2013年高考真題解析分類匯編（理科數(shù)學(xué)）4：數(shù)列

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家2013高考試題解析分類匯編（理數(shù)）4：數(shù)列一、選擇題 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）已知數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)和等于(A) (B) (C) (D)C 所以3an+1+an=0所以所以數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列因?yàn)樗詀1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，s10=3（1310）故選C （2013年高考新課標(biāo)1（理）設(shè)的三邊長分別為,的面積為,若,則()A.Sn為遞減數(shù)列 B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列B 因?yàn)閍n+1=an，所以a

2、n=a1，所以bn+1+cn+1=an+=a1+，所以bn+1+cn+12a1=，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1，于是，在AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值，因?yàn)閎n+1cn+1=，所以bncn=，當(dāng)n+時(shí)，有bncn0，即bncn，于是AnBnCn的邊BnCn的高h(yuǎn)n隨著n的增大而增大，所以其面積=為遞增數(shù)列，故選B （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得則的取值范圍是(A) (B) (C) (D)B由題知，過原點(diǎn)的直線y = x與曲

3、線相交的個(gè)數(shù)即n的取值.用尺規(guī)作圖，交點(diǎn)可取2,3,4. 所以選B （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結(jié)論一定正確的是( )A.數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 B.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C 等比數(shù)列的公比為q, 同理可得,數(shù)列為等比數(shù)列，故選C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則(A) (B) (C) (D)C 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3=a2+10a1，a5=9，所以，解得所以故選C （2013年高考新

4、課標(biāo)1（理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則 ( )A.3 B.4 C.5 D.6C am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故選C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題: 其中的真命題為(A) (B) (C) (D)D設(shè)，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯(cuò)；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯(cuò)；，所以是遞增數(shù)列，正確,選D. （2013年高考江西卷（理）等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,.的第四項(xiàng)等于A.-24 B.0

5、C.12 D.24A本題考查等比數(shù)列的運(yùn)算。由，即，解得或。當(dāng)時(shí)，前三項(xiàng)為不成立，舍掉。當(dāng)時(shí)，前三項(xiàng)為，公比為，所以第四項(xiàng)為，選A.二、填空題（2013年高考四川卷（理）在等差數(shù)列中,且為和的等比中項(xiàng),求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和.解:設(shè)該數(shù)列公差為,前項(xiàng)和為.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3. 所以數(shù)列的前項(xiàng)和或 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為_. 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a，公差為d，因?yàn)镾10=10a+45d=0，S15=15a+105d=25，所以a=3，

6、d=，所以等差數(shù)列an的各項(xiàng)為：3，1，1，3，5，根據(jù)題意得：當(dāng)n=1時(shí)，S1=3；當(dāng)n=2時(shí)，2S2=；當(dāng)n=3時(shí)，3S3=21；當(dāng)n=4時(shí)，4S4=32；當(dāng)n=5時(shí)，5S5=；當(dāng)n=6時(shí)，6S6=48；當(dāng)n=7時(shí)，7S7=49；當(dāng)n=8時(shí)，8S8=；當(dāng)n=9時(shí)，9S9=27；當(dāng)n=10時(shí)，10S10=0；，其余結(jié)果為正，所以nSn的最小值為7S7=49（2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為,以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測的表達(dá)式,由此計(jì)算

7、_.選考題1000本題考查歸納推理。由歸納推理可知： N(n,k)=,所以N(10,24)。（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）在正項(xiàng)等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_.12 又時(shí)符合題意，所以的最大值為（2013年高考湖南卷（理）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則(1)_; (2)_.; 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和。即,即,解得:.當(dāng)是偶數(shù)且時(shí),.又,所以.因此,所以,即偶數(shù)項(xiàng)的和為零,所以. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知是等差數(shù)列,公差,為其前項(xiàng)和,若成等比數(shù)列,則【命題立意】本題考查等差數(shù)列，等

8、比數(shù)列的基本運(yùn)算以及數(shù)列求和。因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，所以，即，所以。所以。（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）在等差數(shù)列中,已知,則_. ；依題意,所以. 或:（2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為_. 【KS5U解析】分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況。第n個(gè)等式為。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分組求和：。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)等式=。綜上，第n個(gè)等式：（2013年高考新課標(biāo)1（理）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.=. 解析】當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=，解得a1=1當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故數(shù)列an

9、是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,互不-相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_. .（2013年高考北京卷（理）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_;前n項(xiàng)和Sn=_.2, 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍2+a4=20，a3+a5=40，所以，解得所以=2n+12（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個(gè)根,則_.63. 由題意知，又，所以，所以，代入等比

10、求和公式得。三、解答題（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）設(shè)函數(shù),證明:()對每個(gè),存在唯一的,滿足;()對任意,由()中構(gòu)成的數(shù)列滿足.解: () 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對每個(gè),存在唯一的,滿足;(證畢) () 由題知 上式相減: . 法二: （2013年高考上海卷（理）(3分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.:(1)因?yàn)?故, (2)要證明原命題,只需證明對任意都成立, 即只需證明 若,顯然有成立; 若

11、,則顯然成立 綜上,恒成立,即對任意的, (3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無限增大時(shí),總有 此時(shí), 即 故, 即, 當(dāng)時(shí),等式成立,且時(shí),此時(shí)為等差數(shù)列,滿足題意; 若,則, 此時(shí),也滿足題意; 綜上,滿足題意的的取值范圍是. （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時(shí),記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個(gè)數(shù); (2)求集合中元素的個(gè)數(shù).本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運(yùn)算.計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中元素

12、的個(gè)數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證 事實(shí)上, 當(dāng)時(shí), 故原式成立 假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即 故原式成立 則:,時(shí), 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 于是當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 又 故集合中元素的個(gè)數(shù)為 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.(1)求; (2)若,求解:()由已知得到: ; ()由(1)知,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 所以,綜上所述:; （2013年高考湖北卷（理）已知等比數(shù)列滿足:,.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)

13、是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.解:(I)由已知條件得:,又, 所以數(shù)列的通項(xiàng)或 (II)若,不存在這樣的正整數(shù); 若,不存在這樣的正整數(shù). （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解:()設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所以時(shí), 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和 （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分1

14、6分.設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和.記,其中為實(shí)數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();(2)若是等差數(shù)列,證明:.證明:是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和 (1) 成等比數(shù)列 左邊= 右邊= 左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: 對恒成立 由式得: 由式得: 法二:證:(1)若,則,. 當(dāng)成等比數(shù)列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數(shù)列,則型. 觀察()式后一項(xiàng),分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）等差

15、數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項(xiàng)式. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; () 設(shè), 求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值. （2013年高考江西卷（理）正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足:(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.證明:對于任意的,都有(1)解:由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng). (2)證明:由于. 則. . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（

16、理）卷（純WORD版）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.(1) 解: ,. 當(dāng)時(shí), 又, (2)解: ,. 當(dāng)時(shí), 由 ,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí),上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, 當(dāng)時(shí),原不等式成立. 當(dāng)時(shí), ,原不等式亦成立. 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. （2013年高考北京卷（理）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng),的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對任意nN*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1.(I) (II)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列,且,所以 因此,. (必要性)因?yàn)?所以. 又因?yàn)?所以. 于是,. 因此,即是公差為的等差數(shù)列. (III)因?yàn)?所以,.故對任意. 假設(shè)中存在大于2的項(xiàng). 設(shè)為滿足的最小正整數(shù),則,并且對任意,. 又因?yàn)?所以,且. 于是,. 故,與矛盾. 所以對于任意,有,即非負(fù)整數(shù)列的