信號與系統(tǒng)教案第4章1.ppt

1、第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號分解為正交函數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù) 4.3 周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換 4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 4.6 周期信號的傅里葉變換 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析 4.8 取樣定理,點擊目錄 ，進入相關(guān)章節(jié),第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為0。即,A= C1vx+ C2 vy,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、v

2、z=（0，0，2) 所組成的集合就是一個正交矢量集,4.1 信號分解為正交函數(shù),二、信號正交與正交函數(shù)集,1. 定義,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足,兩函數(shù)的內(nèi)積為0,則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交,2. 正交函數(shù)集,若n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集,4.1 信號分解為正交函數(shù),3. 完備正交函數(shù)集,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集,例如：三角函數(shù)集

3、1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集,i =1，2，n,4.1 信號分解為正交函數(shù),三、信號的正交分解,設(shè)有n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,4.1 信號分解為正交函數(shù),為使上式最小,展開上式中的被積函數(shù)

4、，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為,即,所以系數(shù),4.1 信號分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差（推導過程見教材,在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當n時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有,上式稱為(Parseval)帕斯維爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和,函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),一、傅里葉級數(shù)的三角形式,設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下

5、三角級數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級數(shù),系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù),可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),式中，A0 = a0,上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波,可見An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為,吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象,用有限次諧波分量來近似原信

6、號，在不連續(xù)點 出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少， 且 為跳變值的9,吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因,時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂,N=5,N=15,N=50,N=500,吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象,分析問題使用的數(shù)學工具為傅里葉級數(shù) 最重要概念：頻譜函數(shù) 要點 1. 頻譜的定義、物理意義 2. 頻譜的特點 3. 頻譜的性質(zhì)，應用性質(zhì)分析復雜信號的頻譜 4. 功率譜的概念及在工程中的應用,周期信號的頻譜分析小結(jié),二、奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),縱軸對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含有直流項與余弦項,1 .f(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標 f (t) = f (-t,

7、原點對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項,二、奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),2 .f(t)為奇函數(shù)對稱縱坐標 f (t) = -f (-t,半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量,二、奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),3 .f(t)為半波重迭信號 f (t) = f (tT/2,半波鏡像周期信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量,二、奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),4 .f(t)為半波鏡像信號（奇諧函數(shù)）f (t) = f (tT/2,說明 ：某些信號波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對稱特性,去掉直流分量后,信號呈奇對稱，只含有正弦各次諧波分量,因此該信號含有正

8、弦各次諧波分量，直流分量,例4 求圖示周期信號f(t)的傅里葉級數(shù),f (t) = f1(t) - f2(t,4.2 傅里葉級數(shù),實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,4.2 傅里葉級數(shù),三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2,4.2 傅里葉級數(shù),上式中第三項的n用n代換，A n=An， n= n

9、， 則上式寫為,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,4.2 傅里葉級數(shù),令復數(shù),稱其為復傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù),n = 0, 1, 2,表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 F0 = A0/2為直流分量,4.2 傅里葉級數(shù),四、周期信號的功率Parseval等式,直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。 n0時， |Fn| = An/2,周期信號一般是功率信號，其平均功率為,例4,求f (t)的功率,解,1,2,總 結(jié),傅里葉級數(shù)的兩種表示形式,三角函數(shù)形式,指數(shù)形式,周期信號的功率Parseval等式,幅度頻譜,相位頻譜,物理意義：任意周期信號

10、的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和,4.3 周期信號的頻譜,4.3 周期信號的頻譜及特點,一、信號頻譜的概念,從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為幅度頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn,4.3 周期信號的頻譜,例：周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻

11、譜圖，并求f(t) 的平均功率,解 首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即,顯然1是該信號的直流分量,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12 根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P,4.3 周期信號的頻譜,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,4.3 周期信號的頻譜,A,n,0,5,10,F,n,0,5,10,單邊幅度譜,雙邊幅度譜,4.3 周期信號的頻譜,二、周期信號頻譜的特點,舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求

12、頻譜,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù),n = 0 ,1，2,4.3 周期信號的頻譜,n = 0 ,1，2,Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖,零點為,特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小,周期信號的頻譜及其特點,1)離散頻譜特性,周期信號的頻譜是由間隔為 的譜線組成的,信號周期T越大，就越小，則譜線越密。反之，T越小，越大，譜線則越疏,2) 信號的有效帶寬,02 / 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即,信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間成反比。 即 越大，其w越小；反之， 越小，其w

