基與正交基特征值與特征向量課件

1、基與正交基特征值與特征向量,1,時間： 年 月 日；星期,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,2,友 情 提 示,本次課講第五章第一、二節(jié)，向量組的內(nèi)積與正交，特征值概念 下次課講第五章第二三節(jié)，特征值，相似矩陣與對角化 下次上課時交作業(yè)P4142,基與正交基特征值與特征向量,3,2.結(jié)論1：任何 n 個線性無關(guān)的 n 維向量都是向量空間 Rn 的一個基，由此可知 Rn 的維數(shù)為 n,分析：因為任意n1個n維向量線性相關(guān)，所以按照線性相關(guān)的線性表示定理，任意一個無關(guān)向量以外的n維向量都能由這n個線性無關(guān)的n維向量線性表示。顯然，n個無關(guān)向量可自身表示，故以上結(jié)論

2、成立,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,4,4.向量由基線性表示的系數(shù)坐標,3.過渡矩陣概念,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,5,例4: 設(shè),驗證 是 R3 的一個基，并求 在這個基中的坐標,解,第十二講：方程組解的解構(gòu)與向量空間,基與正交基特征值與特征向量,6,且,第十二講：方程組解的解構(gòu)與向量空間,基與正交基特征值與特征向量,7,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,8,ii,iii,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,9,第十二講：基與正交基，特征值與特征向

3、量,基與正交基特征值與特征向量,10,2.齊次性,3.三角不等式,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,11,1.正交向量組的概念的引入,由此可得,向量的內(nèi)積滿足施瓦茨不等式,特殊地：零向量與任何向量都正交,2）正交向量組定義：如果向量組向量兩兩正交，則稱為正交向量組,三、向量的正交與正交基,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,12,2.正交向量組的性質(zhì)（無關(guān)性,即,同理可得,因此向量組 線性無關(guān),第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,13,3.如何求與已知向量組正交的向量（組,4.正交基,1）正交基的

4、定義：用正交向量組作向量空間的基，稱為向量空間的正交基,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,14,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,15,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,16,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,17,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,而且，由正交化過程，顯然A、B兩組向量可互相線性表示,基與正交基特征值與特征向量,18,再把 單位化,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,19,例2 已知 求一組非零向量 使

5、兩兩正交,解,都應(yīng)滿足方程,即,得基礎(chǔ)解系,取,及,及,把基礎(chǔ)解系正交化,取,即為所求,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,20,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,21,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,22,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,23,亦即,第十二講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,24,正交矩陣的性質(zhì),第十二 講：基與正交基，特征值與特征向量,基與正交基特征值與特征向量,25,四、特征值與特征向量的概念 1.定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，如果 和 n 維非零列向量 x 使關(guān)系式,1,成立，那么稱數(shù) 為方陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應(yīng)于特征值 的特征向量,注意：定義的幾個要點 （1） A 是 n 階矩陣，即方陣 （2）特征值 是數(shù)， （3）特征向量x 是非零向量,2.如何求特征值與特征向量 （1）特征值的求法,第十二講：基與正交基，特征值與特