初高中數(shù)學(xué)銜接教材§3.3圓(含答案)

1、33 圓3 31 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線 l 和圓心為 O 且半徑為 r 的圓，怎樣判斷直線l 和圓 O 的位置關(guān)系？圖 3.3-2圖 3.3-1觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離d r 時(shí)，直線和圓 相離 ，如圓 O 與直線 l1 ；當(dāng)圓心到直線的距離d = r 時(shí)，直線和圓 相切 ，如圓 O 與直線l 2 ；當(dāng)圓心到直線的距離d r 時(shí)，直線和圓 相交，如圓 O 與直線 l3 。在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、 B。若直線經(jīng)過圓心，則AB 為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心 O 和弦 AB 的中點(diǎn) M 的線段 OM 垂直于這

2、條弦AB 。且在 RtVOMA 中， OA 為圓的半徑 r ， OM 為圓心到直線的距離 d ， MA 為弦長 AB 的一半，根據(jù)勾股定理，有 r 2 - d 2 = ( AB )2 。2圖 3.3-3圖 3.3-4圖 3.3-5當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3 ， PA, PB 為圓 O 的切線，可得 PAPB ，OAPA. ，且在 RtPOA 中， PO 2PA2OA2 。- 1 -如圖 3.3-4， PT 為圓 O 的切線， PAB 為圓 O 的割線，我們可以證得PAT PTB ，因而 PT2PA PB。例 1 如圖 3.3-5，若 O 的半徑 OB=5cm，弦 AB=6cm， D 是弧

3、 AB 的中點(diǎn)，求弦 BD 的長度。解 :連結(jié) OD，交 AB 于點(diǎn) E。D 是弧 AB 的中點(diǎn) ,O 是圓心，ODAB, BEAE1 AB3cm 。2在 RtBOE 中， OB=5cm,BE=3cm,OEOB2BE24cm.OD5cm, DE 1cm. 在 RtBDE 中， BE=3cm,DE =1cm, BD10cm.例 2 若圓的兩條平行弦的長度分別為6 和 4 6 ，且這兩條線的距離為3。求該圓的半徑。解 :設(shè)圓的半徑為 r ，分兩種情況（如圖 3.3-6）：若 O 在兩條平行線的外側(cè)，如圖（ 1）， AB=6， CD = 46，則由 OM - ON=3 ，得r 2 - 9 - r 2

4、 - 24 =3 ，解得 r = 5。圖 3.3-6（ 2）若 O 在兩條平行線的內(nèi)側(cè)（含線上）， AB=6，CD = 46 ，則由，得22OM+ON=3r 24r9 3，無解。綜上可得，圓的半徑為。5設(shè)圓 O1 與圓 O2 半徑分別為 R, r ( Rr ) ，它們可能有哪幾種位置關(guān)系？圖 3.3-7圖 3.3-8- 2 -觀察圖 3.3-7 ，兩圓的圓心距為 O1O2 ，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng) O1O2Rr 時(shí)，兩圓相內(nèi)切，如圖（ 1）；當(dāng) O1O2Rr 時(shí)，兩圓相外切，如圖（ 2）；當(dāng) O1O2Rr 時(shí)，兩圓相內(nèi)含，如圖（ 3）；當(dāng) RrOO12R r 時(shí)，兩圓相交，如圖（4）；當(dāng) O1O2R r

5、 時(shí)，兩圓相外切，如圖（ 5） .例 3 設(shè)圓 O1 與圓 O2 的半徑分別為3 和 2， O1O24 ， A, B 為兩圓的交點(diǎn)，試求兩圓的公共弦 AB 的長度。解:連 AB 交 O1O2 于 C ，則 OO12AB ，且 C 為 AB 的中點(diǎn)，設(shè) AC x ，則 O1C9 x2 ,O2C4 x2 , O1O29 x24 x24 ，315。解得 x8故弦 AB 的長為 2x315。4練習(xí) 1 1.如圖 3.3-9， O 的半徑為 17cm，弦 AB=30cm ， AB 所對的劣弧和優(yōu)弧的中點(diǎn)分別為 D、 C，求弦 AC 和 BD 的長。圖 3.3-9- 3 -2.已知四邊形ABCD 是 O

