兩條相交直線的夾角

1、課題：兩條相交直線的夾角(教案)【教學(xué)目標(biāo)】：1、理解兩條直線相交時(shí),直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件.3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點(diǎn)】：兩條相交直線的夾角.【教學(xué)難點(diǎn)】：夾角公式的應(yīng)用.【教學(xué)過(guò)程】：一、課題引入：平面上兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 相交、平行、重合（垂直是相交的一種特殊情形）下面我們對(duì)兩條直線的位置關(guān)系作進(jìn)一步研究（引出課題：兩條直線的夾角）二、新課講授：1. 兩條直線的夾角：平面上兩條相交直線，它們構(gòu)成四個(gè)角，是兩對(duì)對(duì)頂角如果一對(duì)是銳角，另一對(duì)是鈍角，那么我們規(guī)定銳角作為它們的夾角如

2、果四個(gè)角都是直角，那么規(guī)定兩直線夾角是直角，此時(shí)也稱兩條直線相互垂直平面上兩條直線相交時(shí)構(gòu)成兩組對(duì)頂角我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為所以，兩條相交直線的夾角2. 夾角公式：如果已知兩條直線的方程分別為：（其中不同時(shí)為零，不同時(shí)為零）系數(shù)確定，方程確定，直線確定，它們的夾角也就確定，那么如何根據(jù)方程來(lái)求與的夾角？設(shè)的方向向量分別為，向量的夾角為，直線的夾角為將直線的方向向量平移至同一起點(diǎn)，構(gòu)成四種情形，如圖當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是，根據(jù)直線方程，可設(shè)它們的方向向量分別為：由夾角的計(jì)算公式得：，于是，兩條直線的夾角公式為： 分別是直線一

3、般式方程中前面的系數(shù)，已知這四個(gè)數(shù)就可以應(yīng)用夾角公式求兩直線夾角的余弦因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以此時(shí)角是唯一確定的例1、已知兩條直線的方程分別是：，求兩條直線的夾角解：由題意：，即兩直線的夾角為練習(xí)：求下列各組直線的夾角.（1） （2） （3） 例2、已知直線與直線，若直線和直線的夾角為，求的值.解：由得.得兩直線的夾角為，稱兩條直線相互垂直，是兩直線相交的一種特殊情形，回顧夾角公式的推導(dǎo)過(guò)程你能否找到一個(gè)關(guān)于兩直線垂直（板書）的命題？當(dāng)時(shí)，此時(shí)，兩直線相互垂直；反之，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的方向向量也相互垂直，所以兩條直線垂直的充要條件是：；當(dāng)都存在時(shí)，兩條直線垂直的充要條件是：；所以兩條

4、直線垂直的充要條件也可為：或一條斜率不存在另一條的斜率為零例3、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為，求直線的方程解：設(shè)直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法向式方程為：整理得：，由公式得：當(dāng)時(shí)，直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線方程為：；所以，直線的方程為：或注意：此處設(shè)直線的點(diǎn)法向式方程，而不是點(diǎn)方向式方程或點(diǎn)斜式方程是因?yàn)橹挥悬c(diǎn)法向式方程可以表示所有直線解2：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：. 則由題意：，解得. 直線方程為：. 若直線的斜率不存在，即方程為；則直線與直線的夾角為，滿足題意. 所以，直線的方程為：或解3：設(shè)直線的一般式方程為：（不同時(shí)為零）則由題意：，后解同解三、小結(jié)：1. 兩條直線的夾角

5、 2. 設(shè)直線方程時(shí)要依題而設(shè)，好中選優(yōu)；利用畫圖、數(shù)形結(jié)合的方法課題：兩條相交直線的夾角(學(xué)案)【教學(xué)目標(biāo)】：1、理解兩條直線相交時(shí),直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件.3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點(diǎn)】：兩條相交直線的夾角.【教學(xué)難點(diǎn)】：夾角公式的應(yīng)用.【教學(xué)過(guò)程】：1. 兩條直線的夾角：平面上兩條直線相交時(shí)構(gòu)成兩組對(duì)頂角我們規(guī)定_為兩條相交直線的夾角規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為_(kāi) 兩條相交直線的夾角_.2. 夾角公式：如果已知兩條直線的方程分別為：（其中不同時(shí)為零，不同時(shí)為零）如何根據(jù)

6、方程來(lái)求與的夾角？?jī)蓷l相交直線的夾角公式為：_例1、已知兩條直線的方程分別是：，求兩條直線的夾角練習(xí)：求下列各組直線的夾角.（1） （2） （3） 例2、已知直線與直線，若直線和直線的夾角為，求的值.兩條直線垂直的充要條件是：_；兩條直線垂直的充要條件也可為：_例3、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為，求直線的方程【課堂小結(jié)】 兩條直線的夾角：【課后作業(yè)】?jī)蓷l相交直線的夾角課后作業(yè)1求下列兩組直線的夾角：（1）；（2）；（3）與 .2. 已知直線，其中且，求直線與的夾角.3（1）已知直線與直線的夾角為，求實(shí)數(shù)的值或（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，5），且與直線之間成角的直線方程.或4若直線與直線互相垂直，求的值.0或15已知等腰三角形的斜邊所在直線的方程為，直角頂點(diǎn)為，求兩條直角邊所在直線的方程6. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)為(1)求中的大小;(2)求的平分線所在直線的方程.（1） （2）.兩條相交直線的夾角課后作業(yè)1求下列兩組直線的夾角：（1）；（2）；（3）與 .2. 已知直線，其中且，求直線與的夾角.3（1）已知直線與直線的夾角為，求實(shí)數(shù)的值（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，5），且