13、越大,周期信號的頻譜及其特點,物理意義：在信號的有效帶寬內(nèi)，集中了信號絕大部分諧波分量。若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響,說明：當信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配,3) 相位譜的作用,幅頻不變，零相位,幅頻為常數(shù)，相位不變,周期信號的頻譜及其特點,例2 已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出信號的Fourier級數(shù)表示式,解,由圖可知,Fn,例3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02p /t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20,解： 周期矩形脈沖的傅里葉系數(shù)為,將A=1，T=1/4， = 1/20，= 2

14、p/T = 8p 代入上式,例3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02p /t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20,解,包含在有效帶寬(0 2p /t )內(nèi)的各諧波平均功率為,信號的平均功率為,例3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02p /t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20,周期信號的功率譜,4.3 周期信號的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系,a) T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，間隔減小

15、，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小,4.4 傅里葉變換,4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號f(t)可看成是周期T時的周期信號。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,單位頻率上的頻譜,稱F(j)為頻譜密度函數(shù),4.4 傅里葉變換,考慮到：T，無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時，,于是,傅里葉變換式“,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。 f(t)稱為F(j)

16、的傅里葉反變換或原函數(shù),根據(jù)傅里葉級數(shù),4.4 傅里葉變換,也可簡記為,F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j,F(j)一般是復函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(,說明 (1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件,2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分,4.4非周期信號的頻譜,常見非周期信號的頻譜(頻譜密度) 單邊指數(shù)信號 雙邊指數(shù)信號e-a|t| 單位沖激信號d(t) 直流信號 符號函數(shù)信號 單位階躍信號,一、常見非周期信號的頻譜,1. 單邊指數(shù)信號,幅度頻譜,相位頻譜,一

17、、常見非周期信號的頻譜,1. 單邊指數(shù)信號,單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜,一、常見非周期信號的頻譜,2. 雙邊指數(shù)信號 e-a|t,幅度頻譜,相位頻譜,一、常見非周期信號的頻譜,3. 單位沖激信號d(t,單位沖激信號及其頻譜,一、常見非周期信號的頻譜,4. 直流信號f(t)=1,-t,直流信號不滿足絕對可積條件，可采用極限的方法求出其傅里葉變換,另一種求法： (t)1代入反變換定義式，有,將t，t,一、常見非周期信號的頻譜,4. 直流信號f(t)=1,-t,一、常見非周期信號的頻譜,4. 直流信號,對照沖激、直流時頻曲線可看出,時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄,時域持續(xù)越窄的信號，其

18、頻域的頻譜越寬,直流信號及其頻譜,一、常見非周期信號的頻譜,5. 符號函數(shù)信號,符號函數(shù)定義為,一、常見非周期信號的頻譜,5. 符號函數(shù)信號,符號函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜,一、常見非周期信號的頻譜,6. 單位階躍信號 (t,階躍信號及其頻譜,4.4 傅里葉變換,7. 門函數(shù)(矩形脈沖,8. 沖激函數(shù)(t)、(t,4.4 傅里葉變換,歸納記憶,1. F 變換對,2. 常用函數(shù) F 變換對,t,t,e -t (t,g(t,sgn (t,e |t,1,1,2(,syms t fourier(exp(-abs(t) ans = 2/(1+w2,syms t w; ifourier(2*cos(3*w)

19、 ans = Dirac(x+3)+Dirac(x-3,分析,2. 周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的 連續(xù)頻譜等間隔取樣求得,3. 信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù),4. 信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點 之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬,5. 脈沖寬度 越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。 即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用 的頻帶越寬,1. 非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀 與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡(luò)線相似,復習,f(t)*(t) = f(t,f(t)*(n)(t) = f (n)(t,f(t)*(t,t) *(t) = t(t,知識準備,4.

