 0 y F , 0)( F O M 0 21

28、21N * FFgmgmmgF 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 g mmm mm a 2 1 21 21 解得解得 0 * 2211 O * MgrmrFrFgrm , 0 y F , 0)( F O M 0 2121N * FFgmgmmgF 0 2121N amamgmgmmgF , 2 * 2 amF marMO 2 1 * O A B r y O 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題例題5-3飛輪質量為飛輪質量為m，半徑為，半徑為R，以，以勻角速度勻角速度轉動。轉動。 設輪緣較薄，質量均勻分布，輪輻質量不計。若不考慮設輪緣較薄，質量均勻分布，輪輻質量不計。若不考慮 重力的影

29、響，求輪緣橫截面的張力。重力的影響，求輪緣橫截面的張力。 例題 5-3 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 取四分之一輪緣為研究對象，如取四分之一輪緣為研究對象，如 圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段，圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段， 每段加慣性力每段加慣性力 n* iii maF 2n* 2 RR R m amF iiii 建立平衡方程建立平衡方程 , 0 x F 0 cos * Aii FF 令令 ，有，有0 i 2 d cos 2 2 2 0 2 mR R m FA 解： 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 由于輪緣質量均分布，任一截由于輪緣質量均分布，任一截 面張力都相同。面張力都

30、相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0 y F 0 sin * Bii FF 2 2 mR FB 同樣解得同樣解得 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 x y O C A 例題例題5-4 車輛的主動輪如車輛的主動輪如 圖所示。設輪的半徑為圖所示。設輪的半徑為r，重，重 為為W1(W1= mg)，在水平直線，在水平直線 軌道上運動。車身對輪子的軌道上運動。車身對輪子的 作用力可分解為作用力可分解為W和和F，驅動，驅動 力偶矩為力偶矩為M。車輪對通過其。車輪對通過其 質心并垂直于車輪對稱面的質心并垂直于車輪對稱面的 軸的回轉半徑為軸的回轉半徑為C ，輪與軌輪與軌 道間的滑動摩擦系數(shù)為道間的

31、滑動摩擦系數(shù)為fs，不，不 計滾動摩阻的影響。求在不計滾動摩阻的影響。求在不 滑動條件下，驅動力偶矩滑動條件下，驅動力偶矩M 的最大值。的最大值。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題 5-4 慣性力系：因車輪作平面運動，設車慣性力系：因車輪作平面運動，設車 身有向前的加速度身有向前的加速度a，則慣性力系向，則慣性力系向 質心質心C簡化的主矢量簡化的主矢量F*和主矩和主矩M*C為：為： 分析車輪的受力情況如下。分析車輪的受力情況如下。 主動力系主動力系: 車身的載荷車身的載荷F和和W，驅動，驅動 力偶矩力偶矩M，車輪的重量，車輪的重量W1=mg。 約束力系：法線約束力約束力系：法線約束力

32、FN ，滑動摩擦，滑動摩擦 力力Ff 。 解：解： x y O C A 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 應用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程：應用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程： , 0 x F 0 * f FFF , 0 y F 0 1N WWF , 0)( F C M 0 f * MrFM C x y O C A 0)( F A M是否可以是否可以 ？ 0)( * MrFFM C 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 再利用再利用Ff fsFN的條件，可得的條件，可得 22 2 f r FMr F C C 1N WWF 上三式包含上三式包含F(xiàn)f ，F(xiàn)N和和a三個未三個未 知量，故可解出知量，故可解

33、出 x y O O A 2 2 2 2 1s )1)( r F r WWfrM CC 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題例題5-5 如圖所示，如圖所示， 勻質圓盤的半徑為勻質圓盤的半徑為r，質，質 量為量為m，可繞水平軸，可繞水平軸O轉轉 動。突然剪斷繩，求圓盤動。突然剪斷繩，求圓盤 的角加速度和軸承的角加速度和軸承O處的處的 反力。反力。 A B rO C 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題 5-5 A B r O C y x t C a n C a 圓盤定軸轉動，慣性力向轉軸圓盤定軸轉動，慣性力向轉軸O簡化。簡化。 0( * t OOy M)rFF 應用達朗貝爾原理列平衡方

