算法題計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析期末試題套含答案

1、1)用計(jì)算機(jī)求解問題的步驟： 1、問題分析 2、數(shù)學(xué)模型建立 3、算法設(shè)計(jì)與選擇 4、算法指標(biāo) 5、算法分析 6、算法實(shí)現(xiàn) 7、 程序調(diào)試 8、結(jié)果整理文檔編制(2) 算法定義：算法是指在解決問題時(shí)，按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問題結(jié)果的處理 過程(3) 算法的三要素1、操作 2、控制結(jié)構(gòu) 3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 算法具有以下 5 個(gè)屬性 ： 有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。 確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出 口可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有 限次來實(shí)現(xiàn)的。輸入：一個(gè)算法有

2、零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸入取自于某個(gè)特定對(duì)象的集合。 輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)： 正確性：算法應(yīng)滿足具體問題的需求； 可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解； 健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn) 生莫名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲(chǔ)量需求： 效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間； 存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過程中所需要 的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法 迭代法 也稱“輾轉(zhuǎn)法”，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問題

3、的方法。 利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷 由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公 式(或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法三、對(duì)迭代過程進(jìn)行控制。 在什么時(shí)候結(jié)束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問 題。不能讓迭代過程無休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是 所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來；另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。對(duì)于前 一種情況，可以

4、構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過程的控制；對(duì)于后一種情況，需要 進(jìn)一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件。編寫計(jì)算斐波那契( Fibonacci )數(shù)列的第 n 項(xiàng)函數(shù) fib (n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當(dāng) n1 時(shí))。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n) if (n=0) return 0;if (n=1) return 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2);一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子， 這種兔子從出生的下一個(gè)月開始， 每月新生一只

5、兔子，新生的兔子也如此繁殖。 如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共 有兔子多少只？分析： 這是一個(gè)典型的遞推問題。 我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u 2 ，第3個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u 3,根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開始，每月新生一只兔子”，則有u 1 = 1 , u 2 = u 1+ u 1 X 1 = 2 , u 3 = u 2+ u 2 X 1 = 4 ,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞x=1推公式：for i=2 to 12u n = u n 1 X 2 (n 2)y=x*2對(duì)應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩x

6、=y個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞next i推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：print yy=x*2end x=y讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：cls分而治之法1、分治法的基本思想任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N 有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例 如，對(duì)于 n 個(gè)元素的排序問題，當(dāng) n=1 時(shí)，不需任何計(jì)算； n=2 時(shí)，只要作 一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，。而當(dāng) n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng) 困難的。分

7、治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些 規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：(1 )該問題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決；(2) 該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；(3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；(4) 該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不 包含公共的子子問題。3 、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：(1) 分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題 形式相同的子問題；(2) 解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決

8、則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題；（3）合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解?？焖倥判蛟谶@種方法中， n 個(gè)元素被分成三段（組） ：左段 l e f t ，右段 r i g h t 和 中段 m i d d l e 。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素， 右段中各元素都大于等于中段元素。因此 l e f t 和 r i g h t 中的元素可以獨(dú) 立排序，并且不必對(duì) l e f t 和 r i g h t 的排序結(jié)果進(jìn)行合并。 m i d d l e 中的元素被稱為支點(diǎn) （ p i v o t ）。圖 1 4 - 9 中給出了快速排序的偽代碼。/ / 使用快速排序方法對(duì) a

9、0 :n- 1 排序從 a 0 :n- 1 中選擇一個(gè)元素作為 m i d d l e ，該元素為支點(diǎn) 把余下的元素分割為兩段 left 和 r i g h t ，使得 l e f t 中的元素都小 于等于支點(diǎn)，而 right 中的元素都大于等于支點(diǎn)遞歸地使用快速排序方法對(duì) left 進(jìn)行排序 遞歸地使用快速排序方法對(duì) right 進(jìn)行排序 所得結(jié)果為 l e f t + m i d d l e + r i g h t考察元素序列 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 。假設(shè)選擇元素 6 作為支點(diǎn)，則 6 位于 m i d d l e ；4，3，1，5，2位于 l e f

