數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題答案

1、數(shù)字信號(hào)處理,習(xí)題解答,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),2 給定信號(hào)： 2n+54n160n40 其它(1) 畫(huà)出x(n)序列的波形， 標(biāo)上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫(huà)出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫(huà)出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫(huà)出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4,x(n),第1章

2、 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 畫(huà)出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 畫(huà)出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫(huà)x3(n)時(shí)， 先畫(huà)x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示,題2解圖（一,題2解圖（二,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),題2解圖（三,題2解圖（四,3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期,1,解： （1） 因?yàn)?, 所以, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14,第1

3、章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) 解： （1） 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n) 故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng),第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),因?yàn)?y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2) a Tx1(n)=a

4、x1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) bTx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng),第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說(shuō)明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng),7 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7

5、圖所示， 要求畫(huà)出y(n)輸出的波形,題7圖,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) =x(m)h(nm,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法（二）采用解析法。 按照題7圖寫(xiě)出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)

6、+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2) 將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),8. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由R4(m)

7、和R5(nm)確定y（n）對(duì)于m的非零區(qū)間如下: 0m3 n4mn 根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解：,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),n7時(shí)， y(n)=0,最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如題8解圖（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) = 2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（2）所示,y(n),題8解圖（1,題8解圖（2,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5nR5(m)0.5mu(nm) y（

8、n）對(duì)于m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時(shí)， y(n)=0 0n4時(shí)， =(10.5n1)0.5n=20.5n,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),n5時(shí),最后寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5,13 有一連續(xù)信號(hào)xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采樣間隔T=0.02 s對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 試寫(xiě)出采樣信號(hào) 的表達(dá)式； （3） 畫(huà)出對(duì)應(yīng) 的時(shí)域離散信號(hào)（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期為,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系

9、統(tǒng),2,3） x(n)的數(shù)字頻率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2) 畫(huà)出其波形如題13解圖所示,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),題13解圖,14. 已知滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為,1） 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)； （2） 如果輸入信號(hào)波形如題14圖所示，試求出y(n)并畫(huà)出它的波形。 解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),2） 已知輸入信號(hào)， 用卷積法求輸出。 輸出信號(hào)y(n)為,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過(guò)程。 計(jì)算時(shí)， 表中x(k)不動(dòng)， h(k)

10、反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著n的加大向右滑動(dòng)， 每滑動(dòng)一次， 將h(nk)和x(k)對(duì)應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動(dòng)平均”清楚地表明了這種計(jì)算過(guò)程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說(shuō)明滑動(dòng)平均濾波器可以消除信號(hào)中的快速變化， 使波形變化緩慢,題14圖,第1章 時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng),第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運(yùn)算或工作： （1,4) 確定并畫(huà)出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n,解(1,4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列

11、的共軛對(duì)稱(chēng)部分， 即,題15圖,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,按照上式畫(huà)出xe(n)的波形如題5解圖所示,題15解圖,6 試求如下序列的傅里葉變換,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,解：(2,8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)序列xe(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)序列xo(n)， 并分別用圖表示。,解,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,題8解圖,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散

12、信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫(xiě)出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫(xiě)出和x(n)的表達(dá)式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解:(1,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2,3,式中,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,式中 0=0T=0.5 rad 上式推導(dǎo)過(guò)程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫(xiě)出它的傅里葉變換表示式,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,14 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2n u(n)(2) 2nu(n1

13、) (3) 2n u(n)(4) (n) (5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10,解(1,2,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,3,4) ZT(n)=1 0 |z| (5) ZT(n1)=z1 0|z| (6,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad,解(1,由z41=0， 得零點(diǎn)為,由z3(z1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

14、,零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消,題15解圖,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2,零點(diǎn)為,極點(diǎn)為,極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,16 已知,求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5,令,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0; n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ，

15、 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2)收斂域0.5|z|2,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2， x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1) 最后得到,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,3)收斂域z2,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2,n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極

16、點(diǎn)留數(shù)，c外無(wú)極點(diǎn)， 所以x(n)=0,最后得到,第3章 離散傅里葉變換,3 已知長(zhǎng)度為N=10的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示,題3解圖,第3章 離散傅里葉變換,14 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n0, 8n y(n)=0 n0, 20n 對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT， 即 X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19 Y(k)=DFTy(n) k=0, 1,

17、, 19 試問(wèn)在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么,解: 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長(zhǎng)度為27， f(n)長(zhǎng)度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為,第3章 離散傅里葉變換,只有在如上周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上， 才滿(mǎn)足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19,18 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號(hào)最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tma

18、x； (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。,第3章 離散傅里葉變換,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,2,3,4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍， 即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉?lái)的1/2,第4章 快速傅里葉變換,1 如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s， 每次復(fù)數(shù)加需要1 s， 用來(lái)計(jì)算N=1024點(diǎn)DFT， 問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間。 用FFT計(jì)算呢？照這樣計(jì)算， 用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)， 估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率,解:

19、 當(dāng)N=1024=210時(shí)， 直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為 N2=10241024=1 048 576次 復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為 N（N1）=10241023=1 047 552次 直接計(jì)算所用計(jì)算時(shí)間TD為 TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s 用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為,第4章 快速傅里葉變換,快速卷積時(shí)， 需要計(jì)算一次N點(diǎn)FFT（考慮到H(k)=DFTh(n)已計(jì)算好存入內(nèi)存）、 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點(diǎn)IFFT。 所以， 計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間Tc約為,所以， 每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速率,第4章 快速傅里葉變

20、換,應(yīng)當(dāng)說(shuō)明， 實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)， fmax還要小一些。 這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時(shí)， 重疊部分要計(jì)算兩次。 重疊部分長(zhǎng)度與h(n)長(zhǎng)度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時(shí)間,第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述,試分別畫(huà)出系統(tǒng)的直接型、 級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。,解： 將原式移項(xiàng)得,將上式進(jìn)行Z變換， 得到,第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（1）所示,題1解圖（1,2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解,第5章 時(shí)域離散系

21、統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu):,畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（2）所示,題1解圖（2,第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,3) 將H(z)進(jìn)行部分分式展開(kāi),第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,根據(jù)上式畫(huà)出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（3）所示,題1解圖（3,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),5 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下,1,2,試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 設(shè)T=2 s。 解: . 用脈沖響應(yīng)不變法,1,按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式， Ha(s)的極點(diǎn)為,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),將T=2代入上式， 得,2,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),或通分合并兩項(xiàng)得,用雙線性變換法 （1,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),2,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),8 題8圖是由RC組成的模擬濾波器， 寫(xiě)出其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)， 并選用一種合適的轉(zhuǎn)換方法， 將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)， 最后畫(huà)出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,解: 模擬RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)為,顯然， Ha(j)具有高通特性， 用脈沖響應(yīng) 不變法必然會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊失真。 所以應(yīng)選用雙線性變換法。 將Ha(j)中的j用s代替， 可得到 RC濾波網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù),題8圖,第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