最新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期《期中考試試卷》附答案

1、2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期期中測(cè)試人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共30分）1. 下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）a. b. c. d. 2. 使二次根式有意義的x的取值范圍是（）a. x2b. x2c. x2d. x23. 下列計(jì)算正確的是（）a. b. c. d. 4. 下列各組數(shù)中，以a、b、c為邊三角形不是直角三角形的是（）a. a1，b，cb. a，b2，cc. a，b，cd. a7，b24，c255. 在平行四邊形abcd中，a比b大40，那么c的度數(shù)為（）a 60b. 70c. 80d. 1106. 在下列給出的條件中，能判定四邊形abcd為平行四邊形的是

2、（）a. abbc，cddab. ab/cd，adbcc. ab/cd，acd. ab，cd7. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，b為一條棱的中點(diǎn)已知螞蟻沿正方體的表面從a點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)b點(diǎn)，則它運(yùn)動(dòng)的最短路程為（）a b. 4c. d. 58. 菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，a60，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，以bg為邊作菱形befg，其中點(diǎn)e在cb的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)p為fd的中點(diǎn)，則pb（）a b. c. d. 9. 將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形鐵片，過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四個(gè)剪法中，裁剪線的長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)不可能的是（）a. b. c. d. 10. 將一張正方形紙片按如圖的步驟，通過(guò)折疊得到，再沿虛線剪去一個(gè)角，

3、展開(kāi)平鋪后得到，其中fm、gn為折痕，若正方形efgh與五邊形mcngf的面積之比為4：5，則的值為（）a. b. c. d. 二、填空題（每小題3分，共18分）11. 化簡(jiǎn)：_12. 若a2+，b2，則ab的值為_(kāi)13. 點(diǎn)d、e、f分別是abc三邊的中點(diǎn)，若abc的周長(zhǎng)是16，則def的周長(zhǎng)是_14. 如圖，在33的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)a，b，c均為格點(diǎn)，以點(diǎn)a為圓心，ab長(zhǎng)為半徑作弧，交格線于點(diǎn)d，則cd的長(zhǎng)為_(kāi)15. abc中，abac，bac90，adbc于d，分別以ad、bd、cd為長(zhǎng)對(duì)角線作全等的三個(gè)菱形，如圖所示，若菱形較短的對(duì)角線的長(zhǎng)為2，點(diǎn)g剛好在ae的延

4、長(zhǎng)線上，則其中一個(gè)菱形aedf的面積為_(kāi)16. abc中，adbc于d，abm，acn，acb2bad，用m、n表示ad的長(zhǎng)為_(kāi)三、解答題（共72分）17. 計(jì)算：（1）= （2）= 18. 已知：如圖，點(diǎn)e，f分別在abcd的ab，dc邊上， 且ae=cf，聯(lián)結(jié)de，bf求證：四邊形debf是平行四邊形19. 已知=，求代數(shù)式的值.20. 如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)a、b、c均在格點(diǎn)上（1）直接寫(xiě)出ac的長(zhǎng)為 ，abc的面積為 ；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺作出ac邊上的高bd，并保留作圖痕跡；（3）求bd的長(zhǎng)21. 如圖，矩形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，deac

5、，cebd，求證：四邊形oced是菱形22. 在abc中，abac5（1）若bc6，點(diǎn)m、n在bc、ac上，將abc沿mn折疊，使得點(diǎn)c與點(diǎn)a重合，求折痕mn的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)d在bc的延長(zhǎng)線上，且bc：cd2：3，若ad10，求證：abd是直角三角形23. abcd中，點(diǎn)e、f分別在ab、ad上，eafb60，adnab（1）當(dāng)n1時(shí)，求證：aef為等邊三角形；（2）當(dāng)n時(shí)，求證：afe90；（3）當(dāng)cecf，df4，be3時(shí)，直接寫(xiě)出線段ef的長(zhǎng)為 24. 書(shū)籍和紙張的長(zhǎng)與寬比值都有固定的尺寸，如常用的a3、a4、a5的紙張長(zhǎng)與寬的比值都相等一長(zhǎng)方形紙張對(duì)折后的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值與原長(zhǎng)方形

6、的長(zhǎng)與寬的比值相等（1）求滿足這樣條件的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值；（2）如圖所示的長(zhǎng)方形abcd長(zhǎng)與寬之比也滿足以上條件，其中寬ab2點(diǎn)p是ad上一點(diǎn)，將bpa沿bp折疊得到bpe，當(dāng)be垂直ac時(shí)，求ap的長(zhǎng)；若將長(zhǎng)方形abcd繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)得到長(zhǎng)方形a1bc1d1，直線cc1交dd1于點(diǎn)m，n為bc的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出mn的最大值： 答案與解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1. 下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式是被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式，可得答案【詳解】解：a. =2，故不符合題意； b. 是最簡(jiǎn)二次

