4非線性方程組的數(shù)值解法

1、6.4 非線性方程組的數(shù)值解法,6.4.3非線性方程組的Newton法,6.4.2 非線性方程組的Newton法,6.4.1 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法,1.2,學(xué)習(xí)目標(biāo),設(shè)含有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程的非線性方程組為 (6,4,1) 其中 為n維列向量,6.4.1 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法,中至少有一個(gè)是x的非線性函數(shù)，并假設(shè)自變量和函數(shù)值都是實(shí)數(shù)。多元非線性方程組(6.4.1)與一元非線性方程f(x)=0具有相同的形式，可以與一元非線性方程并行地討論它的迭代解法。例如不動(dòng)點(diǎn)迭代法和Newton型迭代法。但是，這里某些定理的證明較為復(fù)雜，我們將略去其證明,把它寫成等價(jià)形式,函數(shù)也稱映射，若函數(shù)

2、 的定義域?yàn)?，則可用映射符號(hào) 簡便地表示為 。為了討論不動(dòng)點(diǎn)迭代法（6.4.3）的收斂性，先定義向量值函數(shù)的映內(nèi)性和壓縮性,定理6.7（Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理）若 在有界凸集 上連續(xù)并且映內(nèi)，則 在內(nèi) 存在不動(dòng)點(diǎn),定理6.8（壓縮映射定理）設(shè)函數(shù) 在閉集 上是映內(nèi)的，并且對(duì)某一種范數(shù)是壓縮的，壓縮系數(shù)為L，則（1） 在 上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn) 。 （2）對(duì)任何初值 迭代法（6.4.3）生成的序列 且收斂到 ，并且有誤差估計(jì)式,證：首先容易算出，對(duì)于任何 ，都有 因此，迭代函數(shù) 在 上是映內(nèi)的。進(jìn)而，對(duì)于任何 都有,定義6.4 設(shè) 為 的不動(dòng)點(diǎn)，若存在 的一個(gè)領(lǐng)域 ，對(duì)一切 ， 由（6.4.3）

3、式產(chǎn)生的序列 且 ，則稱 具有局部收斂性,得知 ，從而有 。于是，由定義6.4知 迭代法（6.4.3）在點(diǎn) 處局部收斂。定理得證。 與單個(gè)方程的情形類似，有時(shí)可以用關(guān)于導(dǎo)數(shù)的條件代替壓縮條件來判別收斂性,定理6.10 設(shè) ， 在D內(nèi)有一不動(dòng)點(diǎn) ，且 在 處可導(dǎo)，且譜半徑 ，則迭代法（6.4.3）在點(diǎn) 處局部收斂，其中，函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為Jacobi矩陣（見*式） 利用譜半徑與范數(shù)的關(guān)系 ，我們可用 代替定理6.10中的條件,*,例如，對(duì)于例6.11有 對(duì)于例6 .12所取的區(qū)域 的不動(dòng)點(diǎn) 在它的內(nèi)部。容易驗(yàn) 證，在 上有 ，因此，迭代法（6.4.5）在點(diǎn) 處局部收斂,對(duì)于非線性方程組，也可以構(gòu)造類似于一元方程的Newton迭代法。設(shè) 是方程組（6.4.1）的解， 是方程組的一個(gè)近似解。用點(diǎn) 處的一階Taylaor展開式近似每一個(gè)分量函數(shù)值 ，有,6.4.2 非線性方程組的Newton法,例6.13 用Newton法解例6.11的方程組（6.4.4） 解 對(duì)該方程組有 取初始向量 ，解方程組 ，即,關(guān)于Newton法的收斂性，有下面的局部收斂性定理,定理6.11 設(shè) ， 滿足 。若有 的開鄰域 ， 在其上連續(xù)， 可逆，則,其中的參數(shù) 稱為阻尼因子， 稱為阻尼項(xiàng)，解出 后，令 。加進(jìn)阻尼項(xiàng)的目的，是使