非線性方程求根及其MATLAB實現(xiàn)PPT精品文檔

1、1,分類數(shù)學實驗之,方程求近似實根問題,2,考慮方程 f (x) = 0 求根分為兩步： （）先確定某個根的近似值； （）再將初始近似值加工成滿足精度要求的結果,兩分法迭代（理論基礎：零點定理,設f (x)Ca, b，f (a)f (b) 0。區(qū)間(a, b)就是方程 根的存在區(qū)間，再用下面的方法改善根的精度,方程求根數(shù)值算法的基本思想,取a, b的中點x0=(a+b)/2，若f (x0)=0，則x0即是根,否則，f (a)f (x0) 0，令a1 = a，b1 = x0(取a, b的左半部,f (x0)f (b) 0，令a1 = x0，b1 = b(取a, b的右半部,3,a,b,f(a)

2、f(a+b)/2,f(b,f(x,x,y,4,將上述做法重復n次，得到n個小區(qū)間，且 bn-an = (b-a)/2n ， a, b,兩分法迭代,當n足夠大時即可達到滿意的精度,5,例1 求方程 x 3 + 1.1x 2 + 0.9x 1.4 = 0 的一個實根。使誤差不超過10-3,兩分法迭代,解：（）首先觀測圖形，作f(x)的圖像,ezplot(x3 + 1.1*x2 + 0.9*x- 1.4,x=-1:0.01:1; y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4; %函數(shù)表達式 figure; plot(x,y,LineWidth,2) %畫出圖形 hold on; y1=zero

3、s(size(x); %y10 plot(x,y1,r,LineWidth,4,6,bisect.m 關于此程序的解釋見“方程求根的代碼解釋”一文,按兩分法的思想，進行迭代求根,為了使得程序具有通用性，將方程的表達式寫成 一個函數(shù),function y=myequation(x); y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4,這樣修改y的表達式，即可求出其他方程的實根,3）運行二分法的程序,7,兩分法迭代的加速,a,b,f(a) f(a+b)/2,f(b,f(x,x,y,c,以f(a),f(b)的連線在x軸的交點作為新的出 發(fā)點。但此方法不一定能真正加速。 原理請詳見教材p191,程序

4、：fastbisect.m,8,不動點迭代,稱滿足方程 f(x)=x的點x為函數(shù)f的不動點. 求函數(shù)f的不動點?？梢詮囊粋€初始點x0出發(fā)，以格式 xn+1=f(xn)進行迭代； x1 =f(x0)，x2 =f(x1)，xk+1 =f(xk)， 得到x0,x1,x2,xn,. 如果該數(shù)列是收斂的，則,9,將方程 f (x) = 0 化為等價方程 x =(x) （2） 取某個定數(shù)x0，做數(shù)列xn，其中， x1 =(x0)，x2 =(x1)，xk+1 =(xk)， （3） 設(x)連續(xù)，且,a就是方程f (x) = 0的根,a就是函數(shù)的一個不動點，即 a =(a,等價于 f (a) = 0,10,y

5、=f(x,x0,f(x0,x1= f(x0,f(x1,x2= f(x1,y=x,x,收斂的迭代,11,發(fā)散的迭代,x0,12,不動點迭代,解：可將方程寫成下三種形式,x = 14 x 2,function f=iterfun(x) % f=14-x.2; % f=14./(x+1); f=x-(x.2+x-14)./(2*x+1,1)將三種迭代形式寫成函數(shù)存起來,2)演示程序 使用的程序：iter.m,13,不動點迭代,收斂性蛛網(wǎng)圖,一般地，若函數(shù)(x)在含不動點的某鄰域內一階導 數(shù)連續(xù)，且,則存在一個鄰域：|-x|，對任何的x0， 其迭代序列必收斂,高級例子iterexample2.m請同學

6、們自己消化,14,3.牛頓迭代法,記a, b為方程 f (x) = 0的根的存在區(qū)間， f (a)與f (b)異號，且對于每個xa, b， f (x)0,f (x)保持符號不變,取x0a, b，對f (x)用微分中值定理，近似地，有 f (x)p (x) = f (x0) + f (x0)(x - x0,令p (x) = 0，得到f (x) = 0的近似根,記為x1,為改善根的精確程度，反復實施這一過程，得到牛頓迭代公式,15,xk+1就是從線性方程 f (xk) + f (xk)(x xk) = 0 (1) 中解得的根x,以點(xk , f (xk)為切點，曲線y = f (x)的切線 y

7、= f (xk) + f (xk)(x xk) (2,方程（2）與 y=0相聯(lián)立，得到與x軸的交點，該交點 即xk+1,16,x,x0,x0,f(x0,x1,x1,f(x1,x2,17,例3 求方程,在 x0 = 2附近的近似實根。 準確到小數(shù)點后4位數(shù)字,解,迭代公式為,計算步驟如下,1）選x0=2,按照迭代公式計算x1； （2）若|x1-x0|=0.00001,終止迭代；否則，x0=x1;轉（1）； （3）輸出迭代次數(shù)和近似根,18,編程步驟如下,1）寫函數(shù),function fun,dfun=fun0(x) fun=x3-3*x-1;%求原函數(shù)的值 dfun=3*x2-3;%求一階導數(shù)的值,2）寫牛頓迭代法的程序,x0=2; fun,dfun=fun0(x0); x1=x0-fun/dfun;i=1; while abs(x1-x0)0.00001 x0=x1