7、根式；符合題意 c. ，故不符合題意；d. ，故不符合題意故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，最簡(jiǎn)二次根式是被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式2. 使二次根式有意義的x的取值范圍是（）a. x2b. x2c. x2d. x2【答案】d【解析】【分析】根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式即可【詳解】解：由題意得，x-20，解得x2，故選：d【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵3. 下列計(jì)算正確的是（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并判斷即可【詳解】

8、解：a、與不能計(jì)算，故該選項(xiàng)不符合題意；b、與不能計(jì)算，故該選項(xiàng)不符合題意；c、，正確，符合題意；d、與不能計(jì)算，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：c【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的加減，關(guān)鍵是先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并解答4. 下列各組數(shù)中，以a、b、c為邊的三角形不是直角三角形的是（）a. a1，b，cb. a，b2，cc. a，b，cd. a7，b24，c25【答案】c【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形【詳解】解：a、12+（）2（）2，符合勾股定理的逆定

9、理，是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；b、22+（）2（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；c、（）2+（）2（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此選項(xiàng)正確；d、72+242252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷5. 在平行四邊形abcd中，a比b大40，那么c的度數(shù)為（）a. 60b. 70c. 80d. 110【答案】d【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角之和為

10、180，即可求出該平行四邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【詳解】畫(huà)出圖形如下所示：四邊形abcd是平行四邊形，a=c，a+b=180，又ab=40，a=110，b=70，c=110故選d【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)理解平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵6. 在下列給出的條件中，能判定四邊形abcd為平行四邊形的是（）a. abbc，cddab. ab/cd，adbcc. ab/cd，acd. ab，cd【答案】c【解析】分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案【詳解】解：如圖：a、根據(jù)ab=bc，ad=dc，不能推出四邊形abcd是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；b、根據(jù)abcd，

11、ad=bc不能推出四邊形abcd平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；c、由abcd，則a+d=180，由a=c，則d+c=180，則adbc，可以推出四邊形abcd是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；d、a=b，c=d，a+b+c+d=360，2b+2c=360，b+c=180，abcd，但不能推出其它條件，即不能推出四邊形abcd是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平行四邊形判定定理和等腰梯形的判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形的判定定理有：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四

12、邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，等腰梯形的定義是兩腰相等的梯形7. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，b為一條棱的中點(diǎn)已知螞蟻沿正方體的表面從a點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)b點(diǎn)，則它運(yùn)動(dòng)的最短路程為（）a. b. 4c. d. 5【答案】a【解析】【分析】正方體側(cè)面展開(kāi)為長(zhǎng)方形，確定螞蟻的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理即可求出最短路徑長(zhǎng)【詳解】一如圖，它運(yùn)動(dòng)的最短路程二、如圖，它運(yùn)動(dòng)的最短路程故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的側(cè)面展開(kāi)圖、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理，掌握正方體的側(cè)面展開(kāi)圖是解題關(guān)鍵8. 菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，a60，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，以bg為邊作菱形befg，其中點(diǎn)e在cb的延長(zhǎng)

13、線上，點(diǎn)p為fd的中點(diǎn)，則pb（）a b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】連接bf、bd，根據(jù)菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，可得abbccd2，由a60，可得bcd是等邊三角形，進(jìn)而可求dbf90，再根據(jù)勾股定理分別求出bf、df的長(zhǎng)，進(jìn)而可得pb的長(zhǎng)【詳解】解：如圖，連接bf、bd，菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，abbccd2，a60，bcd是等邊三角形，bdbc2，dbc60，dba60，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，菱形befg的邊長(zhǎng)為1，即beefbg1，點(diǎn)e在cb的延長(zhǎng)線上，gbe60，fbg30，連接eg，egfb于點(diǎn)o，ob ，fb ，dbfdba+fbg90，根據(jù)勾股定理，得df ，點(diǎn)p為fd

14、的中點(diǎn)，pbdf故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)9. 將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形鐵片，過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四個(gè)剪法中，裁剪線的長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)不可能的是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】直接驗(yàn)證三角形三邊的平方之間的關(guān)系即可作出判斷【詳解】解：對(duì)于a選項(xiàng)，三角形為銳角三角形，合理；對(duì)于b選項(xiàng)，102+42112，說(shuō)明邊長(zhǎng)為11的邊所對(duì)的角是鈍角，這個(gè)時(shí)候三角形不可能完全處在正方形內(nèi)，故不合理；對(duì)于c選項(xiàng)，說(shuō)明邊長(zhǎng)為的邊所對(duì)的角是銳角，三角形為銳角三角形，合理；對(duì)于d選項(xiàng)，62

