初中數(shù)學(xué)九年級(jí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題06 轉(zhuǎn)化與化歸--特殊方程、方程組

1、【例1】已知方程組x+y=5(x,y)(x,y)，則xy+xy的值是_【例2】方程組xz+yz=23的正整數(shù)解的組數(shù)是（）精品文檔用心整理專(zhuān)題06轉(zhuǎn)化與化歸-特殊方程、方程組閱讀與思考特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）次數(shù)高于兩次）、結(jié)構(gòu)巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：1、因式分解；2、換元；3、平方；4、巧取倒數(shù)；5、整體疊加、疊乘等.轉(zhuǎn)化是解各類(lèi)特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說(shuō)是“九九歸宗”.例題與求解3x2+y2=23的兩組解是11與221221（北京市競(jìng)賽

2、題）.解題思路：通過(guò)消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求值xy+yz=63a1組b2組c3組d4組解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手【例3】解下列方程:（1）（2）13x-x213-x（(x+)=42；“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）x+1x+1x2+3xx2+x-411+=；（河南省競(jìng)賽試題）2x2+2x-83x2+9x12（3）(1999-x)3+(x-1998)3=1；（山東省競(jìng)賽試題）（4）(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）.解題思路：注意到方程左邊或右邊項(xiàng)與項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)

3、系，利用換元法求解資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用y2x+y+1=6;精品文檔用心整理【例4】解下列方程組:1x+-x+y-3=3,（1）（山東省競(jìng)賽試題）y(xx+xy5y)=（2）x2+41)(35+=24;144,y2=x3-3x2+2x,（3）x2=y3-3y2+2y.（西安市競(jìng)賽試題）（全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題）.解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個(gè)方程的特點(diǎn)和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理【例5】若關(guān)于x的方程的解.2kxkx+1-=x-1x2-xx只有一個(gè)解（相等的解也算一個(gè)）.試求k的值與方程（江蘇省競(jìng)賽試題）【例6】方程2x2-xy+3x+y+2006=0的正整數(shù)解有多少對(duì)？（江蘇省競(jìng)賽試

4、題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識(shí)進(jìn)行解題.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用能力訓(xùn)練1方程2(x2+精品文檔用心整理a級(jí)11)-3(x+)=1的實(shí)數(shù)根是_.x2x()()=(3x2x2+3x-42+2x2-7x+6222-4x+2)，這個(gè)方程的解為x=_.3實(shí)數(shù)x,y,z滿足x=6-3y,x+3y-2xy+2z2=0,則x2y+z的值為_(kāi).（上海市競(jìng)賽題）4設(shè)方程組bx2+x+a=0,有實(shí)數(shù)解，則a+b+1=_.()()()()ax2+bx+1=0,x2+ax+b=05使得x2-4x2-1=x2+3x+2x2-8x+7成立的x的值得個(gè)數(shù)為（a4個(gè)b3個(gè)c2個(gè)d1個(gè)（武漢市選拔賽

5、試題）（“五羊杯”競(jìng)賽試題）xy-z2=1x+y=2,6已知方程組有實(shí)數(shù)根，那么它有（）a一組解b二組解c三組解d無(wú)數(shù)組解（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）7設(shè)a2+1=3a，b2+1=3b且ab，則代數(shù)式11+a2b2的值為（）a5b7c9d118已知實(shí)數(shù)x,y滿足xy+x+y=9,x2y+xy2=20，則x2+y2的值為（a6b17c1d6或17）9已知關(guān)于x,y的方程組x2-y2=p,3xy+p(x-y)=p2有整數(shù)解(x,y)，求滿足條件的質(zhì)數(shù)p.（四川省競(jìng)賽試題）資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用x-y+1=0x=x,y=y2,且x1,x2是兩個(gè)不等的正數(shù).x2-y+a+2=0,x=x,的兩個(gè)解

