2019年春七年級數(shù)學(xué)下冊 第四章 三角形 1 認(rèn)識三角形同步課件 （新版）北師大版

1、第四章三角形 知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一 三角形的有關(guān)概念三角形的有關(guān)概念 1.三角形的概念:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的 圖形叫做三角形. 2.三角形的基本要素:組成三角形的三條線段叫做三角形的邊;相鄰兩 邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn);相鄰兩邊夾的角叫做三角形的內(nèi)角. 3.三角形的符號表示:三角形用符號“”表示,頂點(diǎn)是A、B、C的三角 形記作“ABC”,讀作“三角形ABC”. 一般地,ABC的三邊用a、b、c表示時(shí),A所對的邊BC用a表示;B所 對的邊AC用b表示;C所對的邊AB用c表示. 4.有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.三邊都相等的三角形是等邊三角形. 例1如圖4-1-1所示

2、,圖中共有多少個三角形?請把它們分別表示出來. 圖4-1-1 分析分析因?yàn)樗腥切味加幸粭l邊在BC上,所以要數(shù)清三角形的個數(shù), 其實(shí)只要數(shù)清線段BC上共有多少條線段就行了. 解析解析共有6個三角形,分別是ABD、ABE、ABC、ADE、 ADC、AEC. 知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二 三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系 1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180. 2.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用:在三角形中,已知任意兩個內(nèi)角的度數(shù)可 以求出第三個內(nèi)角的度數(shù);已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系,可以求出各 個內(nèi)角的度數(shù);求一個三角形中各角之間的關(guān)系. 3.三角形按角分類: : : : 直角三角形

3、有一個角是直角的三角形 銳角三角形 三個角都是銳角的三角形 鈍角三角形 有一個角是鈍角的三角形 溫馨提示溫馨提示 按內(nèi)角的大小判斷一個三角形的形狀時(shí)主要看三角形中最 大內(nèi)角的度數(shù),若最大內(nèi)角為銳角,則該三角形為銳角三角形;若最大內(nèi) 角為直角,則該三角形為直角三角形;若最大內(nèi)角為鈍角,則該三角形為 鈍角三角形. 4.表示方法:通常我們用“RtABC”表示“直角三角形ABC”.直角所對 的邊叫做直角三角形的斜邊,夾直角的兩條邊叫做直角邊.如圖4-1-2所示. 圖4-1-2 性質(zhì):直角三角形的兩個銳角互余.如在RtABC中,C=90,則A+B=90. 例2根據(jù)下列所給條件,判斷ABC的形狀. (1)

4、A=45,B=65,C=70; (2)C=110; (3)C=90; (4)AB=BC=3,AC=4. 分析分析根據(jù)三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.若已知的是角,則按角的分類 標(biāo)準(zhǔn)去判斷.若已知的是邊,則按邊的分類標(biāo)準(zhǔn)去判斷. 解析解析(1)因?yàn)锳=45,B=65,C=70, 所以ABC90, 所以ABC是鈍角三角形. (3)因?yàn)镃=90, 所以ABC是直角三角形. (4)因?yàn)锳B=BC=3,AC=4, 所以ABC是等腰三角形. 知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三 三角形的三邊關(guān)系三角形的三邊關(guān)系 文字?jǐn)⑹鰯?shù)學(xué)語言理論依據(jù)圖形 三角形的 三邊關(guān)系 內(nèi)容三角形任意兩邊的和 大于第三邊 在ABC中,a,b,c為三邊長,

5、則有a+bc,b+ca,a+cb 兩點(diǎn)之間,線段最 短 三角形任意兩邊的差 小于第三邊 在ABC中,a,b,c為三邊長, 則有a-bc,b-ca,c-ab 應(yīng)用(1)判斷三條線段能否組成三角形. (2)已知三角形的兩邊,求第三邊的取值范圍 知識詳解(1)三角形第三邊的取值范圍:兩邊之差的絕對值第三邊c,b+ca,a+cb都成立時(shí),a,b,c可構(gòu)成三角形;b.當(dāng)|a-b|ca 時(shí),a,b,c可構(gòu)成三角形 例3 (2017江蘇揚(yáng)州中考)若一個三角形的兩邊長分別為2和4,則該三 角形的周長可能是() A.6 B.7 C.11 D.12 解析解析設(shè)第三邊的長為x,三角形兩邊的長分別是2和4,4-2x2