15、+72102，說(shuō)明邊長(zhǎng)為10的邊所對(duì)的角為鈍角，合理故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理，正確判斷各三角形的形狀是解答的關(guān)鍵10. 將一張正方形紙片按如圖的步驟，通過(guò)折疊得到，再沿虛線剪去一個(gè)角，展開(kāi)平鋪后得到，其中fm、gn為折痕，若正方形efgh與五邊形mcngf的面積之比為4：5，則的值為（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】連接hf，直線hf與ad交于點(diǎn)p，根據(jù)正方形efgh與五邊形mcngf的面積之比為4：5，設(shè)正方形efgh與五邊形mcngf的面積為4x2，5x2，可得gf2x，根據(jù)折疊可得正方形abcd的面積為24x2，進(jìn)而求出fm，最后求得結(jié)果【

16、詳解】如圖，連接hf，直線hf與ad交于點(diǎn)p，正方形efgh與五邊形mcngf的面積之比為4：5，設(shè)正方形efgh與五邊形mcngf的面積為4x2，5x2，gf24x2，gf2x，hf 2x，由折疊可知：正方形abcd的面積為：4x2+45x224x2，pm224x2，pm2x，fmph（pmhf）（2x2x）（）x，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了剪紙問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱的性質(zhì)二、填空題（每小題3分，共18分）11. 化簡(jiǎn)：_【答案】10【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算【詳解】解：5+510故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)

17、，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍12. 若a2+，b2，則ab的值為_(kāi)【答案】1【解析】【分析】直接利用平方差公式計(jì)算得出答案【詳解】解：，ab431故答案為：1【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵13. 點(diǎn)d、e、f分別是abc三邊的中點(diǎn)，若abc的周長(zhǎng)是16，則def的周長(zhǎng)是_【答案】8【解析】【分析】據(jù)d、e、f分別是ab、ac、bc的中點(diǎn)，可以判斷df、fe、de為三角形中位線，利用中位線定理求出df、fe、de與ab、bc、ca的長(zhǎng)度關(guān)系即可解答【詳解】如圖，d、e、f分別是ab、bc、ac的中點(diǎn)，ed、fe、df為abc中

18、位線，dfbc，feab，deac，df+fe+debcabac（ab+bc+ca）168故答案為8【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，根據(jù)中點(diǎn)判斷出中位線，再利用中位線定理是解題的基本思路14. 如圖，在33的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)a，b，c均為格點(diǎn)，以點(diǎn)a為圓心，ab長(zhǎng)為半徑作弧，交格線于點(diǎn)d，則cd的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由勾股定理求出ab，再由勾股定理求出de，即可得出cd的長(zhǎng)【詳解】解：連接ab，ad，如圖所示：adab，de，cd故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，由勾股定理求出ab、de是解題的關(guān)鍵15. abc中，abac，bac90，adbc于d，

19、分別以ad、bd、cd為長(zhǎng)對(duì)角線作全等的三個(gè)菱形，如圖所示，若菱形較短的對(duì)角線的長(zhǎng)為2，點(diǎn)g剛好在ae的延長(zhǎng)線上，則其中一個(gè)菱形aedf的面積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接hg，設(shè)eg交dh于點(diǎn)k，先證明gde是等腰直角三角形，再證明gkd90，從而在rtghk中，由勾股定理得x2+4，求得x2的值，再根據(jù)菱形的面積等于底乘以高，得出菱形bgdh的面積，即菱形aedf的面積【詳解】如圖所示，連接hg，設(shè)eg交dh于點(diǎn)k，則hg2，三個(gè)菱形全等，gded，adebdg，adbc于d，adbade+bde90，gdebdg+bde90，gde是等腰直角三角形，egdged45，四邊形a

20、edf為菱形，aedf，edfged45，gdk45，gkd90，設(shè)gkdkx，則gddhx，hkxx，在rtghk中，由勾股定理得：x2+4，解得：x22+，菱形bgdh的面積為：dhgkxxx22+2，菱形aedf的面積為：2+2故答案為：2+2【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形的面積計(jì)算、等腰直角三角形的判定及勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，明確菱形的性質(zhì)及根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵16. abc中，adbc于d，abm，acn，acb2bad，用m、n表示ad的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】延長(zhǎng)bc至e，使ceac，連接ae，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到bbac，得到bca

21、cn，根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計(jì)算即可【詳解】延長(zhǎng)bc至e，使ceac，連接ae，則caee，acbcae+e，caeeacb，acb2bad，ebad，adbc，b+bad90，b+e90，即bae90，bac+cae90，b+e90，caee，bbac，bcacn，由勾股定理得，ae，sbaeabaebead，即m2nad，解得：ad，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握三角形的外角性質(zhì)、靈活運(yùn)用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵三、解答題（共72分）17. 計(jì)算：（1）= （2）= 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再