10、 t ；8，7位于 r i g h t 。當(dāng) left 排好序后，所得結(jié)果為 1，2，3，4，5；當(dāng) r i g h t 排好序后，所 得結(jié)果為 7，8。把 right 中的元素放在支點(diǎn)元素之后， l e f t 中的元素放在 支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。把元素序列劃分為 l e f t 、 m i d d l e 和 r i g h t可以就地進(jìn)行（見程序 1 4 - 6 ）。在程序 1 4 - 6 中，支點(diǎn)總是取位置 1 中的元素。也可以采用 其他選擇方式來提高排序性能，本章稍后部分將給出這樣一種選擇。程序 14-6 快速

11、排序未發(fā)現(xiàn)對(duì)左對(duì)右templatevoid QuickSort(T*a, int n)/ 對(duì) a0:n-1 進(jìn)行快速排序/ 要求 an 必需有最大關(guān)鍵 值quickSort(a, 0, n-1);templatevoid quickSort(T a, int l, int r)/ 排序 a l : r ， ar+1 有 大值if (l = r) return;int i = l, /從左至右的游標(biāo)j = r + 1; / 從右到左的游標(biāo)T pivot = al;/ 把左側(cè) = pivot 的元素與右側(cè) = pivot 的元素i = i + 1; while (a pivot);do / 在右側(cè)

12、尋找 pivot);if (i = j) break; / 交換對(duì)象Swap(a, aj);/ 設(shè)置 p i v o tal = aj;aj = pivot;quickSort(a, l, j-1); / 段排序quickSort(a, j+1, r); / 段排序貪婪法它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一 定 標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策； 決策一旦作出， 就不可再更改。 制定決策的依據(jù)稱為 貪婪準(zhǔn)則。 貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可 以快速得到滿意的解， 因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大 量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情

13、況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇， 而不考慮各種可能的整體情況， 所以貪婪法不要回溯?！締栴}】 背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品 n 件，求從這 n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使 選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。#includevoid main()int m,n,i,j,w50,p50,pl50,b50 ,s=0,max;prin tf(輸入背包容量 m,物品種類 n :);scanf(%d %d,&m,&n); for(i=1;i=n;i=i+1)printf(輸入物品的重量 W和價(jià)值 P :);scanf(%d %d,&wi,&pi); pli=pi

14、; s=s+wi; if(s=m)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想printf(whole choosen);/return;for(i=1;i=n;i=i+1)max=1;for(j=2;jplmax/wmax) max=j; plmax=0; bi=max;for(i=1,s=0;sm&i=n;i=i+1)s=s+wbi;if(s!=m)wbi-1=m-wbi-1;for(j=1;j=i-1;j=j+1)printf(chooseweight %dn,wbj);前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)， 我們將前文所說的具有明顯的階段劃 分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為 標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃 ，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研

15、究多 階段決策問題時(shí)推導(dǎo)出來的， 具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式， 適合用于理論上的分析。 在 實(shí)際應(yīng)用中， 許多問題的階段劃分并不明顯， 這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻 煩。一般來說， 只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題， 并且原問題的最優(yōu)解 中包含了子問題的最優(yōu)解 （即滿足最優(yōu)子化原理） ，則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是 分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃 是一種將問題實(shí)例分解 為更小的、相似的子問題， 并存儲(chǔ)子問題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問題， 以解決 最優(yōu)化問題的算法策略。由此可知， 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似， 它們都是將問題實(shí)例歸納為更小 的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)

16、生一個(gè)全局最優(yōu)解。貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇， 但不依賴于有待于做出的選 擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇； 而分治法中的各個(gè)子問題是獨(dú)立的（即不包含公共的子問題） ，因此一旦遞歸地 求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。不足之處： 如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時(shí)， 則難以通過局部的貪心策略 達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作， 重復(fù)地解公共的子問題。解決上述問題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。 該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題， 這類問題 會(huì)有多種可能的解， 每個(gè)解都有一個(gè)值， 而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu) （最

