分組分解法因式分解5課時

1、分組分解法（第一教時）（一）復習把下列多項式因式分解(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)（二）新課講解1引入 提問：如何將多項式 am+an+bm+bn因式分解？分析：很顯然，多項式 am+an+bm+bn中既沒有公因式，也不好用公式法。怎么辦呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n), 而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).這樣就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分組來分解因式的方法叫做 分組

2、分解法 。說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后， 它們的另一個因式正好相同， 那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。練習：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2應用舉例例 1把 a 2-ab+ac-bc 分解因式分析 : 把這個多項式的四個項按前兩項與后兩項分成兩組，分別提出公因式 a 與 c 后，另一個因式正好都是 a-b ，這樣就可以繼續(xù)提公因式。解： a 2-ab+ac-bc= （a2-ab ）+（ac-bc ）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例 2：把

3、2ax-10ay+5by-bx 分解因式分析： 把這個多項式的四個項按前兩項與后兩項分成兩組， 并使兩組的項按 x 的降冪排列， 然后從兩組中分別提出公因式 2a 與-b ，這時另一個因式正好都是 x-5y ，這樣就可繼續(xù)提公因式。解： 2ax-10ay+5by-bx= （2ax-10ay ）+（5by-bx ）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提問：這兩個例題還有沒有其他分組解法？請你試一試。 如果能，請你看一下結(jié)果是否相同？練習：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y 2-yz+x

4、z(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx 2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma 2+na2-mb2-nb2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1 a(mn)b(mn) xy(ab)x(ab)3 n(xy)x y abq(ab)5 p(mn)mn 2a4bm(a2b)7 a2acabbc 3a6bax2bx 3x26x3 2ax 6bx7ay21by9 2x xyxy1 ax2bx2 ay2by2 x32x2y4xy28y3 3m3yma ay 4x34x2y9xy29y3 x

5、3y3x22x2y26xy分組分解法（第二教時）（一）復習1提問：什么是分組分解法？分組時有什么要求？2用分組分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x 3-x 2-4x+4（二）新課講解1例題分析例 3：把 3ax+4by+4ay+3bx 分解因式分析：如果象上節(jié)課一樣，分別把前后兩項分別分成兩組，則無法繼續(xù)分解，但把一、三兩項和二、四兩項分別分成兩組，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交換律=(3ax+4

6、ay)+(3bx+4by) 分組=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式練習: 用分組分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例 4：把 m 2+5n-mn-5m 分解因式分析：如果把前后兩項分別分成兩組，雖然后兩項有公因式，但前后兩組之間卻沒有公因式，不好繼續(xù)分解。如果把一、四兩項和二、三兩項分成兩組，就可以繼續(xù)分解了。解：m 2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m

7、-n)練習：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x (2)5ax 2-b 2-b 2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz (4)4x 2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz四、課外作業(yè) 把下列各式分解因式1 mnmn1 23mx4ny4my3nx 3m2m1 4m3m2m13 m 22bab2a 6axbyaybx5 a7 xyzyxz 8a2xbyayabx 3mx2mxm 10a2ba2ca3abc9mx分組分解法（第三教時）（一）復習1什么是分組分解法？2把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2(3)

8、5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3. 填空 (1)a2-b 2=_ (2)a 2+2ab+b2=_ (3)a 2-2ab+b 2 =_（二）新課講解1例題與練習 例 5：把 x 2-y2-y2 +ax+ay 分解因式分析：顯然無論如何分組都無法用前面的知識來分解，是不是無法分解呢？不是。由于第一、二兩項滿足平方差公式 x 2-y2-y2=(x+y)(x-y), 而三、四兩項有公因式 a, 而 ax+ay=a(x+y).這時可以看出 (x+y)(x-y) 與 a(x+y) 有公因式 (x+y) 。解： x 2-y2-y2+ax+ay=(x 2-y 2)+(ax+

9、ay ）=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)練習：把下列各式分解因式(1)4a2-b 2+6a-3b (2)9m 2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy 2-2y (4)a 2b2-c 2+abd+cd例 6：把 a 2-2ab+b2-2ab+b2-c 2 分解因式分析：用剛才的方法不能見效。我們發(fā)現(xiàn)a 2-2ab+b2-2ab+b2 是完全平方式 (a-b) 2, 此時，原式就變?yōu)?a-b)2- c 2，再用平方差公式。解： a 2-2ab+b2-2ab+b2-c 2=( a 2-2ab+b 2)- c 2 分組=( a-b)2-

10、c2運用完全平方公式=(a-b)+c(a-b)-c 運用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)練習：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c 2-a 2-2ab-b2(3)x2-4y 2+12yz-9z 2 (4)a 2b2-c 2+2ab+1四、課外作業(yè)把下列各式分解因式 4x2y24x2y b2a2axbx m2nm24n2 p3q9q2p2 s2t23s3t x22x 2yy2 4a2b22ab 9a26a2bb2 x22x1y2 m22mnn2p2 4x24xy y2 16z2 a2b22bcc2 x24y24y1 x2y2 z2 2yz分組分解法（第四教時）（一）