6、+4, 即2x6.則三角形的周長C滿足8CAC+CE. 在CBE中,CE+BEBC. 由和得AD+DE+BE+CEAC+BC+CE. 所以AD+BDAC+BC. 圖4-1-5 點(diǎn)撥點(diǎn)撥(1)實(shí)際問題首先需要抽象為幾何模型,為此,視村莊為點(diǎn),道路為 線,路程的長短用線段和的不等關(guān)系表示. (2)解決幾條線段間的不等關(guān)系,應(yīng)利用三角形的三邊關(guān)系,為此,連接 AB,得BD+DAAB,CA+CBAB,但仍無法得出結(jié)論,故可考慮構(gòu)造另外的 三角形,找到所要說明的線段之間的關(guān)系. 例2如圖4-1-6所示,在ABC中,已知點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、CE 的中點(diǎn),且ABC的面積是4 cm2,則陰影部分的面

7、積等于() 圖4-1-6 A.2 cm2 B.1 cm2 C.0.25 cm2 D.0.5 cm2 題型二題型二 三角形的中線與面積三角形的中線與面積 解析解析點(diǎn)F是CE的中點(diǎn), BF是BCE的中線, SBEF=SBEC, 同理得SBDE=SABD,SEDC=SADC, SEBC=SABC, SBEF=SABC, 又SABC=4 cm2, SBEF=1 cm2,即陰影部分的面積為1 cm2. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 答案答案 B 點(diǎn)撥點(diǎn)撥三角形的中線將三角形分成兩個面積相等的小三角形. 易錯點(diǎn)易錯點(diǎn) 對三角形高的概念掌握得不好對三角形高的概念掌握得不好 例已知在鈍角ABC中,A

8、為鈍角,作出ABC的高BD. 錯解錯解如圖4-1-7. 圖4-1-7 錯因分析錯因分析沒有弄清楚三角形的高的概念. 正解正解如圖4-1-8. 圖4-1-8 知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一 三角形的有關(guān)概念三角形的有關(guān)概念 1.下列4個圖形都是由三條線段組成的圖形,其中是三角形的是() 答案答案 C按三角形的定義進(jìn)行判斷.觀察每一個選項(xiàng)中的圖形,只有C 中的圖形是三角形. 2.圖4-1-1中有幾個三角形?將它們分別表示出來,并指出它們的頂點(diǎn)和邊. 圖4-1-1 解析解析題圖中有3個三角形,可分別表示為ABC、ABE、AEC. ABC的頂點(diǎn)是A、B、C,邊是AB、BC、CA; ABE的頂點(diǎn)是A、B、E,邊是AB

9、、BE、AE; AEC的頂點(diǎn)是A、E、C,邊是AE、EC、AC. 知識點(diǎn)二 三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系 3.(2017廣西南寧中考)如圖4-1-2,ABC中,A=60,B=40,則C等 于() 圖4-1-2 A.100 B.80 C.60 D.40 答案答案 B由三角形內(nèi)角和定理得,C=180-A-B=80,故選B. 4.(2017四川巴中中考)若一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1 2 3,則 這個三角形是() A.銳角三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形 答案答案 D 設(shè)三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x,2x,3x,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得x +2x+3x=180,解得x=30,三個內(nèi)角的

10、度數(shù)分別為30,60,90,則這個 三角形為直角三角形,故選D. 知識點(diǎn)三 三角形三邊的關(guān)系 5.(2017江蘇淮安中考)若一個三角形的兩邊長分別為5和8,則第三邊長 可能是() A.14B.10 C.3D.2 答案答案 B設(shè)第三邊長為x,則8-5x5+8,即3x5,能構(gòu)成三角形,但不是等腰三 角形;C.4+55,能構(gòu)成三角形,且是等腰三角形;D.6+620,不能構(gòu)成三角形. 知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四 三角形的高、中線和角平分線三角形的高、中線和角平分線 7.如圖4-1-3,在ABC中,C=90,D,E是AC上兩點(diǎn),且AE=DE,BD平分 EBC,則下列說法中不正確的是() 圖4-1-3 A.BE是A

