北京大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第五章——傅里葉變換

1、第五章 傅里葉變換,對(duì)自然界的最深刻的研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。 -傅里葉,2,學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要,目的與要求：了解在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里 葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法；掌握周期函數(shù)的傅 里葉展開(kāi)、定義和性質(zhì)；函數(shù)的 定義與性質(zhì)。,重點(diǎn)：,難點(diǎn)：,傅里葉變換、函數(shù)。,函數(shù)的概念。,3,1807年12月21日，fourier向法國(guó)科學(xué)院宣布：任意的周期函數(shù)都能展開(kāi)成正弦及余弦的無(wú)窮級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)院，包括拉格朗日等，都認(rèn)為他的結(jié)果是荒謬的。,傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn):,“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和” 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示” 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)

2、,5.1 傅里葉級(jí)數(shù),4,1.波的疊加 在普通物理學(xué)中,我們已經(jīng)知道最簡(jiǎn)單的波是諧波(正弦波),它是形如 asin(t+)的波,其中a是振幅,是角頻率, 是初相位.其他的波如矩形波,鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來(lái).,（一） 周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi),非正弦周期函數(shù):矩形波,可以用不同頻率正弦波疊加構(gòu)成！,5,6,由上例可以推斷：一個(gè)周期為2l的函數(shù)f(x+2l)= f(x) 可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加.,7,-l,l上的積分等于 0 .,其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在,2. 三角函數(shù)族及其正交性,引入三角函數(shù)族,上的積分不等于 0 .,兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在-l,l,8,

3、證:,同理可證 :,任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在-l,l上的積分等于 0 .,9,同理可證 :,10,兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在-l,l上的積分不等于 0 .,證:,11,如果周期為2l 的函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它可以展開(kāi)式為下列級(jí)數(shù),(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),3.周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi),式 稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù) .,式中a0, ak, bk稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù) ;,問(wèn)題: a0, ak, bk 等于什么?,我們利用三角函數(shù)族的正交性來(lái)求解,12,對(duì)在-l,l逐項(xiàng)積分, 得,乘 在-l,l逐項(xiàng)積分并運(yùn)用正交性, 得,由三角函數(shù)的正交性0,由三角函數(shù)的正交性得0,n=k,由

4、三角函數(shù)的正交性0,13,類(lèi)似地, 用 sin k/l 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得,歸納:,14,(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；,(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則傅里葉級(jí)數(shù)收斂，,且,在收斂點(diǎn)有：,在間斷點(diǎn)有：,狄里希利定理 : 若函數(shù)f(x)滿足條件：,4. 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性定理,注:第一類(lèi)間斷點(diǎn) 如果f(x)在間斷點(diǎn)x0處左右極限存在, 則稱點(diǎn)x0為f(x) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn).,15,其中,(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),如果 f (x) 為奇函數(shù), 則a0和ak均為零，即有傅里葉正弦級(jí)數(shù),（二） 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi),說(shuō)明：,16,如果 f (x)

5、為偶函數(shù),則bk為零，即有傅里葉余弦級(jí)數(shù),(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),其中,注: 無(wú)論哪種情況 ,在 f (x) 的間斷點(diǎn) x 處,傅里葉級(jí)數(shù),都收斂于,說(shuō)明：,17,當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),變換法,令,即,在,上展成傅里葉級(jí)數(shù),周期延拓,將,在,回代入展開(kāi)式,上的傅里葉級(jí)數(shù),其傅里葉展開(kāi)方法:,（三） 有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)*(自學(xué)),18,延拓法,在,上展成正弦或余弦級(jí)數(shù),奇或偶式周期延拓,19,利用歐拉公式,已知周期為 2 l 的周期函數(shù)f (x)可展開(kāi)為級(jí)數(shù)：,（四） 復(fù)數(shù)形式的傅里葉展開(kāi),20,注意到,同理,21,傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:,因此得,22,例2：,矩形波,

6、解：,cosk k=2n: cosk=1 k=2n+1: cosk=-1,23,1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式,(x 間斷點(diǎn)),其中,當(dāng)f (x)為奇(偶) 函數(shù)時(shí),為正弦(余弦) 級(jí)數(shù).,2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法,變換,延拓,內(nèi)容小結(jié),24,1 2,5.1 作業(yè),25,25,周期函數(shù)的性質(zhì)是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函數(shù)值就重復(fù)一次，非周期函數(shù)沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，但可以認(rèn)為它是周期2l的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非周期函數(shù)展開(kāi)為所謂“傅里葉積分”。,5.2 傅里葉積分與傅里葉變換,考察復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù):,（一） 傅里葉變換,26,26,非周期函數(shù)

