奧數(shù)：3-1-3多次相遇和追及問題-題庫

1、-3多次相遇和追及冋題h；-教學(xué)目標(biāo)1. 學(xué)會畫圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問題知識精講板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題所有行程問題都是圍繞路程二速度 時間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.【例1】（難度等級 甲、乙兩名同學(xué)在 周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每 秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑 4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到岀發(fā)點？【解析】 從開始到兩人第十次相遇的這段時間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場

2、周長的10倍，為300 10 =3000米，因為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內(nèi)甲共行了30003.5=1400米，也就 是甲最后一次離 開出發(fā) 點繼 續(xù)行了 200米，可 知甲還需行3.5+4300 -200 =100米才能回到出發(fā)點.【鞏固】 （難度等級 甲乙兩人在相距 90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他們同時分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？【解析】17【鞏固】（難度等級 甲、乙兩人從 400米的環(huán)形跑道上一點 A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿

3、跑道上的最短路程是多少米？【解析】176二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題【例2】（難度等級 探）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的 時候，離家恰好是 8千米，這時是幾點幾分？【解析】畫一張簡單的示意圖：4千米龜千米家*二1水明1爸爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4 = 4（千米）而爸爸騎的距離是 4+ 8 = 12 （千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的124= 3 （倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 （千米）.8

4、X3= 24 （千米）但事實上，爸爸少用了 8分鐘，騎行了 4 + 12= 16少騎行24-16 = 8 （千米）.摩托車的速度是8吒=1 （千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+ 8 + 16= 32.所以這時是8點32分?！纠?】（難度等級 探）甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離 A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求 A、B兩地間的距離是多少千米？【解析】畫線段示意圖（實線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線）:第1次相遇第2冼|fl遇可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共

5、行了三個A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95X3=285 （千米），而這 285千米比一個 A、B兩地間的距離多 25千米，可得：95X3-25=285-25=260（千米）.【鞏固】（難度級別 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離【解析】4X3=12千米，通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個全程多了回來那一段，就是距B地的3千米，所以全

6、程是12-3=9千米，所以兩次相遇點相距9- （ 3+4） =2千米?！眷柟獭浚y度等級 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離【解析】4千米【鞏固】（難度等級 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人第 5次相遇地點距 B多遠(yuǎn).【解析】12千米【鞏固】（難度等級 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地

7、同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時共走了多少千米【解析】90千米【鞏固】（難度等級 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第 2000次相遇地點與第 2001次相遇地點之間的距離.【解析】4千米【鞏固】（難度等級 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離 A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，

8、在距B地13千米處第二次相遇，求 AB兩地之間的距離.【解析】41千米【例4】（難度等級 探）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反 的方向繞此圓形路線運(yùn)動，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長.【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完-圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時，甲乙2共走完1+- = 3圈的路程所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為1 : 3,因而第二次相2 2遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即100X3=300米有甲、乙第二次相遇時，共行走（1圈一60）+300，為3

9、圈，所以此圓形場地的周長為480米.2【鞏固】（難度等級 探）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在 A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在 C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米.求這 個圓的周長.【解析】360II【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇,在D點第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？【解析】340三、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程； 第2次相遇，共走3個全程;第3次相遇，共走5個全程;第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第

10、1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走 2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程；第2次相遇，共走4個全程；第3次相遇，共走6個全程；第N次相遇，共走2N個全程;3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差【例5】 小明和小紅兩人在長 100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒.他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？【解析】第一次相遇時，兩人共跑完了一個全程，所用時間為：100 （6 - 4） = 10（秒）此后，兩人每

11、相遇一次，就要合跑 2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了12 60 -10=710（秒）.求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù).列 式計算為：100 （6 4） 10（秒），（12 60-10） （10 2）35|10，共相遇 35*1=36（次）。注：解 決問題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長.【例6】 A、B兩地間有條公路，甲從 A地出發(fā)，步行到 B地，乙騎摩托車從 B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問:當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙追上甲幾次？【解

12、析】甲AFEB第一次相遇第一次追上由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80 =20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段 AE的長度，即等于甲在（80 100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速 度是甲的9倍（=180“20），則BF的長為AF的9倍，所以，甲從A到B，共需走80 （9）=800 （分 鐘）乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個AB全程從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個AB全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘（=100 2）,所以，在甲從 A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有 4次追上甲，即在第 100分鐘，300分

