邊際、彈性分析經(jīng)濟數(shù)學(xué)建模課件 Microsoft W

1、一、邊際分析邊際的概念.如果一個經(jīng)濟指標(biāo)y是另一個經(jīng)濟指標(biāo)x的函數(shù)，那么當(dāng)自變量有改變量時，對應(yīng)有函數(shù)的改變量.在經(jīng)濟學(xué)中，當(dāng)自變量在x處有一個單位改變量時，所對應(yīng)的函數(shù)改變量為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟指標(biāo)在x處的邊際量.例如當(dāng)生產(chǎn)量在x單位水平時的邊際成本，就是在已生產(chǎn)x單位產(chǎn)品水平上，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品時總成本的改變量，或者可以說是再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所花費的成本.設(shè)x的改變量為時，經(jīng)濟變量的改變量為=，則相應(yīng)于,y的平均變化率是由邊際的概念，在上式中取或就可得到邊際量的表達(dá)式.但邊際概念的定義和計算使我們想到能否用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為y的邊際量呢？如果按純粹的數(shù)學(xué)概念來講，似乎行不通，因為導(dǎo)數(shù)定義

2、要求自變量增量必須趨向于零，而實際問題中自變量x的經(jīng)濟意義通常是按計件的產(chǎn)量或銷量作為單位的，改變量為小數(shù)且趨于零不合乎實際.但我們可以這樣考慮，對于現(xiàn)代企業(yè)來講，其產(chǎn)銷量的數(shù)額和一個單位產(chǎn)品相比是一個很大數(shù)目，1個單位常常是其中微不足道的量，可以認(rèn)為改變一個單位的這種增量是趨近于零的.正是這個緣故，在經(jīng)濟理論研究中，總是用導(dǎo)數(shù)表示經(jīng)濟變量y的邊際量，即認(rèn)為的經(jīng)濟意義是自變量在x處有單位改變量時所引起函數(shù)的改變數(shù)量.1邊際成本在經(jīng)濟學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量為x時再增加一個單位產(chǎn)量時所增加的成本.成本函數(shù)的平均變化率為它表示產(chǎn)量由x變到x+時，成本函數(shù)的平均改變量.當(dāng)成本函數(shù)可導(dǎo)時，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

3、，成本函數(shù)在x處變化率為在經(jīng)濟上我們認(rèn)為就是邊際成本.因此，邊際成本是成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù).，它近似等于產(chǎn)量為x時再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所需增加的成本，即在實際問題中企業(yè)為了生產(chǎn)要有廠房、機械、設(shè)備等固定資產(chǎn)，在短期成本函數(shù)中作為固定成本，它是常數(shù)，而生產(chǎn)中使用勞力，原料、材料、水電等方面的投入隨產(chǎn)量x的變化而改變，生產(chǎn)的這部分成本是可變成本，以記，于是成本函數(shù)可表示為此時邊際成本為由此，邊際成本與固定成本無關(guān)，它等于邊際可變成本.在實際經(jīng)濟量化分析問題中，經(jīng)常將產(chǎn)量為時的邊際成本和此時已花費的平均成本做比較，由兩者的意義知道，如果邊際成本小于平均成本，則可以再增加產(chǎn)量以降低平均成本，反之

4、如果邊際成本大于平均成本，可以考慮削減產(chǎn)量以降低平均成本.由此可知，當(dāng)邊際成本等于平均成本時可使產(chǎn)品的平均成本最低.2邊際收入和邊際利潤在經(jīng)濟學(xué)中，邊際收入定義為銷量為x時再多銷售一個單位產(chǎn)品時所增加的收入.設(shè)收入函數(shù)是可導(dǎo)的，收入函數(shù)的變化率是同邊際成本道理一樣，我們認(rèn)為就是邊際收入.因此，邊際收入是收入函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù).，它近似等于銷量為時再銷售一個單位產(chǎn)品所增加（或減少）的收入.即設(shè)利潤函數(shù)為，由于利潤函數(shù)是收入函數(shù)與成本函數(shù)之差，即則邊際利潤是因此，邊際利潤是利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)，它近似等于銷量為x時再銷售一個單位產(chǎn)品所增加（或減少）的利潤.在經(jīng)濟學(xué)中還經(jīng)常用到邊際效用

5、，邊際產(chǎn)量、邊際勞動生產(chǎn)率等概念，它和邊際成本、邊際收入、邊際利潤的經(jīng)濟解釋方法大同小異，在此不再闡述.下面用具體例子說明邊際概念在實際問題中的意義和作用.例1 設(shè)某企業(yè)的產(chǎn)品成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為和，其中為產(chǎn)量，單位為件，和的單位為千元，求：（1）邊際成本、邊際收入、邊際利潤；（2）產(chǎn)量時的收入和利潤，并求此時的邊際收入和邊際利潤，解釋其經(jīng)濟意義.解 由邊際的定義有（1）邊際成本 邊際收入 邊際利潤 （2）當(dāng)產(chǎn)量為20件時，其收入和利潤為（千元）（千元）其邊際收入與邊際利潤為（千元/件）（千元/件）上面計算說明，在生產(chǎn)20件產(chǎn)品的水平上，再把產(chǎn)品都銷售的利潤為負(fù)值，即發(fā)生了虧損，虧損值為6