11、BD的中線 B.BD是BCE的角平分線 C.1=2=3 D.BC是ABE的高 答案答案 C在ABD中,AE=DE,說明點(diǎn)E是ABD的邊AD的中點(diǎn),所以 BE是ABD的中線,故A中說法正確.在BCE中,EBC是BCE的一個 內(nèi)角,又BD平分EBC交EC于點(diǎn)D,所以BD是BCE的角平分線,故B中 說法正確.由條件只能得到BE是ABD的中線,而不能得到BE是ABD 的角平分線,所以不能得到1=2,故C中說法錯誤.由C=90得BC垂 直于AE,交AE的延長線于點(diǎn)C,在ABE中,AE是一邊,所以BC是ABE 的高,故D中說法正確.故選C. 8.如圖4-1-4所示,AD是ABC中BC邊上的中線,DE是AD

12、C中AC邊上 的中線,若ABC的面積為4,則DEC的面積為 . 圖4-1-4 答案答案1 解析解析AD是ABC的中線,SABD=SACD=SABC=2.同理,SDEC=SACD =2=1. 1 2 1 2 1 2 1.如圖,A=35,B=C=80,則D的度數(shù)是() A.35 B.55 C.65 D.75 答案答案 AAOB=COD,A+B+AOB=180, COD=AOB=180-35-80=65, 又C+D+COD=180,D=180-80-65=35. 2.適合下列條件的ABC中,直角三角形的個數(shù)是() A B C=1 2 3;A+B=C; A=90-B;A=B=2C. A.1 B.2 C

13、.3 D.4 答案答案 C設(shè)A=x,B=2x,C=3x,則x+2x+3x=180,x=30,C =3x=90. A+B+C=180,A+B=C,2C=180,C=90. A=90-B,A+B=90.C=180-(A+B)=90. 由A+B+C=180,A=B=2C,得2C+2C+C=180, C=36,A=B=72.故選C. 3.(2016江蘇海安二模)若三角形的三邊長分別為3,4,x,則x的值可能是 () A.1 B.6 C.7 D.10 答案答案 B4-3=1,4+3=7,1xAC,AB=8 cm,ABD與ACD的周長差 為2 cm,則AC= cm. 答案答案6 解析解析 ABD的周長=A

14、B+BD+AD,ACD的周長=AC+AD+DC.AB AC,AD是ABC的中線,ABD的周長-ACD的周長=AB-AC=2 cm, AB=8 cm,AC=8-2=6 cm. 1.已知三角形的兩邊長分別是2 cm、3 cm,則該三角形的周長l的取值范 圍是() A.1 cml5 cmB.2 cml6 cm C.5 cml9 cmD.6 cml10 cm 答案答案 D設(shè)三角形第三邊的長為x cm,則l=2+3+x=(5+x)cm. 3-2x2+3,1x5,6 cml0, (a+b+c)(a-b)=0,a-b=0,a=b,ABC是等腰三角形. 2.將一副直角三角板按圖所示的方式放置,使含30角的三角

15、板的較短 直角邊和含45角的三角板的一條直角邊重合,則1的度數(shù)為() A.75 B.60 C.45 D.30 答案答案 A如圖.2+3=90+90=180,CBDF, 4=F=30. 又B=45,4+5+B=180, 5=180-30-45=105. 又1+5=180, 1=180-105=75. 3.如圖,已知在ABC中,AE平分BAC,過AE延長線上一點(diǎn)F作FDBC 于D,若F=6,C=30,則B= . 答案答案42 解析解析FDBC,EDF=90,又F=6, DEF=90-F=84, 又AED+DEF=180,AED=180-84=96. 在AEC中,AED+EAC+C=180, EAC

16、=180-96-30=54, AE平分BAC,BAC=2EAC=108. 在ABC中,BAC+B+C=180, B=180-108-30=42. 一、選擇題一、選擇題 1.(2018福建莆田仙游期中,3,)在下列長度的四組線段中,不能組 成三角形的是() A.3 cm,4 cm,5 cm B.5 cm,7 cm,8 cm C.3 cm,5 cm,9 cm D.7 cm,7 cm,9 cm 答案答案 C A項(xiàng),3+45,能夠組成三角形,故此選項(xiàng)不合題意;B項(xiàng),5+78, 能夠組成三角形,故此選項(xiàng)不合題意;C項(xiàng),3+59,能夠組成三角形,故此選項(xiàng)不合題意.故選C. 2.(2018江蘇揚(yáng)州樹人學(xué)校階

