因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題(中考壓軸題

1、因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2012 年福州市中考第21題如圖1，在Rt ABC中，/ C= 90 , AC= 6, BC = 8,動點P從點A開始沿邊 AC向 點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點 Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位 長度的速度運動，過點 P作PD/BC,交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ.點P、Q分別從點A、C同 時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒(t 0).(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB =, PD =;(2) 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，說 明理由，并探究如何改變點 Q的速度(勻

2、速運動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求 點Q的速度；(3) 如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長.CW P圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12福州21”，拖動左圖中的點 P運動，可以體驗到，PQ的中 點M的運動路徑是一條線段拖動右圖中的點 Q運動，可以體驗到，當 PQ/AB時，四邊 形PDBQ為菱形.請打開超級畫板文件名“ 12福州21”，拖動點Q向上運動，可以體驗到，PQ的中點M 的運動路徑是一條線段. 點擊動畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗到，當PQ/AB 時，四邊形PDBQ為菱形點擊動畫按鈕的中部， Q的速度變成1.思路點撥1.菱形PD

3、BQ必須符合兩個條件，點 P在/ ABC的平分線上，PQ/AB .先求出點P 運動的時間t，再根據(jù)PQ/AB，對應(yīng)線段成比例求 CQ的長，從而求出點 Q的速度.2 探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑.滿分解答(1) QB = 8 2t，PD = 4t .3(2) 如圖3，作/ ABC的平分線交 CA于P，過點P作PQ/AB交 BC于Q，那么四邊形 PDBQ是菱形.過點P作PE丄AB，垂足為E，那么BE= BC = 8.在 Rt ABC 中， AC =6， BC =8，10.在 Rt APE 中，cosA =竺=-=-，所以 t = 10 . AP t 53

4、一 10當 PQ/AB 時，CQCP ?即CQ63CBCA86解得CQ32 .9所以點Q的運動速度為32-.-10=16 .9315(3) 以C為原點建立直角坐標系.如圖4,當t = 0時，PQ的中點就是 AC的中點E(3, 0).如圖5,當t = 4時，PQ的中點就是 PB的中點F(1 , 4).直線EF的解析式是y= 2x + 6.如圖6, PQ的中點M的坐標可以表示為( 口 , t).經(jīng)驗證，點 M (1 , t)在直2 2線 EF 上.所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段 EF的長，EF= 2.5 .考點伸展第(3)題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當t= 2時，PQ的中點為(2, 2).設(shè)點M的運動路徑的解析式為y= ax2+ bx + c,代入E(3, 0)、F(1, 4)和(2, 2),9a 3b c =0,得 ga +b +c=4解得 a = 0, b = 2, c = 6.I，4a 2b c =2.所以點M的運動路徑的解析式為y = 2x+ 6.例2 2012年煙臺市中考第26題如圖1,在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A為頂點的拋物線 y= ax2 + bx+ c過點C .動點P從點A出發(fā)，沿線段