6、0千元；而此時的邊際收入較大，即生產(chǎn)一件產(chǎn)品收入為352千元，從而得利潤144千元.這樣以來，該企業(yè)的生產(chǎn)水平由20件變到21件時，就將由虧損60千元的局面轉(zhuǎn)變到盈利千元的局面，故應(yīng)該再增加產(chǎn)量.二、彈性分析一個簡單引例.設(shè)，當(dāng)x由10變到11時，y由100變到121.顯然，自變量和函數(shù)的絕對改變量分別是=1，=21，而它們的相對改變量和分別為=這表明，當(dāng)自變量x由10變到11的相對變動為10%時，函數(shù)y的相對變動為21%，這時兩個相對改變量的比為解釋E的意義：x=10時，當(dāng)x改變1%時，y平均改變2.1%，我們稱為從x=10到x=11時函數(shù)的平均相對變化率，也稱為平均意義下函數(shù)的彈性.這個大

7、小度量了對x變化反應(yīng)的強烈程度.特別是在經(jīng)濟學(xué)中，定量描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反應(yīng)程度對科學(xué)決策至關(guān)重要.如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點x0處的點彈性，記為，稱為函數(shù)在區(qū)間的點彈性函數(shù)，簡稱彈性函數(shù).而稱為函數(shù)在以x0與x0+為端點的區(qū)間上的弧彈性.弧彈性表達(dá)了函數(shù)當(dāng)自變量x從x0變到x0+時函數(shù)的平均相對變化率，而點彈性正是函數(shù)在點x0處的相對變化率.例2 求指數(shù)函數(shù)的彈性函數(shù).解 因為所以 .1. 需求彈性函數(shù)的彈性表達(dá)了函數(shù)在處的相對變化率，粗略來說，就是當(dāng)自變量的值每改變百分之一所引起函數(shù)變化的百分?jǐn)?shù).需求彈性就是在需求分析中經(jīng)常用來測定需求對價格反應(yīng)程度的一個經(jīng)濟

8、指標(biāo).設(shè)某商品的市場需求量是價格的函數(shù)：，是可導(dǎo)函數(shù)，則稱為該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，記為.可以這樣解釋的經(jīng)濟意義；當(dāng)商品的價格為時，價格改變1%時需求量變化的百分?jǐn)?shù).為什么不使用變化率而要使用這種相對變化率來表達(dá)價格改變對需求量的反應(yīng)呢？由彈性定義看到，彈性與量綱無關(guān)，需求彈性與需求量和價格所用的計量單位無關(guān).以對水果的需求為例，在我國將以m公斤/元來度量，在美國將以公斤/美元來度量，這就無法比較兩國需求對價格的反應(yīng).正因為彈性可不受計量單位的限制，所以在經(jīng)濟活動分析中廣泛采用，除需求價格彈性，還有收入價格彈性,成本產(chǎn)量彈性等.由經(jīng)濟理論知道，一般商品的需求函數(shù)為價格的減函數(shù)，從

9、而 ,這說明需求價格彈性一般是負(fù)的.由此，當(dāng)商品的價格上漲（或下跌）1%時，需求量將下跌（或上漲）約，因此在經(jīng)濟學(xué)中，比較商品需求彈性的大小時，是指彈性的絕對值,一般在經(jīng)濟分析中將需求彈性記為.當(dāng)時，稱為單位彈性，此時商品需求量變動的百分比與價格變動的百分比相等；當(dāng)時，稱為高彈性，此時商品需求量變動的百分比高于價格變動的百分比，價格的變動對需求量的影響比較大；當(dāng)時，稱為低彈性，此時商品需求量變動的百分比低于價格變動的百分比，價格的變動對需求量影響不大.在商品經(jīng)濟中，商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價（）或降價（）對總收入的影響，利用需求彈性的概念，可以對此進(jìn)行分析.設(shè)收入函數(shù)為，則，此時邊際收入為 （2）

10、當(dāng)很小時,有 （3）由此可知，當(dāng)（高彈性）時，商品降價時()，即降價可使收入增加，商品提價時()，即提價將使總收入減少.當(dāng)（低彈性）時，降價使總收入減少，提價使總收入增加.當(dāng)（單位彈性）時，提價或降價對總收入無影響.上述分析使我們看到,根據(jù)商品需求彈性的不同,應(yīng)制定不同的價格政策,以使收入快速增長.例3 設(shè)某種產(chǎn)品的需求量與價格的關(guān)系為（1）求需求彈性；（2）當(dāng)產(chǎn)品的價格時再增加1%，求該產(chǎn)品需求量變化情況.解 （1）由需求彈性公式需求彈性為-1.39p，說明產(chǎn)品價格增加1%時，需求量將減少1.39%.（2）當(dāng)產(chǎn)品價格時,有這表示價格時，價格增加1%，產(chǎn)品需求量將減少13.9%；如果價格降低1%，產(chǎn)品的需求量將增加13.9%.這也表明此商品的需求彈性是高彈性的，適當(dāng)降價會使銷量大增.例4 已知某企業(yè)的產(chǎn)品需求彈性為2.1，如果該企業(yè)準(zhǔn)備明年降價10%，問這種商品的銷量預(yù)期會增加多少？