17、大或最?。?值的解。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過程中， 該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解， 但與分治法和貪心法不同 的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨(dú)立， （亦即各子問題可包含公共的子問題） 也允許其通過自身子問題的解作出選擇， 該方法對(duì)每一個(gè)子問題只解一次， 并將 結(jié)果保存起來，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。 因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問題有一個(gè)顯著的特征， 即它所對(duì)應(yīng)的子問題樹中的 子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于， 對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問題， 只 在第一次遇到時(shí)加以求解， 并把答案保存起來， 讓以后再遇到時(shí)直接引用， 不必 重新求解。3、動(dòng)態(tài)

18、規(guī)劃算法的基本步驟 設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行：（1）劃分階段：按照問題的時(shí)間或空間特征，把問題分為若干個(gè)階段。注意這 若干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的（即無后向性） ，否則問題就無法用 動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。（2）選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài) 表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。（3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和 狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階 段的狀態(tài)。 所以，如果我們確定了決策， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。 但事實(shí)上， 我們常常是反過來做，根據(jù)相

19、鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。（ 4）寫出規(guī)劃方程 （包括邊界條件）：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形 式化表達(dá)式。一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)， 一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。 根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì) 算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下： 標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架1.?對(duì)fn+1（Xn+1）初始化；? 邊界條件for k:=n downto 1 dofor 每一個(gè) Xk Xk dofor 每一個(gè) Uk Uk（x k） dobeginf k（X k）:= 一個(gè)極值;

20、？?？ %或xk+1:=T k（x k,u k）;? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 t:= （f k+i（x k+i）,v k（x k,u k）;? 基本方程（9）式if? t 比 f k（x k）更優(yōu) then f k（x k）:=t; 計(jì)算 fk（Xk）的最優(yōu)值end;t：= 一個(gè)極值;?？ x或x for 每一個(gè) xi X doif f 1（x 1）比t更優(yōu)then t:=f 1（x 1）;? 按照10式求出最優(yōu)指標(biāo) 輸出 t;但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃， 而是按以下幾個(gè) 步驟進(jìn)行：（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。（2）遞歸地定義最優(yōu)值。（3）以自底向上的方式或自頂

21、向下的記憶化方法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。步驟（1）（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步 驟（4）可以省略，若需要求出問題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（ 3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（ 4）中，根 據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解。總結(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問題， 是指將原問題的大實(shí)例等價(jià)于同一最 優(yōu)化問題的較小實(shí)例， 自底向上的求解最小實(shí)例， 并將所求解存放起來， 存放的 結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。 與遞歸相比， 遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解， 是自頂向 下的調(diào)用和求解

22、?；厮莘? 回溯法也稱為試探法， 該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制， 并 將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)， 就選擇下一個(gè)候選解； 倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外， 滿足所有 其他要求時(shí)， 繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模， 并繼續(xù)試探。 如果當(dāng)前候選解滿足包 括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)， 該候選解就是問題的一個(gè)解。 在回溯法中， 放棄 當(dāng)前候選解， 尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。 擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模， 以繼 續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P,通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由 n元組（X1, X2,， xj組成的

23、一個(gè)狀態(tài)空間 E= （X1, X2,，xjl Xi S , i=1 , 2,，n，給 定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集 D,要求E中滿足D的全部約束條件的 所有n元組。其中S是分量Xi的定義域，且|Si|有限，i=1 , 2,，n。我們 稱E中滿足D的全部約束條件的任一 n元組為問題P的一個(gè)解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否 滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大 的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（X1, X2, Xi）滿足D中僅涉及到X1, X2,，Xi的所有約束意味著j （ji ）元

24、組（X1, X2, Xj） 定也滿足D中僅涉及到X1, X2,，Xj的所有約束，i=1 , 2,，n。換句 話說，只要存在OW j j。因 此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P, 旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（Xi, X2,， Xj）違反D中僅涉及Xi, X2,，Xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（Xi, X2,， Xj）為前綴的任何n元組（Xi, X2,，Xj, Xj+i，Xn）都不會(huì)是問題P的解， 因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的 上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T, 把在E中求問題P的所有

