1982年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試.理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、1982 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué) （理科）一（本題滿分 6 分）填表：函數(shù)使函數(shù)有意義的 x 的實(shí)數(shù)范圍1yx202y2R( x )3yarcsin(sinx )R4ysin(arcsinx )-1,15ylgx(0,+ ）106ylg 10xR解：見上表二（本題滿分9 分）1求（ -1+i)20 展開式中第 15 項(xiàng)的數(shù)值 ;2求 ycos2x 的導(dǎo)數(shù)314614638760 .解： 1. 第 15 項(xiàng) T15=C 20( 1)( i )C 202. y2 (cosxx)2 cosxxx12 x)(cossin( )sin.3333333三（本題滿分9 分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下

2、列方程表示什么曲Y線？畫出它們的圖形1X2 x11O1 3 y230 ;6342 x 1cos ,Yy2 sin .解： 1. 得 2x-3y-6=0 圖形是直線1OX22y圖形是橢圓2. 化為 ( x 1 )1,4四（本題滿分 12 分）已知圓錐體的底面半徑為R，高為 H求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)（如圖）解：設(shè)圓柱體半徑為r 高為 hA由 ACD AOB得DcHHhr.HRhBER( HO由此得 rh ),H2R圓柱體體積22R2V ( h )r h2( Hh ) h .H由題意， Hh0，利用均值不等式，有R2Hh2H3原式HhR42422h4227RH .H2H27Hh

3、, 因此當(dāng)H時(shí) , V ( h ) 最大 .當(dāng)h , 時(shí)上式取等號h23（注：原“解一”對h 求導(dǎo)由駐點(diǎn)解得 ）五（本題滿分 15 分）設(shè) 0x1, a0, a1, 比較| log a ( 1x ) | 與| log a (1x ) | 的大小（要寫出比較過程）解一：當(dāng) a 1 時(shí)，| loga ( 1x ) |loga (1x ), | loga (1x ) |loga (1x ),| loga ( 1x ) | loga ( 1x ) |loga (1x )log a ( 1x )2log a (1 x ).a1,0121,log(1x20 ,xa)| loga (1x )| loga(1

4、x )| .當(dāng) 0a1時(shí) ,| loga ( 1x ) |log a(1x ), | loga(1x )|loga (1x ),| loga ( 1x ) | loga ( 1x ) |loga (12).x0a1, 01x21,log(1x20 ,a)| loga (1x )| loga(1x )| .因此當(dāng)0x1 , a0 , a1時(shí) ,總有| loga (1x ) | loga (1x ) | .解二：| loga(1x )|loga (1x )| log 1x (1x ) | log(1x ) |loga ( 1x )a1x1, 01x1,原式11x2log1x ( 1x )log1x

5、xlog1 x21log 1 x (1 x )11x1x1, 01x21, logx (12)01x原式1 , 即| loga(1x ) |1,| loga (1x ) | loga (1x ) | log(1x ) |a六（本題滿分 16 分）如圖：已知銳角 AOB=2內(nèi)有動(dòng)點(diǎn) P，PMOA，PNOB，A且四邊形 PMON的面積等于常MP（ ， ）X數(shù) c2 今以 O為極點(diǎn)， AOB的O角平分線 OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn) PNB的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它表示什么曲線解：設(shè) P 的極點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，） POM=- ， NOM=+，OM=cos( - ),PM=sin( - ),ON=cos( +),

6、PN=sin( +),四邊形 PMON的面積112SPMPNcos() sin() cos() sin()OMON222依題意, 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡的極坐標(biāo)方程是:2cos() sin()cos() sin()22c2用倍角公式化簡得sin 2 ()sin2 (2)c42用和差化積公式化簡得sin2cos22c22即2cos 22 c.sin2用 xcos, ysin 化為直角坐標(biāo)方程上式為222222 c222 c(cossin).即 xy.sin2sin 2這個(gè)方程表示雙曲線由題意，動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線右面一支在AOB內(nèi)的一部分七（本題滿分 16 分）已知空間四邊形ABCD中 AB=BC