11、復習把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b 2 (2)4m 2-9n 2+3n-2m (3)m 2-2mn+n2-4c 2 (4)a 2-b 2+2bc- c2提問：什么樣的多項式可以用分組后運用公式法？（二）新課講解1例題與練習例 7 把下列各式分解因式(1)(x2-4y 2)+(4y-1) (2)(x 2+y2-z 2) 2-4x2y2分析：在第（ 1）題分好的兩組中，雖然第一組可用平方差公式，但與第二組卻無公因式，因此無法分解。如果將括號去掉，再重新分組，得 x 2- （4y2-4y+1) , 此題可用分組后直接用公式法分解因式。在第（ 2）題中，先用平方差公式分解，再用分組分解法

12、。注意：必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2- （4y2-4y+1)2 2=x+(2y-1)x-(2y-1)= x (2y-1)=(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z 2) 2-4x 2y2=(x 2+y2-z 2) 2-(2xy)2=(x2+y2-z 2)+2xy(x 2+y2-z 2)-2xy=(x2+y2-z 2+2xy)(x 2+y2-z 2-2xy)=(x2+y2 +2xy)-z 2(x 2+y2-2xy)-z 2=(x+y)2-z2(x-y)2-z2=(x+y)+z(x+y)-z(x

13、-y)+z(x-y)-z=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)練習：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c 2-b 2) (2) (ax+by) 2+(bx-ay)2(3) 4a2b2-(a 2+b2-c 2)2例 8：把下列多項式分解因式(1) x3+x2y-xy 2-y 3 (2)a 3-ab 2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy 2-y 3=(x 3+x2y)-(xy 2+y3) 分組=x 2(x+y)-y2(x+y)-y2(x+y) 分別提公因式=(x+y)(x2-y2) 提公因式=(x+y)(x+y)(x-y) 運用平方差公式=(x+y)2

14、(x-y) 相同因式寫成冪的形式提問：還有其他解法嗎？(2) a3-ab 2+4abc-4ac 2=a(a 2-b 2+4bc-4c 2) 先提公因式=aa2-(b 2-4bc+4c 2) 分組=aa2-(b-2c) 2 運用完全平方公式=aa+(b-2c)a-(b-2c) 運用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理練習：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2 y2-a 2x2-b 2y2 (2)x 3-x 2y-xy 2+y3(3)x2y-y 3-2xyz+yz 2 (4)a 3+a2-a-13作業(yè)：把下列各式分解因式(1)x3y3-x 2y2-xy+1 (2)(2xy-a 2

15、)+(x 2+y2) (3)(x 2-y 2+z2) 2-4x 2z 2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式3ax5ay 6bx10by a2b24a4b m24mn4n244x22xy y2 ax2ay2a2xa2y a32a2bab2aa2b2a22abb2 x3 x2yxy2y3 9.（axby）2（ bxay）2 24n2）（ 4n1） 11（a2m2n2）24m2n210（m分組分解法（第五教時）（一）復習1. 什么是分組分解法？怎樣才是正確的分組？2. 把下列多項式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x 2-y 2+2yz-z 2 (3)x 2+px+qx+pq（二）新課講解1.

16、 引入2（1）把 x +(p+q)x+pq 分解因式分析此式不好直接用已學的知識來分解因式，可以把式子展開為x2+px+qx+pq。這時，可以用分組分解法。x2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我們知道 (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2 +(p+q)x+pq, 于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（2）特點式子 x2+(p+q)x+pq 的特點為：（1）二次項的系數(shù)是 1。（2）常數(shù)項是兩個數(shù)之積。（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和。說明：根據(jù)上面的結(jié)果，

17、可以直接將某些二次項系數(shù)是 1 的二次三項式分解因式。2.應用舉例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x 2-7x+6 (3)x 2+x-2 (4)x 2-2x-15分析 :（1）x2+3x+2 的二次項系數(shù)是 1，常數(shù)項2=12，一次項系數(shù) 3=1+2。這是一個 x2+(p+q)x+pq型式子。（2）x2-7x+6 的二次項系數(shù)是 1，常數(shù)項6=(-1) (-6) ，一次項系數(shù) -7=(-1)+(-6) 。這也是一個 x2+(p+q)x+pq 型式子。（3）x2+x-2 的二次項系數(shù)是 1，常數(shù)項-2=(-1) 2，一次項系數(shù) 1=(-1)+2 。這也是一個 x2+(p+q)x

18、+pq 型式子。（4）x2-2x-15 的二次項系數(shù)是 1，常數(shù)項-15=(-5) 3，一次項系數(shù) -2=(-5)+3 ，這也是2一個 x +(p+q)x+pq 型式子。解： (1) 因為2=12，并且 3=1+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2) 因為6=(-1) (-6) ，并且 -7=(-1)+(-6) ，所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)（3）因為-2=(-1) 2，并且 1=(-1)+2 ，所以x2+x-2=(x-1)(x+2)（4）因為-15=(-5) 3，并且 -2=(-5)+3 ，所以x2-2x-15=(x-5)(x+3)3.歸納與小結(jié)(1) 常數(shù)項是正數(shù)時，它分解成兩個 _號因數(shù)，它們和一次項系數(shù)符號 _。(2) 常數(shù)項是負數(shù)時，它分解成兩個 _號因數(shù)，其中絕對值較_的因數(shù)的符號和一次項系數(shù)的符號相同。思考題把 x 4-5x4-5x2+4 因式分解四、課外作業(yè)一、