34、程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 F*t=matC= m r 主矩主矩 M*O= JO = 2 2 3 mr , 0 y F , 0)( F C M FOx +F*n=0 , 0 x F FOy + F*tmg= 0 F*n=mr2= 0 0)( F O M是否可以是否可以？ 0 * O Mmgr 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 解：解： A B r O C y x t C a n C a 若認為圓盤平面運動，則慣性力應向圓心若認為圓盤平面運動，則慣性力應向圓心C簡化。簡化。 0 * COy MrF 應用達朗貝爾原理列平衡方程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 F

35、*t=matC= m r 主矩主矩 M*C= JC = 2 2 1 mr , 0 y F , 0)( F C M FOx +F*n=0 , 0 x F FOy + F*tmg= 0 F*n=mr2= 0 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 討論 例題例題 5-6 用長用長 l 的兩根繩子的兩根繩子 AO 和和 BO 把長把長 l ，質量是質量是 m 的勻質細桿懸在點的勻質細桿懸在點 O (圖圖 a )。當桿靜止時，突然剪斷繩子。當桿靜止時，突然剪斷繩子 BO ，試求剛剪斷瞬時另一繩子，試求剛剪斷瞬時另一繩子 AO 的拉力。的拉力。 O l l l B A C （a） 5-3 動靜法應用舉例動

36、靜法應用舉例 例題 5-6 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 繩子繩子BO剪斷后，桿剪斷后，桿AB將開始在鉛直將開始在鉛直 面內(nèi)作平面運動。由于受到繩面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，的約束， 點點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子 BO剛剪斷的瞬時，桿剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩上的實際力只有繩 子子AO的拉力的拉力F和桿的重力和桿的重力mg。 解：解： 在引入桿的慣性力之前，須對桿作在引入桿的慣性力之前，須對桿作加加 速度速度分析。取坐標系分析。取坐標系Axyz 如圖如圖(c)所示。所示。 aA = anA + atA= aCx + aCy

37、+ atAC + anAC O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 利用剛體作平面運動的加速度合成定利用剛體作平面運動的加速度合成定 理，以質心理，以質心C作基點，則點作基點，則點A的加速度為的加速度為 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 在繩在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度剛剪斷的瞬時，桿的角速度 = 0 ，角加速度，角加速度 0。因此。因此 又又 anA=0，加速度各分量的方向如圖，加速度各分量的方向如圖(c)所示。所示。 把把 aA 投影到點投影到點A軌跡的法線軌跡的法線 AO上，就得到上，就得到 anAC = AC

38、 2 = 0 atAC = l2 sin sin cos0 t ACCyCx aaa 這個關系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的這個關系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的 條件。條件。 即即0 sin 2 l sin - cos CyCx aa （1） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 桿的慣性力合成為一個作用在質心桿的慣性力合成為一個作用在質心 的力的力 F*C 和一個力偶和一個力偶M*C ，兩者都在運，兩者都在運 動平面內(nèi)，動平面內(nèi)， F*C的兩個分量大小分別是的兩個分量大小分別是 F

39、*Cx = maCx , F*Cy = maCy 力偶矩力偶矩 M*C 的大小是的大小是 M*C = JCz 旋向與旋向與相反相反( 如圖如圖b)。 O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 F*Cx F*Cy M*C 由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有 且對于細桿且對于細桿 , JCz = ml 212 。 聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程(1)(4)，就可求出，就可求出 mg mg F 13 32 cossin4 sin 22 0sin 2 , 0)( 0sin,

40、 0 0cos, 0 l FJ M Fmgma F Fma F zCC Cyy Cxx F （2） （3） （4） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 F*Cx F*Cy M*C 例題例題5-8 半徑為半徑為R，重量為，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，在的大圓輪，由繩索牽引，在 重量為重量為W2的重物的重物A的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng)的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng) 中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦

