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文檔簡介
1、高等數(shù)學(xué)極限求法總結(jié)函數(shù)極限可以分成而運(yùn)用 -定義更多的見諸于已知的極極限值的證明題中。掌握這類證明對初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。限為例, f(x)在點(diǎn)以 A為極限的定義是:對于任意給定的正數(shù)(無論它多么?。?,總存在正數(shù),使得當(dāng) x滿足不等式時(shí),對應(yīng)的 f(x)函數(shù)值都滿足不等式:,那么常數(shù)A就叫做函數(shù) f(x)當(dāng) xx。時(shí)的極限。極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的,因此,利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí),必須對所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件,滿足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者,不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是,井非不滿足極限四則
2、運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限, 而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形,使其符合條件后,再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí),通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。例1求 lim(x23x+5).x2解:lim(x23x+5)=limx2lim3x+lim5=(limx)23limx+lim5=2232+5=3.x2x2x2x2x2x2x2 洛必達(dá) (LHopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法 .簡單講就是,在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí),分別對分子和分母求導(dǎo),在求極限,和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后
3、為零比零或無窮比無窮的類型。利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn):設(shè)函數(shù) f(x)和 F(x)滿足下列條件:(1)xa時(shí),limf(x)=0,limF(x)=0;(2)在點(diǎn) a的某去心鄰域內(nèi) f(x)與 F(x)都可導(dǎo) ,且 F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于 0;(3)xa時(shí),lim(f(x)/F(x)存在或?yàn)闊o窮大則 xa時(shí),lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F(x)例 1:1-cosx=1-1-2sin(x/2)2=2sin(x/2)2xsinx=2xsin(x/2)cos(x/2)原式=lim2sin(x/2)2/2xsin(x/2)cos(x/2)=tgx/x對分子分母同時(shí)求導(dǎo)(洛必達(dá)法則)
4、(tgx)=1/(cosx)2(x)=1原式=lim1/(cosx)2當(dāng) x-0時(shí),cosx-1原式=1應(yīng)用第一重要極限時(shí),必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件: 分子、分母為無窮小,即極限為 0;分子上取正弦的角必須與分母一樣。應(yīng)用第二重要極限時(shí),必須同時(shí)滿足四個(gè)條件:帶有“ 1”;中間是“ +”號;“+”號后面跟無窮小量;指數(shù)和“ +”號后面的數(shù)要互為倒數(shù)。例 1:求 lim(arcsinx/x),x解 A.令 x=sint,則當(dāng) t趨于 0時(shí),x趨于 0,且 arcsinx=t所以 B.lim(arcsinx/x),x 趨于 0.=lim(t/sint),t 趨于 0=1趨于 0利用此定理求函數(shù)的極限時(shí)
5、,一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用。若以和或差形式出現(xiàn)時(shí),不要輕易代換,因?yàn)榻?jīng)此代換后,往往會改變無窮小之比的階數(shù)。要用好等價(jià)無窮小代換定理,必須熟記一些常用的等價(jià)無窮小。例 1lim (1-cosx)/tanx=lim- 2sin(x/2)/tanx=lim- 2/2x/x=- 2/2lim (1-cosx)/tanx=lim 2sin(x/2)/tanx =lim 2/2x/x=2/2因?yàn)?lim(1-cosx)/tanxlim=(1-cosx)/tanx所以極限不存在數(shù)列Xn收斂的充分必要條件是對于任意給定的正數(shù)存在著這樣的正整數(shù) N使得當(dāng) mN,nN時(shí)就有 |Xn-Xm|n|xn-xm|=
6、|(-1)(n+2)/(n+1)+.+(-1)(m+1)/m|當(dāng) m-n為奇數(shù)時(shí)有極限|xn-xm|=|(-1)(n+2)/(n+1)+.+(-1)(m+1)/m|=(1/n-1/m)0由柯西收斂原理得 xn收斂當(dāng) m-n為偶數(shù)時(shí)|xn-xm|=|(-1)(n+2)/(n+1)+.+(-1)(m+1)/m|=(1/n-1/(m-1)-1/m)0由柯西收斂原理得 xn收斂 綜上xn收斂,即 xn存在極限(就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中,此時(shí)要要求分母不能為 0)描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài),即自變量的微小變動只會引起函數(shù)值的微小變動的情況。確切說來,函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是指:當(dāng)自變量趨于該點(diǎn)時(shí),
7、函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點(diǎn)所取的值一致。例 1設(shè) f(x)=xsin1/x+a,x0,試求:當(dāng) a,b為何值時(shí), f(x)在 x=0處的極限存在?當(dāng) a,b為何值時(shí), f(x)在 x=0處連續(xù)?注:f(x)=xsin1/x+a,x0解:f(0)b+1左極限: lim(x0-)f(x)lim(x0-)(xsin(1/x) a)0+aa左極限: lim(x0+)f(x)lim(x0+)(x2-1)0-1-1f(x)在 x0處連續(xù),則 lim(x0-)f(x)lim(x0+)f(x)f(0),所以 a-1b+1,所以 a-1,b-2tanxsinx例 8求極限 limx0sinx3 解由于 tanxs
8、inxsinx1cosx,而 cosxx2sinxxx0 ,1cosxx0,sinx3x3x02故有x2xtanxsinx11 limlimx0x0cosxsinx3x32注在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí),應(yīng)注意只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量替代,而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代,如在例題中,若因有tanxxx0,sinxxx0,而推出limtanxsinxxxlim0,x0x0sinx3sinx3則得到的式錯誤的結(jié)果附常見等價(jià)無窮小量x2sinxxx0 ,tanxxx0,1cosxx0,2arcsinxxx0 ,arctanxxx0,ex1xx0,ln1xxx
9、0 ,1x1xx00洛比達(dá)法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限用此種方法求極限要求在 0點(diǎn) x0的空心領(lǐng)域 U例 1 求極限 lim0x0內(nèi)兩者都可導(dǎo),且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零1cosxxtan2xxx 解由于 lim1cosxlimtan2x0,且有,tan2x2tanxsec2x0,1cosxsinx由洛比達(dá)法則可得lim1cosxxtan2xxlisinx22tanxsexccos3xlimx21 21fxlimxx0fxfx0 ,xx0fx0hfx0 h2fx0limh0其中 h是無窮小,可以是 xxxx0,x的函數(shù)或其他表達(dá)式例 1求極限 x0p0,q00 分析此題是 x0時(shí)型未定式,在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前,常用的方法是消去分母 0中的零因子,針對本題的特征,對分母分子同時(shí)進(jìn)行有理化便可求解但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義式之后,我們也可直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解解令 fxgx 則x0fxf0 limx0gxg0x0f0g0pq歸結(jié)原則設(shè) f在 U0x0;內(nèi)有定義, limfx存在的充要條件是:對任何含于 xx0U0x0; 且以 x0為
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