2003年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、2003年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考座位號(hào)、校驗(yàn)碼等填寫清楚.2.本試卷共有22道試題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.一.填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分.1.已知函數(shù)f(x)=x+1，則f-1(3)=.2.直線y=1與直線y=3x+3的夾角為.3.已知點(diǎn)p(tga,cosa)在第三象限，則角a的終邊在第象限.4.直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是.,5.已知集合a=x|x|2，xrb=xxa，且ab，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是6.已知z為復(fù)數(shù)，則z+z2的一個(gè)充

2、要條件是z滿足.0)2)7.若過兩點(diǎn)a(-1，、b(0，的直線l與圓(x-1)2+(y-a)2=1相切，則a=.8.不等式(lg20)2cosx1(x(0,p)的解為.9.8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有場(chǎng)比賽.10.若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）11.若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3，xa,b的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則b=.12.設(shè)f(x)=12x+2利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n

3、項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+l+f(0)+l+f(5)+f(6)的值為.二選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，否則一律得零分.13.關(guān)于直線a、b、l以及平面m、n，下列命題中正確的是()(a)若am，bm，則ab.(b)若am，ba，則bm.(c)若am，bm，且la，lb，則lm.(d)若am，an，則mn.14.復(fù)數(shù)z=m-2i1+2i（mr,i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于()15.把曲線ycosx+2y-1=0先沿x軸向右平移2個(gè)單位，再沿軸向下平

4、移1個(gè)單位，得到的切線方程是(a)第一象限.(b)第二象限.(c)第三象限.(d)第四象限.py()(a)(1-y)sinx+2y-3=0(c)(y+1)sinx+2y+1=0-.(b)(y-1)sinx+2y-3=0.(d)（y+1)sinx+2y+1=0.16.關(guān)于函數(shù)21f(x)=sin2x-()|x|+32，有下面四個(gè)結(jié)論：（1）f(x)是奇函數(shù).（2）當(dāng)x2003時(shí)，f(x)12恒成立.（3）f(x)的最大值是2.（4）f(x)31-的最小值是2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()（a）1個(gè).（b）2個(gè).（c）3個(gè).（d）4個(gè).三解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必

5、要的步驟.已知三棱柱abc-abc，在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，ab=m22ac=m,0,0，aa=0,0,n，其中m、n0.17.(本題滿分12分)x2-6x+80解不等式組：.x+3x-1218.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=asin(wx+j)(a0,w0,xr)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.求直線y=3與函數(shù)f(x)圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo).19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.3m,-,0，1111（1）證明：三棱柱abc-abc是正三棱柱；111（2）若m=2n，求直線ca與平面aabb所成角的大小.11120.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題

6、，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.已知函數(shù)f(x)=1x3-x5-13,g(x)=1x3+x5-13.（1）證明f(x)是奇函數(shù)；并求f(x)的單調(diào)區(qū)間.（2）分別計(jì)算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明.21.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.設(shè)f1、f2分別為橢圓c:2+x2y2ab21=（ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).（1）若橢圓c上的點(diǎn)a(1,)到f、f兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓c的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；2312（2）

7、設(shè)點(diǎn)k是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段f1k的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若m、n是橢圓c上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線pm、pn的斜率都存在，并記為kpm、kpn時(shí)，那么kpm與kpn之積是與點(diǎn)p位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線x2y2-a2b2=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.22.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分.第3小題滿分8分.在一次人才招聘會(huì)上，有a、b兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：a公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；b公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年

8、月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初被a、b兩家公司同時(shí)錄取，試問：（1）若該人分別在a公司或b公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其它因素）該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？（3）在a公司工作比在b公司工作的月工資收入最多可以多多少元？（精確到1元）并說明理由.2003年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明1.本解答列出試題的一種或幾種解法,如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.2.評(píng)閱試卷,應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底,不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)

9、錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤,影響了后繼部分,但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí),可視影響程度決定后面部分的給分,這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半,如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤,就不給分.3.第17題至第22題中右端所注的分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題的累加分?jǐn)?shù).4.給分或扣分均以1分為單位.答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.3.1.4.2.p3.二.4.（3，2）.2）.5.a-2.6.rez1.7.45.39.16.10.arctg.11.6.8二（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.題號(hào)13141

10、516代號(hào)daca三（第17至22題）17.解由x2-6x+80,得(x-2)(x-4)0，x4.4分8.（0,p12.32.x-12，得由x+3-x+5x-10，1x5，8分原不等式組的解是x(1,2)u(4,5).12分18.解根據(jù)圖象得a=2,t=7pp2-(-2)=4p,w=1x2,y=2sin(2+j).4分2.-1=-24.又由圖象可得相位移為-pjpp，j=2即y=2sin(x+p4)，sin(x+4)=2.124).1p1p3根據(jù)條件3=2sin(x+228分xp322+4=kp+(-1)karcsinkz，x=2kp+(-1)k2p3-p2kz，所有交點(diǎn)坐標(biāo)為2kp+(-1)

11、k2p2，3（kz）.3-p12分2,19.解（1）qbc=ac-ab=m3m2,0，|bc|=m，2,-又ab=m3m2,0，ac=m,0,0，|ab|=m，|ac|=m，abc為正三角形.4分又abaa1=0，即aa1ab，同理aa1ac，aa1平面abc，從而三棱柱abc-abc是正三棱柱.8分111（2）取ab中點(diǎn)o，連結(jié)co、ao.1qcoab，平面abc平面abba，11co平面abba，11即cao為直線ca與平面aabb所成角.10分1111在rtdcao中，co=132m，ca=m2+n2，1com22+n221msincao=1ca=，32即cao=45.14分120.解（1）q函數(shù)f(x)的定義域(-,0)u(0,+)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=1(-x)3-(-x)5-13=-1x3-x5-13=-f(x)，+f(x)是奇函數(shù).3分設(shè)xx，x、x（0，），1212-12-x511f(x)-f(x