2017 2018高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程二1橢圓的參數(shù)方程新人教A選修4 41

1、二,1,橢,圓,的,參,數(shù),方,程,把握熱點(diǎn)考向,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,講,理解教材新知,應(yīng)用創(chuàng)新演練,考點(diǎn)三,二,圓錐曲線的參數(shù)方程,橢圓的參數(shù)方程,1,中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在,x,軸上的橢圓,x,2,a,2,y,2,b,2,1,的參數(shù)方程,是,是參數(shù),規(guī)定參數(shù),的取值范圍是,_,1,橢圓的參數(shù)方程,0,2,x,a,cos,y,b,sin,2,中心在,h,k,的橢圓普通方程為,x,h,2,a,2,y,k,2,b,2,1,則其參數(shù)方程為,是參數(shù),x,h,a,cos,y,k,b,sin,例,1,已知實(shí)數(shù),x,y,滿足,x,2,25,y,2,16,1,求目標(biāo)函數(shù),z,x,2,y,的最大值與最小值,思路點(diǎn)撥,

2、將橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)方程的形式,將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值問題,橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用：求最值,解,橢圓,x,2,25,y,2,16,1,的參數(shù)方程為,x,5cos,y,4sin,為參數(shù),代入目標(biāo)函數(shù)得,z,5cos,8sin,5,2,8,2,cos,0,89cos,0,(tan,0,8,5,所以目標(biāo)函數(shù),z,min,89,z,max,89,利用橢圓的參數(shù)方程，求目標(biāo)函數(shù)的最大,小,值,通常是利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解,1,已知橢圓,x,2,25,y,2,16,1,點(diǎn),A,的坐標(biāo)為,3,0,在橢圓上找一,點(diǎn),P,使點(diǎn),P,與點(diǎn),A,的距離最大,解,橢圓的參數(shù)方程為,x,5cos,y,

3、4sin,為參數(shù),設(shè),P,5cos,4sin,則,PA,5cos,3,2,4sin,2,9cos,2,30cos,25,3cos,5,2,3cos,5,8,當(dāng),cos,1,時(shí),PA,最大,此時(shí),sin,0,點(diǎn),P,的坐標(biāo)為,5,0,橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：求軌跡方程,例,2,已知,A,B,分別是橢圓,x,2,36,y,2,9,1,的右頂點(diǎn)和上頂,點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn),C,在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求,ABC,的重心,G,的軌跡方程,思路點(diǎn)撥,由條件可知,A,B,兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，點(diǎn),C,在,橢圓上，故可設(shè)出點(diǎn),P,坐標(biāo)的橢圓參數(shù)方程形式，由三角形,重心坐標(biāo)公式求解,解,由題意知,A,6,0,B,0,3,由于動(dòng)點(diǎn),C,在橢圓

4、上運(yùn),動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn),C,的坐標(biāo)為,6cos,3sin,點(diǎn),G,的坐標(biāo)設(shè)為,x,y,由三角形重心的坐標(biāo)公式可得,x,6,0,6cos,3,y,0,3,3sin,3,即,x,2,2cos,y,1,sin,消去參數(shù),得到,x,2,2,4,y,1,2,1,本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題,的優(yōu)越性，運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單，運(yùn)算更簡便,2,已知橢圓方程是,x,2,16,y,2,9,1,點(diǎn),A,6,6,P,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),求線段,PA,中點(diǎn),Q,的軌跡方程,解,設(shè),P,4cos,3sin,Q,x,y,則有,x,4cos,6,2,y,3sin,6,2,即,x,2cos,3,y,3,2,sin

5、,3,為參數(shù),9,x,3,2,16,y,3,2,36,即為所求,3,設(shè),F,1,F,2,分別為橢圓,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,的左、右兩個(gè),焦點(diǎn),1,若橢圓,C,上的點(diǎn),A,1,3,2,到,F,1,F,2,的距離之和等于,4,寫出,橢圓,C,的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo),2,設(shè)點(diǎn),P,是,1,中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段,F,1,P,的中點(diǎn)的軌,跡方程,解,1,由橢圓上點(diǎn),A,到,F,1,F,2,的距離之和是,4,得,2,a,4,即,a,2,又點(diǎn),A,1,3,2,在橢圓上,因此,1,4,3,2,2,b,2,1,得,b,2,3,于是,c,2,a,2,b,2,1,所以橢圓,C,的方程為