6、為y=y1,b=1+x,a+精品文檔用心整理10已知方程組12（1）求a的取值范圍；（2）若x2+x2-3xx=8a2-6a-11，試求a的值.1212（南通市中考試題）xy11已知a,b是方程t2-t-1=0的兩個(gè)實(shí)根，解方程組xy+=1+y.ba（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）12已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p,q，且滿足關(guān)系式2這個(gè)一元二次方程.p+q(p+1)=5,pq+pq2=6,試求（杭州市中考試題）x+y+z=x+y+z+1+51方程組xyz的解是_.234b級(jí)=2已知7x2+9x+13+7x2-5x+13=7x，則x的值為_(kāi).（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3已知實(shí)數(shù)x,

7、y是方程組xy=x+100y=1的解，則x+y=_.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）00資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用+1=4的解是_.1xxy=9,4方程組y3精品文檔用心整理（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）5若二元二次方程組()有唯一解，則k的所有可能取值為_(kāi).6正數(shù)x,x,x,x,x,x同時(shí)滿足xxxxxxxxxxxx2-y2=1,y=kx-2+1（學(xué)習(xí)報(bào)公開(kāi)賽試題）xxxxxxxxxx23456=1，13456=2，12456=3，123456123xxxxxxxxxxxxxxx12356=4，12346=6，12345=9.則x+x+x+x+x+x的值為_(kāi).123456456（上海市競(jìng)賽試題）7方程

8、x3-6x2-x+6=0的所有根的積是（）a3b-3c4d-6e以上全不對(duì)（美國(guó)猶他州競(jìng)賽試題）x,y為實(shí)數(shù)，且滿足(x-1)+1999(x-1)=-1,則x+y=（8設(shè)3()()y-13+1999y-1=1,）9已知x+y+z=2,則的值為（）x2+y2+z2=3,a1b-1c2d-2（武漢市選拔賽試題）xyz=1,111xy+z-1yz+x-1zx+y-112a1b-c2d-23x+1x-12x+a+210對(duì)于實(shí)數(shù)a，只有一個(gè)實(shí)數(shù)值x滿足等式+=0，試求所有這樣的實(shí)數(shù)a的x-1x+1x2-1和.（江蘇省競(jìng)賽試題）11解方程x+2x-1+x-2x-1=a，其中a0，并就正數(shù)a的取值，討論此方

9、程解的情況.（陜西省競(jìng)賽試題）資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理12已知a,b,c三數(shù)滿足方程組a+b=8,ab-c2+82c=48,試求方程bx2+cx-a=0的根.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）(x-3)3=16；13解下列方程（組）：（1）x2+9x2（武漢市競(jìng)賽試題）x（2）(6x+7)2(3x+4)(+1)=6；（湖北省競(jìng)賽試題）1+4x2=y,1+4y1+4z2=x,4x24y2（3）=z,24z2（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）專(zhuān)題06轉(zhuǎn)化與化歸特殊方程、方程組資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理例1232例2b提示：由（x+y）z=23。例3（1）x=1，x=6，

10、x123,4=32提示：13x-x2x+113-x13-x=x，令=y.（2）設(shè)x+1x+1x=x2+3x1111=y，則原方程可化為y+，解得2+x-423y12x=-1,x=-4,x123,4=5892,（3）設(shè)1999-x=a，x-1998=6，a+b=1，則原方程為：（x.a3+b3=(a+b)3，得ab=0，即（1999-x）x-1998）=0，解得x=1999，=1998（4）設(shè)x2+3x-4=a，122x2-7x+6=b，3x2-4x+2=a+b，原方程可化為：a2+b2=(a+b)2，得ab=0，+3x-42x2-7x+6=0，解得x=-4,x=1,x=2,x=)()(x212

11、343x=2,x=4,例4（1）122y1=1,y2=-1,x2+x(3x+5y)=144,()y=,y=,x2+x+(3x+5y)=24,12（2）324提示：原方程可化為1525x=3,x=-4,()（3）方程兩式相減得(x-y)(x2+xy+y2-2x-2y+2)=0，而x+xy+y-2x-2y+2=x+y-1+y-+0，x-y=0代入原方程得12322222433x-4x+2x=0，可求得解為132x=0,y1=0,x=2+2,x=2-2,23y2=2+2,y3=2-2,例5原方程化為kx2-3kx+2x-1=0，當(dāng)k=0時(shí)，原方程有唯一解x=；當(dāng)k0時(shí)，5k2+4(k-1)20.總有