20、5 傅里葉變換的性質(zhì),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),一、線性(Linear Property,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) then,Proof,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ,Ans: f (t) = f1(t) g2(t,f1(t) = 1 2(,g2(t) 2Sa(,F(j) = 2() - 2Sa(,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),二、奇偶性(Parity,If f(t) is real, then,R() + jX(,So that,R()= R() , X()

21、= X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),三、對稱性質(zhì)(Symmetrical Property,If f (t) F(j) then,Proof,1,in (1) t ，t then,2,in (2) - then,F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,F(j) = ,Ans,if =1,4.5

22、 傅里葉變換的性質(zhì),四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property,If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant,Proof,F f (a t ),For a 0,F f (a t ),for a 0,F f (a t ),That is,f (a t ),Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 1,Given that f (t)F( j), find f (at b) ,Ans: f (t b,e -jb F( j,f (

23、at b),or,f (at),f (at b),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = F(j) = ,Ans,Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),五、時移性質(zhì)(Timeshifting Property,If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant,Proof,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5,g

24、6(t - 5),g2(t - 5),F(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property,If f (t) F(j) then,Proof,where “0” is real constant,F e j0t f(t,F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = cos0t F(j) = ,Ans,F(j) = (+0)+ (-0,For example 3,Given that f

25、(t) F(j,= ,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),七、卷積定理(Convolution Property,Convolution in time domain,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j,Convolution in frequency domain,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j,Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Proof,F f1(t)*f2(t),Using timeshifting,So that,F f1(t)*f2(t),F1(j)

26、F2(j,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Ans,Using symmetry,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),八、時域的微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain,If f (t) F(j) then,Proof,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),f(t)= 1/t2 ,For example 1,Ans,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,Given that f (t) F1(j) Proof,f (

27、t) F1(j) + f(-)+ f()(,Proof,So,Summary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 3,Determine f (t) F (j,Ans,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2,F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j),Notice,d(t)/dt = (t) 1,t) 1/(j,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),九、頻域的微分和積分 (Differen

28、tiation and Integration in frequency domain,If f (t) F(j) then,jt)n f (t) F(n)(j,where,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=,Ans,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Notice: t(t) =(t) * (t),Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined,For example 2,Determine,Ans,十、相關(guān)定理,九、帕斯瓦爾關(guān)系 (Parsevals Relation for Aperiodic

29、 Signals,Proof,F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜 (能量密度譜）Js,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Determine the energy of,Ans,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),4.6 周期信號的傅里葉變換,4.6 周期信號傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,12() 由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0

30、 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0,4.6 周期信號傅里葉變換,二、一般周期信號的傅里葉變換,例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t),解,1,4.6 周期信號傅里葉變換,例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換,解：周期信號f(t)也可看作f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t,F(j,F(j),本題 f0(t) = g2(t,2,這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法,1,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和,對周期信號,對非周期信號,其基本信號為 ej t,一、基

31、本信號ej t作用于LTI系統(tǒng)的響應,說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而t= 總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率的基本信號ej t時，其響應,而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù),y(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了響應y(t)的幅度和相位,y(t) = h(t)* ej t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應,ej t,H(j ) ej t,F(j ) ej t d,F(j )H

32、(j ) ej t d,齊次性,可加性,f(t,y(t) =F 1F(j )H(j ),Y(j ) = F(j )H(j,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即,H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應）；()稱為相頻特性（或相頻響應）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù),頻域分析法步驟,傅里葉變換法,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法,周期信號,若,則可推導出,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(1

33、0t)，求系統(tǒng)的響應,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10,Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10),H(j)=H(j)ej(,4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5),y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,解法二：用三角傅里葉級數(shù),f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t,H(0) =1，

34、H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,三、頻率響應H(j)的求法,1. H(j) = F h(t,2. H(j) = Y(j)/F(j) 由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。 由電路直接求出,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時的響應y(t,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,f(t) = e-t(t,Y(j) = H(j)F(j,y(t)

35、 = (e-t e-2t )(t,例2：如圖電路，R=1，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t,解：畫電路頻域模型,h(t)= e-t (t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真,1、無失真?zhèn)鬏?1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒獮?y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j,4

36、.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td,上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可,2)無失真?zhèn)鬏敆l件,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是,A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2

37、t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應可寫為,1)沖激響應,h(t)= -1g 2 c()e-jtd,可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng),4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,2)階躍響應,g(t)=h(t)*(t),經(jīng)推導，可得,稱為正弦積分,特點：有明顯失真，只要c，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象,gmax=0.5+Si(

38、)/=1.0895,4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應在t0時必須為0，即 h(t)=0 ,t0 即 響應不應在激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,并且,稱為佩利-維納準則。（必要條件） 從該準則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0,4.8 取樣定理,4.8 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號。可以說，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù),一、信號的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。 這樣得