22、計(jì)算二次根式的加減法即可；（2）利用二次根式除法的分配律進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】（1）原式；（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減法、除法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵18. 已知：如圖，點(diǎn)e，f分別在abcd的ab，dc邊上， 且ae=cf，聯(lián)結(jié)de，bf求證：四邊形debf是平行四邊形【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由四邊形abcd是平行四邊形，可得abcd，abcd，再說(shuō)明eb=df，從而根據(jù)一組對(duì)邊既平行又相等的四邊形是平行四邊形即可得證.【詳解】四邊形abcd是平行四邊形，abcd，abcd，即ebdf.aecf，abaecdcf，即ebdf 四邊形debf是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題主要考

23、查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理是解答本題的關(guān)鍵.19. 已知=，求代數(shù)式的值.【答案】【解析】【分析】把x的值代入多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】當(dāng)=時(shí)，=【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵20. 如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)a、b、c均在格點(diǎn)上（1）直接寫(xiě)出ac的長(zhǎng)為 ，abc的面積為 ；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺作出ac邊上的高bd，并保留作圖痕跡；（3）求bd的長(zhǎng)【答案】（1），9；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫(huà)出線段bd即可；

24、（3）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論【詳解】（1）ac，sabc452425149，故答案為：，9；（2）如圖所示，bd即為所求，（3）sabcacbdbd9，bd【點(diǎn)睛】本題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積的計(jì)算，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵21. 如圖，矩形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，deac，cebd，求證：四邊形oced是菱形【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】首先根據(jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形oced是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得oc=od，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論【詳解】證明：deac，cebd，四邊形oced是平行四邊形四邊

25、形abcd是矩形，oc=od=ac=bd四邊形oced是菱形22. 在abc中，abac5（1）若bc6，點(diǎn)m、n在bc、ac上，將abc沿mn折疊，使得點(diǎn)c與點(diǎn)a重合，求折痕mn的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)d在bc的延長(zhǎng)線上，且bc：cd2：3，若ad10，求證：abd是直角三角形【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）如圖1，過(guò)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，得到，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)作于，將沿折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)，解得：，；（2）如

26、圖2，過(guò)作于，設(shè)，聯(lián)立方程組解得，（負(fù)值舍去），是直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵23. abcd中，點(diǎn)e、f分別在ab、ad上，eafb60，adnab（1）當(dāng)n1時(shí)，求證：aef為等邊三角形；（2）當(dāng)n時(shí)，求證：afe90；（3）當(dāng)cecf，df4，be3時(shí)，直接寫(xiě)出線段ef的長(zhǎng)為 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形abcd為菱形，得到acd為等邊三角形，證明faceab，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到afae，根據(jù)等邊三角形的判

27、定定理證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)af至n，使dnad，延長(zhǎng)af至p，使fpaf，延長(zhǎng)bc、np交于點(diǎn)h，根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形abhn為平行四邊形，根據(jù)（1）中結(jié)論解答；（3）延長(zhǎng)ef交ad的延長(zhǎng)線于g，延長(zhǎng)fe交ab的延長(zhǎng)線于h，作dmfg于m，把a(bǔ)fg繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到aph，求出pe的長(zhǎng)，證明faepae，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到efpe，得到答案【詳解】（1）證明：當(dāng)n1時(shí)，adab，平行四邊形abcd為菱形，acdbcd60，cab60，acd為等邊三角形，acadab，eaf60，faecab，faceab，在fac和eab中， faceab（asa）afae，又eaf6

28、0，aef為等邊三角形；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)af至n，使dnad，延長(zhǎng)af至p，使fpaf，延長(zhǎng)bc、np交于點(diǎn)h，dnad，fpaf，df是anp的中位線，npab，又anbh，四邊形abhn為平行四邊形，aban，平行四邊形abhn為菱形，由（1）可知，ape為等邊三角形，affp，efap，afe90；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)ef交ad的延長(zhǎng)線于g，延長(zhǎng)fe交ab的延長(zhǎng)線于h，作dmfg于m，把a(bǔ)fg繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到aph，cfce，cfecef30，agbc，gcef30，gdfg，dgdf，又dmfg，gmmf，在rtdmf中，dfm30，dmdf2，由勾股定理得，mf

29、，gf4，phgf4，同理，bhe30，eh3，phn60，nph30，nhph2，enehnh，由勾股定理得，pn6，pe，fae60，bad120，daf+eab60，hap+eab60，即eap60，faeeap，在fae和pae中，faepae（sas）efpe，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵24. 書(shū)籍和紙張的長(zhǎng)與寬比值都有固定的尺寸，如常用的a3、a4、a5的紙張長(zhǎng)與寬的比值都相等一長(zhǎng)方形紙張對(duì)折后的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值與原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值相等（1）求滿足這樣條件的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