7、的復(fù)數(shù)形式的形式“傅里葉級(jí)數(shù)”:,引入新參量：,上式改寫(xiě)為：,27,27,令,有,若 有限，則非周期函數(shù)可以展開(kāi)為,稱f(x)的傅里葉變換,稱f()的逆傅里葉變換,像函數(shù),原函數(shù),注意到：,28,28,傅里葉積分定理：若函數(shù) f(x) 在區(qū)間(-，+)上滿足條件: (1) 在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件； (2) 在區(qū)間 (-，+ )上絕對(duì)可積（即 收斂）， 則 f(x) 可表為傅里葉積分，且 傅里葉積分值=,f(x)的傅里葉變換式,29,奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉變換,傅里葉變換對(duì),30,當(dāng)f(x)是偶函數(shù),當(dāng)f(x)是奇函數(shù),進(jìn)一步注意到,當(dāng)f(x)是偶函數(shù),同理,當(dāng)f(x)是奇函數(shù),31,3

8、1,例1,定義: 矩形函數(shù)為,將矩形脈沖 展開(kāi)為傅里葉積分。,解:矩形脈沖函數(shù)的周期為-t,t, 如右圖.,32,(1) 導(dǎo)數(shù)定理,（二） 傅里葉變換的基本性質(zhì),根據(jù)傅里葉積分定理，,33,(2) 積分定理,由變上限積分定理：,由導(dǎo)數(shù)定理,利用導(dǎo)數(shù)定理證明，記,34,(3) 相似性定理,空域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）,f(x/2),壓縮,擴(kuò)展,35,(4) 延遲定理,(5) 位移定理,36,例2求：,的頻譜？,解：,由 位移定理,37,則,卷積定義,38,卷積 卷積定理反映了兩個(gè)傅立葉變換之間的關(guān)系，它構(gòu)成了空間域和頻率域之間的基本關(guān)系。卷積對(duì)深入理解在傅立葉變換基礎(chǔ)上的圖像處理

9、技術(shù)是十分重要的。,其中是積分偽變量。,兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的卷積記作f(x)*g(x)，由下式所定義：,39,40,41,（7）帕塞瓦爾等式能量守恒,42,(三) 傅里葉變換的物理意義,求和,振幅譜,相位譜,43,(四) 高維傅里葉變換,二維連續(xù)函數(shù)f (x,y)的傅里葉變換定義如下： 設(shè)f (x,y)是兩個(gè)獨(dú)立變量x,y的函數(shù)，且在上絕對(duì)可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù)f (x,y)的傅里葉變換，并定義 為f(k1,k2)的逆變換。 f (x,y)和f(k1,k2)稱為傅里葉變換對(duì)。,（1）,（2）,1 二維傅里葉變換,44,例2: 求函數(shù),的傅里葉變換(矩孔費(fèi)瑯和夫衍射)。,解：由

10、傅里葉變換關(guān)系,有,45,其幅度譜為,46,2 三維fourier變換,47,48,其中：,49,5.2 1, 5,本講作業(yè),50,1. 源與場(chǎng) 質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)， 電荷電場(chǎng)， 熱源溫度場(chǎng) 2.點(diǎn)源：質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷點(diǎn)熱源點(diǎn)光源 點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)：點(diǎn)源q0位于 0處，場(chǎng)點(diǎn)位于r 處的電場(chǎng)的數(shù)學(xué)表示： 3.連續(xù)分布的源所產(chǎn)生的場(chǎng)： 無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。 如何描述點(diǎn)源?,5.3 函數(shù)(特殊函數(shù)),51,（一）函數(shù),在物理學(xué)中對(duì)于在某種坐標(biāo)系下高度集中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的電脈沖等，常用一個(gè)特殊的函數(shù)函數(shù)來(lái)描述。,設(shè)質(zhì)量m均勻分布在長(zhǎng)為l的線段-l/2,l/2上（如圖）, 進(jìn)一步設(shè)線的單位長(zhǎng)度質(zhì)量即線質(zhì)量密度為l ：,下面我們從質(zhì)點(diǎn)的描述來(lái)引入函數(shù),52,線段總質(zhì)量：,質(zhì)點(diǎn)的極限下總質(zhì)量不變，即,在總質(zhì)量不變的條件下：,53,53,引入廣義函數(shù)：函數(shù),一般地，我們有定義1：,且,量綱為：1/x,(x)的形象描述見(jiàn)（圖示）,54,（二）性質(zhì),(1) 偶函數(shù),恒有,利用積分形式證,55,55,(2) 階躍函數(shù)或亥維賽單位函數(shù)(函數(shù)的原函數(shù)),(3) 復(fù)合函數(shù)(尺度變換),若 的實(shí)根 全部是單根，則,由變上限積分定理（ 函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）：,56,56,證明：按定義,上面等