7、，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊 AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)（如圖）求證MNPQ是一個(gè)矩形證：連結(jié) AC，在 ABC中， AM=MB，CN=NB， MNACBMR在 ADC中， AQ=QD，CP=PD，ANQDQPACMNQPKSP同理，連結(jié) BD可證 MQNPCMNPQ是平行四邊形取 AC的中點(diǎn) K，連 BK，DK AB=BC， BKAC， AD=DC， DKAC因此平面 BKD與 AC垂直 BD在平面 BKD內(nèi)， BDAC MQBD，QPAC， MQQP，即MQP為直角 故 MNPQ是矩形八（本題滿分18 分）拋物線 y2=2px 的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy 相切，證明這

8、個(gè)三角形的第三邊也與Yx2=2qy 相切x2=2qy解：不失一般性，設(shè)p0,q0.y2=2pxA 1又設(shè) y2=2px 的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)OA2 A3X為A（x ,y),A(x,y2),A (x ,y)1112233322=2px2，y32=2px3因此 y1 =2px1，y2其中 y1 y2 , y2y3 , y3y1 .依題意，設(shè) A1A2，A2A3 與拋物線 x2=2qy 相切，要證 A3A1 也與拋物線 x2 =2qy 相切因?yàn)?x2=2qy 在原點(diǎn) O 處的切線是 y2=2px 的對稱軸，所以原點(diǎn) O 不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn) 即（ x1,y 1),(x 2,y 2 ),(x 3,y

9、 3) ，都不能是（ 0，0）; 又因 A1A2 與 x2=2qy 相切，所以 A1A2 不能與 Y 軸平行，即 x1x2 , y1-y212的方程是,直線 AAy y 1y 2y 1( xx 1 ),x 2x122( y 2y 1 )( y 2y 1 )2 p ( x 2 x 1 ).y 2y 1A1 A 2方程是y2 pxy 1 y 2.y 1y 2y 1y 2A1 A 2 與拋物線22 qy交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x24 pqx2 qy 1 y 20 ,xy 1y 2y 1y 2由于 A1 A 2與拋物線22 qy 相切, 上面二次方程的判別式x(4 pq22 qy 1 y 2)0 .)4 (y

10、 1y 2y 1y 2化簡得2y1y 2 ( y 1y 2 )0(1)2 p q同理由于 A2A3 與拋物線 x2=2qy 相切， A2A3 也不能與 Y 軸平行，即x2x3, y 2-y 3, 同樣得到2y 2y 3( y 2y 3 )0(2)2p q由（ 1）（2）兩方程及 y20,y 1y3, 得 y1+y2+y3=0.由上式及 y0, 得 y -y1，也就是A A 也不能與 Y 軸平行 今將2331y2=-y 1-y 3 代入（ 1）式得：2y 3 y 1 ( y 3y 1 ) 0(3)2p q(3) 式說明 A3A1 與拋物線 x2=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，即A3A1 與拋物線2122

11、32相切，則31x =2qy 相切 所以只要AA ，AA 與拋物線 x =2qyAA 也與拋物線 x2 =2qy 相切九（附加題，本題滿分20 分，計(jì)入總分）已知數(shù)列 a 1, a 2 ,a n ,和數(shù)列 b 1 , b 2 , b n, 其中 a 1p , b 1q , a npa n 1b nqa n 1 rb n 1 ( n 2 ), ( p , q , r 是已知常數(shù), 且 q0 , p r0 ).1用 p,q,r,n表示 b ，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 ;n2求 limb n.n22a nb n解：1. a1a na n-1, a nn=p,=p=p .1又 b =q,b 2=qa 1+rb 1=q(p+r),b 3=qa 2+rb 2=q(p 2+pq+r 2),nnn 1n 2rn 1)q ( pr )設(shè)想 b nq ( pprpr.用數(shù)學(xué)歸納法證明：22當(dāng) n=2 時(shí)， b 2q ( pr )q ( pr ) , 等式成立 ;prkk設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，等式成立，即 b kq ( pr)pr,rq ( pkkk1k1kr )q ( pr)則 bk+1=qa k+rb k=qpprpr,即 n=k+1 時(shí)等式也成立nn所以對于一切自然數(shù) n2， b nq ( pr)都成立prnn)