25、解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索 樹，它可以這樣構(gòu)造：?設(shè) S 中的元素可排成 Xi,Xi，Xi（mi-i） , |Si| =mi , i=i , 2,， n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有m個(gè)兒子。這m個(gè)兒子到它們的 雙親的邊,按從左到右的次序,分別帶權(quán) Xi+i（i） ,Xi+i（2） , , Xi+i（mi） ,i=0,i, 2,，n-i。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（Xi, X2,，Xn）對(duì)應(yīng)于T 中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的 n條邊的權(quán)分別為Xi, X2,，Xn,反之亦然。另外，對(duì)于任意的 Ow i n-i , E中n元組（Xi,

26、X2,， Xn）的一個(gè)前綴I元組（Xi, X2，Xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根 到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為Xi, X2,，Xi，反之亦然。 特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。? ?因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求 從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的 n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)Xi, X2,，Xn滿 足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從 根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴 i 元組（xii）、前綴2元組（Xi, X2）、，前綴I元組（Xi, X2,，Xi）,，

27、直到i=n 為止。?在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題 P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè) 結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題 P的一個(gè) 解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題 P 的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題 P的一個(gè)解?！締栴}】 n 皇后問題問題描述：求出在一個(gè)nxn的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象 棋“皇后”的所有布局。這是來源于國(guó)際象棋的一個(gè)問題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線 4 個(gè)方向 相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第 4 行第 3列位置上，則棋盤上凡打 “X”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。i 23 4 5

28、 67 8XXXXXXXXXX QXXXXXXXXXXXXXxX從圖中可以得到以下啟示： 一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、 每行上只有一個(gè)皇 后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置 第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置， 希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有 n 種配置。開始時(shí)配置在第 1 行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也 找不到一個(gè)合理的配置時(shí)， 就要回溯， 去改變前一列的配置。 得到求解皇后問題 的算法如下：輸入棋盤大小值 n；m=0;good=1;do if (g

29、ood)if (m=n)輸出解；改變之，形成下一個(gè)候選解 ;else擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；else改變之，形成下一個(gè)候選解；good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0);在編寫程序之前， 先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 比較直觀的方法是采用一 個(gè)二維數(shù)組， 但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)， 這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性 帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。 對(duì)于本題來說，“常 用信息”并不是皇后的具體位置， 而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合 理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組( col)，值coli表示在棋盤第i列、coli行有一

30、個(gè)皇后。例如：col3=4 ， 就表示在棋盤的第 3列、第 4行上有一個(gè)皇后。 另外，為了使程序在找完了全部 解后回溯到最初位置，設(shè)定 col0 的初值為 0 當(dāng)回溯到第 0列時(shí)，說明程序已 求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作 數(shù)組：(1)數(shù)組a ，ak表示第k行上還沒有皇后；( 2)數(shù)組 b ， bk 表示第 k 列右高左低斜線上沒有皇后；( 3)數(shù)組 c ， ck 表示第 k 列左高右低斜線上沒有皇后；棋盤中同一右高左低斜線上的方格， 他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同； 同一左 高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。初始時(shí)，所有行和斜線

31、上均沒有皇后， 從第 1 列的第 1 行配置第一個(gè)皇后 開始，在第m列colm行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第 m+1列時(shí)，在 數(shù)組 a、b和c中為第m列，colm行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第 m 列回溯到第 m-1 列，并準(zhǔn)備調(diào)整第 m-1 列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組 a、 b 和 c 中設(shè)置的關(guān)于第 m-1 列， colm-1 行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，colm行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組 a 、b和c 置的值都為 1 來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：【程序】# include# include# define MAXN 20int n,m,good;int colMAXN+1,aMA

32、XN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void main() int j;char awn;printf( “Enter n:“); scanf(“%d”,&n);for (j=0;j=n;j+) aj=1;for (j=0;j=2*n;j+) cbj=cj=1;m=1; col1=1; good=1; col0=0;do if (good)if (m=n) printf(“列 t 行” );for (j=1;j=n;j+)printf( “%3dn”,j,colj);printf( “Entera character (Q/q” n”);scanf( “%c”,&awn);if