41、 力。力。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例題 5-8 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 解：解： 先應用動能定理，求出先應用動能定理，求出 加速度，再對大圓輪應加速度，再對大圓輪應 用動靜法。用動靜法。 sWT R v R g W v g W v g W 20 22 1 2 1 2 2 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 1. 應用動能定理。應用動能定理。 A 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 sWT R v R g W v g W v g W 20 22 1 2 1 2 2 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 sWTv g W g W 20 2 12 ) 2 3

42、 ( 2 1 v t s d d 12 2 2 3 WW gW a 1. 應用動能定理。應用動能定理。 兩邊對時間兩邊對時間t求導，且求導，且 得得 A 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 12 2 2 3 WW gW a 0 0,)( FRJM CC F ) 2 3 ( 2 12 12 2 WW WW R aJ R J F CC 2. 應用動靜法。應用動靜法。 取輪子為研究對象。取輪子為研究對象。 將將 帶入上式得帶入上式得 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 例例5-9 鉛直軸鉛直軸AB以勻角速度以勻角速度轉動，軸上轉動，軸上 固連兩水平桿固連兩水平桿CD和和EF，兩桿分別和轉軸，兩桿

43、分別和轉軸 形成的平面夾角是形成的平面夾角是，兩桿長度都是，兩桿長度都是l，其，其 余尺寸如圖余尺寸如圖14-9所示。今在兩桿端上各固所示。今在兩桿端上各固 連一小球連一小球D和和F，它們的質量都是，它們的質量都是m，不計，不計 轉軸和桿的質量。試求軸承轉軸和桿的質量。試求軸承A、B對軸的動對軸的動 反力。反力。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 2 FD laa 2 FD mlQQ 當轉軸以勻角速度當轉軸以勻角速度轉動時，兩小轉動時，兩小 球只有法向加速度，其大小是球只有法

44、向加速度，其大小是 兩小球慣性力的大小是兩小球慣性力的大小是 方向分別沿方向分別沿CD和和EF，真實力與慣性力構，真實力與慣性力構 成空間任意力系，如圖所示。因對象上的成空間任意力系，如圖所示。因對象上的 慣性力是兩個集中力，所以不必簡化。慣性力是兩個集中力，所以不必簡化。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 解：解：取轉軸連同兩桿和兩小球為研究對取轉軸連同兩桿和兩小球為研究對 象。它所受的真實力有兩球的重力象。它所受的真實力有兩球的重力 G=mg和軸承和軸承A、B的反力。的反

45、力。 , 0 x F 0sin 2 BxAx mlFF , 0 y F 0cos 22 ByAy mlmlFF , 0 z F0mgmgFAz , 0)( Fm x cos)(amlhmlhF 22 By 0cosmglmgl , 0)( Fmy 0sinsinmglamlhF 2 Bx 取坐標系如圖，并根據(jù)達朗伯原理列出平衡方程取坐標系如圖，并根據(jù)達朗伯原理列出平衡方程 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 sin)( 2 Ax hg h ml F gaah h ml F 22

46、 Ay )cos1 (cos)( mgFAz2 sin)(ga h ml F 2 Bx gaah h ml F 22 By )cos1 (cos)( 聯(lián)立求解上列聯(lián)立求解上列5個方程，得到軸承的反力是個方程，得到軸承的反力是 （1） 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 上述解答式中，不含上述解答式中，不含2的項是轉子（機器中的轉動部件，的項是轉子（機器中的轉動部件， 本題中是轉軸、桿及小球所組成的轉動剛體）靜止時的本題中是轉軸、桿及小球所組成的轉動剛體）靜止時的靜反靜反 力力；而含；而含2的項是轉子勻速轉動時的慣性力引起的的項是轉子勻速轉動時的慣性力引起的附加動反附加動反 力力，它們的反作用