6、的內(nèi)接梯形，AB/CD ，AB =8cm,CD=6cm, O 的半徑等于5cm，求梯形ABCD 的面積。3.如圖 3.3-10， O 的直徑 AB 和弦 CD 相交于點(diǎn) E，AE1cm, EB5cm,DEB60o ,求CD長。圖 3.3-104若兩圓的半徑分別為3 和 8，圓心距為13，試求兩圓的公切線的長度。- 4 -3 3 2 點(diǎn)的軌跡在幾何中， 點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的。例如，把長度為r 的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于r ；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于r 的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上。

7、這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長r 的點(diǎn)的軌跡。我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡 。這里含有兩層意思：（ 1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（ 2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上。下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡。從上面對圓的討論，可以得出：（ 1）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓。我們學(xué)過， 線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上。所以有下面的軌跡：（ 2）和已知線段兩個(gè)端

8、點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線。由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：（ 3）到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。例 3O 過兩個(gè)已知點(diǎn)A 、 B ，圓心 O 的軌跡是什么？畫出它的圖形。分析：如圖3.3-11，如果以點(diǎn) O 為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A 、 B ，那么 OA= OB ；反過來，如果一個(gè)點(diǎn)O 到 A 、 B 兩點(diǎn)距離相等，即OA= OB ，圖 3.3-11那么以 O 為圓心， OA 為半徑的圓一定經(jīng)過A 、 B 兩點(diǎn)。這就是說，過A 、 B 點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到A、 B 兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即和線段 AB 兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的

9、軌跡。答：經(jīng)過 A 、 B 兩點(diǎn)的圓的圓心O 的軌跡是線段AB 的垂直平分線。練習(xí) 21.畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：到定點(diǎn) A 的距離等于 3cm 的點(diǎn)的軌跡；到直線 l 的距離等于2cm 的點(diǎn)的軌跡；- 5 -已知直線AB / CD ，到 AB 、 CD 的距離相等的點(diǎn)的軌跡。2.畫圖說明，到直線l 的距離等于定長d 的點(diǎn)的軌跡。習(xí)題 3.3A 組 1.已知弓形弦長為4，弓形高為 1，則弓形所在圓的半徑為（）A 35C3D4B 22.在半徑等于4 的圓中，垂直平分半徑的弦長為（）A43B33C23D 33.AB 為 O 的直徑，弦 CDAB ，E 為垂足，若 BE=6 ， AE=4，則

10、 CD 等于（）- 6 -A221B46C82D264.如圖3.3-12，在 O 中， E 是弦AB 延長線上的一點(diǎn)，已知OB=10cm, OE=12cm ，OEB30o , 求 AB。圖 3.3-12B 組 1.如圖 3.3-13，已知在 RtABC 中，C90o , AC5cm, BC12cm, 以 C 為圓心， CA 為半徑的圓交斜邊于D，求 AD。圖 3.3-132.如圖 3.3-14，在直徑為100mm 的半圓鐵片上切去一塊高為20mm 的弓形鐵片，求弓形的弦 AB 的長。圖 3.3-14- 7 -3.如圖 3.3-15，ABC 內(nèi)接于 O， D 為弧 BC 的中點(diǎn)， AEBC 于

11、E。求證： AD 平分OAE 。圖 3.3-154.如圖 3.3-16，AOB90o ，C、D 是弧 AB 的三等分點(diǎn)， AB 分別交 OC、OD 于點(diǎn) E、F，求證： AE=BF=CD。圖 3.3-165.已知線段AB = 4cm 。畫出到點(diǎn)A 的距離等于 3cm 的點(diǎn)的軌跡，再畫出到點(diǎn)B 的距離等于 2cm 的點(diǎn)的軌跡， 指出到點(diǎn) A 的距離等于 3cm ，且到點(diǎn) B 的距離等于 2cm 的點(diǎn)， 這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？- 8 -答案：練習(xí) 11.取 AB中點(diǎn)M ，連CM ， MD ，則 CMAB, DMAB，且C， O， M ， D 共線，OM1721528 ,CM 25 ,DM9,AC5 34cm, BD334cm。，3cm,4cm，梯形的高為 1cm 或 7cm，梯形的面積為22O 到 AB CD 的距離分別為7 或 49 cm 。3. 半徑為 3cm， OE=2cm 。 ,OF = 3, CD26cm。4.外公切線長為12，內(nèi)公切線長為 4 3 。練習(xí) 21.(1) 以 A 為圓心， 3cm 為半徑的圓；（ 2）與 l 平行，且與 l 距離為 2cm 的兩條平行線； （ 3）與 AB 平行，且與