13、鐘，500分鐘 和700分鐘.【例7】（難度等級 甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的-，二3人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地、乙到A地后立即返回已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米，那么， A、B兩地相距 千米.【解析】由于甲、乙的速度比是 2:3，所以在相同的時間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是2:3 第一次相遇時，兩人共走了一個 AB的長，所以可以把 AB的長看作5份，甲、乙分別走了 2份和3份；第 二次相遇時，甲、乙共走了三個 AB ,乙走了 2 3=6份；第三次相遇時，甲、乙共走了五個 AB , 乙走了 2 5=10份.乙第二次和第三次相距 10 6=4

14、 （份）所以一份距離為：100詔=25 （千米）， 那么A、B兩地距離為：5X25= 125 （千米）【鞏固】（難度等級 探）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地 3千米處相遇，第二次在距甲地 6千米處相遇（追上也算作相遇）, 則甲、乙兩地的距離為 .【解析】由于兩人同時出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以兩人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及.如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在A處相遇，第二次在 B處相遇由于第一次相遇時兩人合走 1個全程，小王走了 3千米；從第一次相遇到第二次

15、相遇，兩人合走2個全程，所以這期間小王走了 3 2=6千米，由于A、B之間的距離也是 3千米，所以B與乙地的 距離為（6 -3）-：-2 =1.5千米，甲、乙兩地的距離為 6 1.5 = 7.5千米；王AY李I(lǐng)*A甲1乙AB如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回， 在B處追上小王.在這個過程中，小王走了 6_3 = 3千米，小李走了 63 = 9千 米，兩人的速度比為 3:9 =1:3 所以第一次相遇時小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為9 3 =12千米.所以甲、乙兩地的距離為 7.5千米或12千米.【鞏固】（難度級別 探）A, B兩

16、地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A , B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？【解析】第一次相遇，甲乙總共走了 2個全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個全程，乙比甲快，相遇又在P點，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個P點到第二個P點，路程正好是第一次的路程。 所以假設(shè)一個全程為 3份，第一次相遇甲走了 2份乙走了 4份。 第二次相遇，乙正好走了 1份到B地，又返回走了 1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個全程里乙走了 （ 540完）X4=180用=720千米

17、，乙總共走了 720 X3=2160千米?！纠?】（難度級別 探）小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇， 在離乙村2千米處第二次相遇.問他們 兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？【解析】畫示意圖如下.3.53.5 X= 10.5 （千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5- 2 = 8.5 （千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3+ 2 + 2）倍的行程.其中張走了3.5 X = 24.5 （千米）

18、，24.5=8.5 + 8.5 + 7.5 （千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5- 7.5=1 （千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.四、解多次相遇問題的工具一一柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動過程中相遇的次數(shù)”，相遇的地點”，以及由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易?！纠?】（難度級別 探）每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開

19、往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途 中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？【解析】這就是著名的柳卡問題下面介紹的法國數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法.從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示圖中的每條線段分別表示每條船 的運(yùn)行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪 船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩

20、下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜.如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船.【鞏固】（難度級別 一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了 10輛迎面開來的電車. 到達(dá)甲站時,恰好又有一輛電車從甲站開出問他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】先讓學(xué)生用分析間隔的方式來解答：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是 15分鐘前發(fā)的車，此時第 4輛車正

21、從甲發(fā)出.騎車 中，甲站發(fā)出第 4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是 5 8=40 （分鐘）.再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運(yùn)行圖的方式來分析：第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.乙站 廿 00八O0& 口D o第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的 1號點與P點（注意：這兩點在水平方向上正好有3個間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過等分點作一簇與它平行的平行線表示從甲站開往乙站的電車.第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車人在途中遇到十輛迎面

22、開來的電車，那么從P點引出的粗線必須和 10條平行線相交，這正好是圖中從2號點至12號點引出的平行線.從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從P點到Q點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了5 8 =40 （分鐘）.對比前一種解法可以看出，采用運(yùn)行圖來分析要直觀得多！【例10】（難度級別 甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【解析】采用運(yùn)行圖來解決本題相當(dāng)精彩!首先，甲跑一個全程需 30亠1 =30 （秒），乙跑一個全程需30“ 0.6 =50 （秒）.與上題類似，畫運(yùn) 行圖如下（實線