47、力是軸承所受的，它們的反作用力是軸承所受的附加動壓力附加動壓力。 轉子勻速轉動時的附加動壓力隨轉子勻速轉動時的附加動壓力隨的增大而急劇增大的增大而急劇增大 （與（與2成比例），且其在空間的方向隨時間而周期性變化它成比例），且其在空間的方向隨時間而周期性變化它 將影響軸承的使用壽命，并引起周圍物體的振動。將影響軸承的使用壽命，并引起周圍物體的振動。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 0 BxAx FF 2 ByAy ah h ml FF)2( mgFAz2 (2) 為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本 例的如下兩種特例：例的如下兩種

48、特例： 1. 當當=時，由式（時，由式（1），有），有 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 0 BxAx FF 2 ByAy ah h ml FF)2( mgFAz2 (2) 為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本 例的如下兩種特例：例的如下兩種特例： 1.當當=時，由式（時，由式（1），有），有 事實上，當事實上，當=時，轉子質心在轉軸上，從而轉子時，轉子質心在轉軸上，從而轉子慣性力慣性力 主矢主矢等于零，使得附加動壓

49、力中由慣性力主矢引起的部分得以等于零，使得附加動壓力中由慣性力主矢引起的部分得以 消除。注意到質心在轉軸上的轉子若除自身重力外不受其他主消除。注意到質心在轉軸上的轉子若除自身重力外不受其他主 動力作用，則轉子可在任意放置的位置上靜止平衡，所以這種動力作用，則轉子可在任意放置的位置上靜止平衡，所以這種 質心在轉軸上的情況稱為質心在轉軸上的情況稱為靜平衡靜平衡。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 可以看出，式（可以看出，式（2）中的第二式表）中的第二式表 示了兩小球慣性力所形成的力偶示了兩小球慣性力所形成的力偶 所引起的附加動反力。一般也如所引起的附加動反力。一般也如 此，即僅靜平衡的轉子，還

50、不能此，即僅靜平衡的轉子，還不能 完全消除附加動反力。完全消除附加動反力。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 0 BxAx FF 2 ByAy )a2h( h ml FF mgFAz2 當當=時，由式（時，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 2. 當當=時，且時，且h=2a時，時， 由式（由式（2）有）有 0 ByAyBxAx FFFF mgFAz2 (3) 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 0 BxAx FF 2 ByAy ah h ml FF)2( mgFAz2 當當=時，

51、由式（時，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣性即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣性 力自成平衡的情況稱為力自成平衡的情況稱為動平衡動平衡。 動平衡在工程技術中有重要意義。為了使高速旋轉部件，動平衡在工程技術中有重要意義。為了使高速旋轉部件， 如陀螺儀的轉子、航空發(fā)動機的轉子等工作時的附加動壓力如陀螺儀的轉子、航空發(fā)動機的轉子等工作時的附加動壓力 減小到允許的范圍之內(nèi)，常常要在專門的動平衡試驗機上進減小到允許的范

52、圍之內(nèi)，常常要在專門的動平衡試驗機上進 行試驗，并在轉子上適當?shù)奈恢米髻|量配置，使轉子質心的行試驗，并在轉子上適當?shù)奈恢米髻|量配置，使轉子質心的 偏離、慣性力的大小都控制在允許的范圍內(nèi)。偏離、慣性力的大小都控制在允許的范圍內(nèi)。 5-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣 性力自成平衡的情況稱為性力自成平衡的情況稱為動平衡動平衡。 為檢查剛體是否靜平衡，通常采用靜平衡架，將剛體為檢查剛體是否靜平衡，通常采用靜平衡架，將剛體 的轉軸放在兩個水平支撐上。若質心在轉軸上，則剛體可的轉軸放在兩個水平支撐上。若質心在轉軸上，則剛體可 靜止在任何位置隨遇平衡。若質心不在軸線上，剛體就只靜止在任何位置隨遇平衡。若質心不在軸線上，剛體就只 能靜止在質心能靜止在質心C最低時的穩(wěn)定位置上如圖。最低時的穩(wěn)定位置上如圖。 靜平衡的檢查靜平衡的檢查 5-3 動靜法應用舉例動靜法