17、段練習(xí),8,)如圖4-1-8,在ABC中,已 知點(diǎn)D,E分別為BC,AD的中點(diǎn),EF=2FC,且ABC的面積為12,則BEF 的面積為() 圖4-1-8 A.5 B. C.4 D. 9 2 7 2 答案答案 C由中線把三角形分成兩個面積相等的小三角形,可得SABC= SABD+SACD=2SBED+2SCDE=2SBEC=12,所以SBEC=6,SBEF=SBEC=6=4. 2 3 2 3 二、填空題二、填空題 3.(2018山東臨沂月考,15,)如圖4-1-9,AD是ABC的中線,已知 ABD的周長為25 cm,AB比AC長6 cm,則ACD的周長為 cm. 圖4-1-9 答案答案19 解析

18、解析AD是BC邊上的中線,BD=CD, ABD和ACD周長的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC, ABD的周長為25 cm,AB比AC長6 cm, ACD的周長為25-6=19(cm). 1.(2018浙江義烏月考,10,)邊長為整數(shù),周長為20的三角形個數(shù)是 () A.4 B.6 C.8 D.12 答案答案 C滿足條件的三角形有8個,分別是(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8), (9,6,5),(9,7,4),(9,8,3),(8,7,5).故選C. 2.(2017山東泰安新泰中考模擬,16,)已知一個三角形的三條邊長 均為正整數(shù).若其中僅有

19、一條邊長為5,且它又不是最短邊,則滿足條件的 三角形個數(shù)為() A.4B.6 C.8D.10 答案答案 D當(dāng)5是最大的邊長時(shí),可能的情況有3、4、5;4、4、5;3、 3、5;4、2、5,共四種情況.當(dāng)5是第二大的邊長時(shí),可能的情況有2、 5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六種情況.所以共 有10個三角形.故選D. 一、選擇題一、選擇題 1.(2017湖南長沙中考,5,)一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1 2 3,則這個三角形一定是() A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 答案答案 B根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180,可知三個角分別為

20、30、60、 90,因此這個三角形是直角三角形.故選B. 2.(2015湖南長沙中考,10,)過ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高,以下 作法正確的是() 答案答案 AABC中BC邊上的高是從頂點(diǎn)A向BC邊作垂線段.故選A. 二、填空題二、填空題 3.(2018甘肅定西中考,15,)已知a,b,c是ABC的三邊長,a,b滿足 |a-7|+(b-1)2=0,c為奇數(shù),則c= . 答案答案7 解析解析a,b滿足|a-7|+(b-1)2=0, a-7=0,b-1=0, 解得a=7,b=1, 7-1=6,7+1=8, 6c0,c-a-b0,原式=a+b -c+(c-a-b)=0.故選D. 1.不能構(gòu)成三角形

21、的三條整數(shù)長度的線段的長度和的最小值為1+1+2= 4;若四條整數(shù)長度的線段中,任意三條不能構(gòu)成三角形,則該四條線段的 長度和的最小值為1+1+2+3=7;,依此規(guī)律,若八條整數(shù)長度的線段 中,任意三條不能構(gòu)成三角形,則該八條線段的長度和的最小值為 . 答案答案54 解析解析1+1+2+3+5+8+13+21=54. 2.(2018天津西青期末)如圖4-1-10,ABC中,A1,A2,A3,An為AC邊上不 同的n個點(diǎn),首先連接BA1,圖中出現(xiàn)了3個不同的三角形,再連接BA2,圖中 便有6個不同的三角形, 圖4-1-10 (1)完成下表: 連接個數(shù)123456 出現(xiàn)三角形個數(shù) (2)若出現(xiàn)了45個三角形,則共連接了多少個點(diǎn)? (3)若一直連接到An,則圖中共有 個三角形. 解析解析(1) (2)共連接了8個點(diǎn). (3)1+2+3+(n+1)=1+2+3