23、表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）一個周期內(nèi)共有5次 相遇，其中第1, 2, 4, 5次是迎面相遇， 而第3次是追及相 遇.從圖中可以看出，當(dāng)甲跑 5個全程時，乙剛好跑 3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正 好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇了 5 4=20 （次）【例11】（難度等級 探）（2009年迎春杯復(fù)賽高年級組 ）A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處甲船從 A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá) A地后，都立即按原來路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果

24、兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒.【解析】本題采用折線圖來分析較為簡便.ADE如圖，箭頭表示水流方向，A： C_； E表示甲船的路線，B_； D_； F表示乙船的路線，兩個交點M、N就是兩次相遇的地點.由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是BC和DE的長度相同，AD和CF的長度相同.那么根據(jù)對稱性可以知道， M點距BC的距離與N點距DE的距離相等，也就是說兩次相遇地點 與A、B兩地的距離是相等的而這兩次相遇的地點相距20千米，所以第一次相遇時，兩船分別走了 100 -

25、20亠2= 40千米和100 一 40= 60千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹?0 : 40= 3:2而順?biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹?4“ 3 2 3 =12米/秒，那么兩船在靜水中的速度為12_2=10米/秒.【例12】（難度等級 探）A、B兩地相距1000米，甲從 A地、乙從B地同時出發(fā)，在A、B兩 地間往返鍛煉.乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時距 B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？【解析】甲、乙的運(yùn)行圖如上，圖中實現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點表示兩人相遇在30分鐘內(nèi)，兩人

26、共行了 （150 60） 30 6300 米，相當(dāng)于6個全程又300米，由圖可知，第 3次相遇 時距離 A地最近，此時兩人共走了3個全程，即1000 X3 =3000千米，用時3000- （ 150+60）=100/7 分鐘，甲行了 60 X00/7=6000/7 米, 相遇地點距離 B地1000-6000/7 :- 143米.【鞏固】（難度等級 探）A、B兩地相距950米甲、乙兩人同時由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時.甲步行，每分鐘走 40米；乙跑步，每分鐘行 150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距 B地 最近？【解析】 半小時內(nèi)，兩人一共行走 （40 + 150） X30 =5700米，相當(dāng)于

27、 6個全程，兩人每合走2個全程就會有一次相遇，所以兩人共有 3次相遇，而兩人的速度比為 40 :150= 4 :15，所以相同時間 內(nèi)兩人的行程比為 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的2=，距離B地11/19個全程;15+419第二次相遇甲走了16/19個全程，距離 B地3/19個全程；第三次相遇甲走了24/19個全程，距離B地5/19個全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時距離B地最近.【鞏固】（2008年國際小學(xué)數(shù)學(xué)競賽）A、B兩地相距950m，甲、乙兩人同時從 A地出發(fā)，往返 A、B兩 地跑步90分鐘.甲跑步的速度是每分鐘40m ;乙跑步的速度是每分鐘150m .在這段時間內(nèi)他們面對面

28、相遇了數(shù)次，請問在第幾次相遇時他們離B點的距離最近？【解析】950 （150 40）5 （分鐘）甲、乙兩人合走一個全程需要5分鐘，每合走2個全程相遇一次，所以總共相遇90-：-（5 2） =9次.而甲每10分鐘走40 10 = 400 （ m ）并且與乙相遇一次，因為 950 3 -400 7 =50 （ m ）也就是當(dāng)甲、乙兩人第 7次相遇時甲離 B地50 m為最小，在第7次相 遇時他們離B點距離最近.【鞏固】（難度等級 探）A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑 240米，在30分鐘后停止運(yùn)動甲、乙兩人第幾次相遇時距 A地

29、最近？最近距離是多少？【解析】第二次，800米五、多次相遇問題一一變道問題【例13】（難度等級 探）（仁華入學(xué)試題）甲、乙兩車同時從同一點 A出發(fā)，沿周長6千米的圓形 跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛 55千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離A點有多少米？（每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）【解析】第一次是一個相遇過程，相遇時間為：6 - （65 55 0.05小時，相遇地點距離 A點：55 0.05 = 2.75 千米然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時間為：6亠（65 -55） =0.6小

30、時，乙車在此過程中走的路程為：55 0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時距離 A點3-2.75 = 0.25千米.此時甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離A點0.25 2.75 = 3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了 A點，并且行駛的方向與最開始相同.所以，每4次相遇為一個周期，而11“4=2川3，所以第11次相遇的地點與第 3次相遇的地點是 相同的，與A點的距離是3000米.【例14】（難度等級 下圖是一個邊長 90米的正方形，甲、乙兩人同時從A點出發(fā)，甲逆時針每分行75米，乙順時針每分行 45米.兩人