12、12兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由題意知必有一個(gè)根是原方程的增根，蔥原方程知增根只能是0，1，顯然0不是方程的根，故x=1，k=12.例6解法一：把原方程變形為（x-1）y=2x2-3x+2006，因x=1不滿足方22x2-3x+2006(x-1)(x-1)+20052005=程，即x1，故y=2x-1+，由于2005=12005=5401，x-1x-1x-1即2005有正因數(shù)1，5，401，2005，分別取x-1=1，5，401，2005時(shí)，x與y均為正整數(shù)，即共有4對(duì)正整數(shù)解.解法二:把方程看成關(guān)于x的一元二次方程2x2-(y+3)x+(y+2006)=0.由方程有整數(shù)解,其判別式為完全平方數(shù),據(jù)此

13、可得一下解法:=(y+3)2-8(y+2006)=a2(a為非負(fù)整數(shù))，化簡(jiǎn)得y2-2y-16039=a2，即(y-1)2-16040=a2，(y-1-a)(y-1+a)=16040=235401.（y-1-a）與（y-1+a）奇偶性相同，且其積為偶數(shù)，故（y-1-a）與（y-1+a）同為偶數(shù).由于y-1-ay-1+a，y-1-a=2,y-1-a=22,y-1-a=25,據(jù)，只可能有（）（）（）y-1+a=225401;y-1+a=25401;y-1+a=22401;資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用a級(jí)1.2或1精品文檔用心整理y-1-a=225,（）將方程（）（）中的兩個(gè)方程相加，分別得到的y

14、值為4012，2008，y-1+a=2401;808，412.由此可得相應(yīng)的x值，故共有4對(duì)正整數(shù)解（x，y）.32.1，-4，2，3.94.05.b6.a7.b提示：a，b為方程x2-3x+1=0的22p=x2-y2=(x+y)(x-y)及p為質(zhì)數(shù)，知x+y=p,x-y=1x-y=-1兩個(gè)不相等實(shí)根.8.b9.由x+y=-p,或或x-y=px-y=-px-y=1x+y=1,x+y=-1,x+y=p,p+1p-1或當(dāng)時(shí)，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=p2得22()34p2-1+p=p2，解得p=3，或p=1（舍）.其他情況經(jīng)計(jì)算知沒(méi)有符合條件的質(zhì)數(shù).10.（1）2y=-1ax+by=-

15、(1+y)37-1a-（2）a=-11.4821x=-,(bx+ay=-1+x)提示：原方程組化為，+b級(jí)1.(x,y,z)=,2.提示:有條件得7x2+9x+13-7x2-5x+13=2.從而得x+y=-1.12.x2-3x+2=01683212939727x2+9x+13=7x+2，兩邊平方化簡(jiǎn)得21x2-8x-48=0，其正跟為x=127.3.54.（x，y）=（1，9）5.1，-16.1+2+3+11667.d8.c9.d10.原方程化為a=-；當(dāng)方程有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí)，且x=1是方程的一個(gè)根，解得a1時(shí)，得a=2.2222x2+2x+a+4=0，其中=4-42（a+4）=-8a-28.當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，由，得77127程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，且x=-1是方程的一個(gè)根，解得a2時(shí)，方程有一個(gè)根為x=；當(dāng)a=2時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解為x1；當(dāng)a2時(shí)，42方程無(wú)解.12.顯然a，b是方程x2-8x+c282c480的兩根，由0c42，從而ab=16,a+b=8資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用，解得a精品文檔用心整理，x2-.b4.故原一元二次方程化為x22x10，解得x1-2+62+62213.（1）原方程可變形為（x3）26x（3x3x3x）225，即（x3）225，x3x-3x-3x-35