33、(awn= Q|awn= q) exit(0);while (colm=n) m-;acolm=bm+colm=cn+m-colm=1;colm+;else acolm=bm+colm=cn+m-colm=0;col+m=1;else while (colm=n) m-;acolm=bm+colm=cn+m-colm=1;colm+;good=acolm&bm+colm&cn+m-colm;對(duì)應(yīng)位for while (m!=0);試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù) queen_all() 和函數(shù) queen_one() 能分別用來解皇后問題的全部解和一個(gè)解?！境绦颉? i

34、nclude# include# define MAXN 20int n;int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void main() int j;printf( “Enter n:“); scanf( “%d”,&n);for (j=0;j=n;j+) aj=1;for (j=0;j=2*n;j+) cbj=cj=1;queen_all(1,n);void queen_all(int k,int n) int i,j;char awn;for (i=1;i=n;i+)if (ai&bk+i&cn+k-i) colk=i;ai=bk+i=cn+k-

35、i=0;if (k=n) printf(“列 t 行”);for (j=1;j=n;j+)printf( “%3dn”,j,colj);printf( “Entera character (Q/q for” n”);scanf( “%c”,&awn);if (awn= Q|awn= q) exit(0);queen_all(k+1,n);ai=bk+i=cn+k-i;采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同， 在找一個(gè)解的算法中， 遞歸 算法要對(duì)當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。 當(dāng)它成為最終解時(shí)， 遞歸函數(shù) 就不再遞歸試探， 立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。 設(shè)函數(shù) queen_one

36、() 返回 1 表示找到解，返回 0 表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。【程序】# define MAXN 20int n;int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;int queen_one(int k,int n) int i,found; i=found=0; While (!found&i i+;if (ai&bk+i&cn+k-i) colk=i; ai=bk+i=cn+k-i=0; if (k=n) return 1; else found=queen_one(k+1,n);ai=bk+i=cn+k-i=1; return foun

37、d; 分支定界法： 分支限界法： 這是一種用于求解組合優(yōu)化問題的排除非解的搜索算法。 類似于回溯法， 分枝定 界法在搜索解空間時(shí)， 也經(jīng)常使用樹形結(jié)構(gòu)來組織解空間。 然而與回溯法不同的 是，回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹結(jié)構(gòu)， 而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小 耗費(fèi)方法來搜索這些樹。 因此，可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。 相 對(duì)而言，分枝定界算法的解空間比回溯法大得多， 因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)， 回溯 法成功的可能性更大。算法思想：分枝定界( branch and bound )是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法， 它與回溯法的主要區(qū)別在于對(duì) E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī) 會(huì)

38、變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)镋-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá) 的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出(最優(yōu))可行解的節(jié)點(diǎn)， 其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充， 直到找到解或活動(dòng)表為空， 擴(kuò)充過程才結(jié) 束。有兩種常用的方法可用來選擇下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)(雖然也可能存在其他的方法)：1) 先進(jìn)先出( F I F O ) 即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相 同，因此活節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。2) 最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。 如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)

39、點(diǎn)表可用最小堆來建立，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解， 則可用最大堆來構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表， 下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn) 裝載問題 用一個(gè)隊(duì)列Q來存放活結(jié)點(diǎn)表，Q中 weight表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)weight = 1時(shí)，表示隊(duì) 列已達(dá)到解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的尾 部。算法首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左 兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則 將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其 右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中 ( 右 兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn) )。 2 個(gè)兒子 結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出 作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一

40、 層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記 -1 ，故 在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不 空。當(dāng)取出的元素是 -1 時(shí)，再判斷當(dāng) 前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則 將尾部標(biāo)記 -1 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法 開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。 /* 該版本只算出最優(yōu)解 */ #include #include struct Queue int weight ; struct Queue* next ;int bestw = 0 ; / 目前的最優(yōu)值 Queue* Q; / 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 Queue* lq = NULL ; Queue* fq = NULL ; int Add(int w) Queue* q ; q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue) ; if(q =NULL)printf( 沒有足夠的空間分配 n) ;return 1