31、第一次在 CD邊（不包括C, D兩點）上相遇， 是出發(fā)以后的第幾次相遇？【解析】兩人第一次相遇需360-：-（75 ,45）=3分，其間乙走了 45 3=135 （米）.由此知，乙每走 135米 兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇（如圖，圖中數(shù)字表示該點相遇的次數(shù)）【例15】（難度等級 如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的 A點背向出發(fā)跑步。跑道右半部分（粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速 度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第 99次迎面相遇的地方距 A點還有米。A【解析】 本題中，由于甲、乙兩人

32、在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞 著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間 也就相同，所以，兩人同時出發(fā)，跑一圈后同時回到A點，即兩人在 A點迎面相遇，然后再從 A點出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期.在第一個周期內(nèi)，兩人同時出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個相遇點第三次相 遇，再回到出發(fā)點是第四次相遇可見奇數(shù)次相遇點都是途中相遇的地點，偶數(shù)次相遇點都是A點本題要求的是第99次迎面相遇的地點與 A點的

33、距離，實際上要求的是第一次相遇點與A點的距離.對于第一次相遇點的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時，乙才跑了 2008 4 =100米，此時兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此 時兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇時乙跑了 100 50=150米，這就是第一次相遇點與 A點的距離，也是第 99次迎面相遇的地點與 A點的距離.【例16】（難度等級 探）如圖，學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6米的速度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑，兩人同時從兩

34、跑道的交點 A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在AB右側(cè)的半跑道上相遇.易知小跑道上 AB左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米，大跑道上AB的左、右兩側(cè)的路程均 是200米.我們將甲、乙的行程狀況分析清楚.當(dāng)甲第一次到達(dá) B點時，乙還沒有到達(dá)B點,所以第一次相遇一定在逆時針的BA某處.而當(dāng)乙第一次到達(dá)B點時，所需時間為 200 4二50秒 ,此時甲跑了 6 50 =300米,在離B點300-200=100 米處.乙跑出小跑道到達(dá)A點需要100亠4 =25秒，則甲又跑了 6 25 =150米，在A點左邊（100 150） _ 200 =

35、50 米處.所以當(dāng)甲再次到達(dá) B處時，乙還未到B處，那么甲必定能在 B點右邊某處與乙第二次相遇.從乙再次到達(dá) A處開始計算,還需（400 一 50）“ （6 4）= 3秒,甲、乙第二次相遇，此時甲共跑了50 25 35=110 秒.所以，從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6 110=660米.【例17】（難度等級 探）下圖中有兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從 A點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當(dāng)小 圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？【解析】我們知道，大小圓只有一個公共點 （內(nèi)切），而在圓上最遠(yuǎn)的兩點為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲

36、蟲在 A點，另一只在過 A的直徑另一直徑端點 B,所以在小圓甲蟲跑了 n圈，在大圓甲蟲跑了 m+ 1圈；2于是小圓甲蟲跑了 30n,大圓甲蟲跑了 48（m+ -）= 48m + 242因為速度相同，所以相同時內(nèi)路程相同，起點相同，所以 30n = 48m + 24;即5n= 8m+ 4,有不定方程知識，解出有 n= 4, m = 2,所以小甲蟲跑了 2圈后，大小甲蟲相距最遠(yuǎn)?！纠?8】（難度等級 探）如圖所示，甲沿長為400米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓八字形跑步（圖中給出跑動路線的次序：1-2 3-4-1-川“）。如果甲、乙兩人同時從 A點出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒 3米和5米，問兩人第三次相遇的時間是出發(fā)后 秒。4【解析】 從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在A、B兩點處相遇（本題中，雖然在 B處時兩人都是順時針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及）從A到B，在大圓周上是半個圓周，即 200米；在小圓周上是整個小圓圓周，也是 200米兩人 的速度之比為3:5，那么兩人跑200米所用的時間之比為 5:3 設(shè)甲跑200米所用的時間為5個 時間單位，則乙跑 200米所用的時間為 3個時間單位.根據(jù)題意可知，1個時間單位為40.,200 十3“5秒.3可以看出，只有甲跑的時間是5個時間