（推薦）第九章-方向?qū)?shù)與梯度

1、1,方向?qū)?shù)與梯度,實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題的實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,2,一、方向?qū)?shù)的定義,討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的變化率問題,3,當 沿著 趨于 時，,是否存在？,4,記為,方向?qū)?shù)的幾何意義,5,過直線,作平行于 z 軸的平面,與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為 C,表示C 的割線向量,即,割線轉(zhuǎn)化為切

2、線,6,上式極限存在就意味著當點,趨于點,曲線C在點 P0 有唯一的切線,它關(guān)于 方向的斜率,就是方向?qū)?shù),7,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,8,故有方向?qū)?shù),9,解,10,解,由方向?qū)?shù)的計算公式知,故,11,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,12,解,令,故,方向余弦為,13,故,14,二、梯度的概念,問題：,15,16,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,梯度為等高線上的法向量,等高線,17,等高線的畫法,18,例如,19,梯度與等高線的關(guān)系：,20,此時 f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為,故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線

3、指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。,21,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,22,23,解,由梯度計算公式得,故,24,解一,用方向?qū)?shù)計算公式,即要求出從 x 軸正向沿逆時針 轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角,在,兩邊對x 求導(dǎo),25,解得,（切線斜率）,故法線斜率為,內(nèi)法線方向的方向余弦為,26,解二,用梯度,梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向 導(dǎo)數(shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值, 即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向,從等高線的角度來看，f ( x , y ) 在點 P 的梯度,27,方向與過點P 的等高線 f ( x , y ) = C 在這點 的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線 指向數(shù)值較高的等高線,等高線為f ( x , y ) = C,即,橢圓,大于橢圓,28,故,29,三、小結(jié),1、方向?qū)?shù)的概念,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,2、梯度的概念,（注意