6、,x,2,4,y,2,3,1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,F,1,1,0,F,2,1,0,2,設(shè)橢圓,C,上的動(dòng)點(diǎn),P,的坐標(biāo)為,2cos,3sin,線段,F,1,P,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,x,y,則,x,2cos,1,2,y,3sin,0,2,所以,x,1,2,cos,2,y,3,sin,消去,得,x,1,2,2,4,y,2,3,1,即為線段,F,1,P,中點(diǎn)的軌跡方程,橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：證明定值,例,3,已知橢圓,x,2,4,y,2,1,上任一點(diǎn),M,除短軸端點(diǎn)外,與短軸兩端點(diǎn),B,1,B,2,的連線分別交,x,軸于,P,Q,兩點(diǎn)，求,證,OP,OQ,為定值,思路點(diǎn)撥,利用參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn),M,的坐標(biāo)，并由,此

7、得到直線,MB,1,MB,2,的方程，從而得到,P,Q,兩點(diǎn)坐標(biāo),求出,OP,OQ,再求,OP,OQ,的值,證明,設(shè),M,2cos,sin,為參數(shù),B,1,0,1,B,2,0,1,則,MB,1,的方程,y,1,sin,1,2cos,x,令,y,0,則,x,2cos,sin,1,即,OP,2cos,1,sin,MB,2,的方程,y,1,sin,1,2cos,x,令,y,0,則,x,2cos,1,sin,OQ,2cos,1,sin,OP,OQ,2cos,1,sin,2cos,1,sin,4,即,OP,OQ,4,為定值,利用參數(shù)方程證明定值,或恒成立,問題，首先是用參,數(shù)把要證明的定值,或恒成立的式

8、子,表示出來，然后利用,條件消去參數(shù)，得到一個(gè)與參數(shù)無關(guān)的定值即可,4,曲線,x,a,cos,y,b,sin,a,b,0,上一點(diǎn),M,與兩焦點(diǎn),F,1,F,2,所,成角為,F,1,MF,2,求證,F,1,MF,2,的面積為,b,2,tan,2,證明,M,在橢圓上,由橢圓的定義，得,MF,1,MF,2,2,a,兩邊平方,得,MF,1,2,MF,2,2,2,MF,1,MF,2,4,a,2,在,F,1,MF,2,中，由余弦定理，得,MF,1,2,MF,2,2,2,MF,1,MF,2,cos,F,1,F,2,2,4,c,2,由兩式，得,MF,1,MF,2,b,2,cos,2,2,故,S,F,1,MF,

9、2,1,2,MF,1,MF,2,sin,b,2,tan,2,一、選擇題,1,橢圓,x,a,cos,y,b,sin,為參數(shù),若,0,2,則橢圓上的點(diǎn),a,0,對(duì)應(yīng)的,A,B,2,C,2,D,3,2,解析,點(diǎn),a,0,中,x,a,a,a,cos,cos,1,答案,A,2,把橢圓的普通方程,9,x,2,4,y,2,36,化為參數(shù)方程是,A,x,3cos,y,2sin,為參數(shù),B,x,2cos,y,3sin,為參數(shù),C,x,9cos,y,4sin,為參數(shù),D,x,4cos,y,9sin,為參數(shù),解析,把橢圓的普通方程,9,x,2,4,y,2,36,化為,x,2,4,y,2,9,1,則,b,2,a,3,

10、其參數(shù)方程為,x,2cos,y,3sin,為參數(shù),答案,B,3,已知橢圓的參數(shù)方程,x,2cos,t,y,4sin,t,t,為參數(shù),點(diǎn),M,在橢圓,上，對(duì)應(yīng)參數(shù),t,3,點(diǎn),O,為原點(diǎn)，則直線,OM,的斜率為,A,3,B,3,3,C,2,3,D,2,3,解析,點(diǎn),M,的坐標(biāo)為,1,2,3,k,OM,2,3,答案,C,4,兩條曲線的參數(shù)方程分別是,x,cos,2,1,y,2,sin,2,為參數(shù),和,x,3cos,t,y,2sin,t,t,為參數(shù),則其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為,A,0,B,1,C,0,或,1,D,2,解析,由,x,cos,2,1,y,2,sin,2,得,x,y,1,0,1,x,0,1,y,2,由

11、,x,3cos,t,y,2sin,t,得,x,2,9,y,2,4,1,如圖所,示，可知兩曲線交點(diǎn)有,1,個(gè),答案,B,二、填空題,5,橢圓,x,5cos,y,4sin,為參數(shù),的離心率為,_,解析,橢圓方程為,x,2,25,y,2,16,1,可知,a,5,b,4,c,a,2,b,2,3,e,c,a,3,5,答案,3,5,6,實(shí)數(shù),x,y,滿足,3,x,2,4,y,2,12,則,2,x,3,y,的最大值是,_,解析,因?yàn)閷?shí)數(shù),x,y,滿足,3,x,2,4,y,2,12,所以設(shè),x,2cos,y,3sin,則,2,x,3,y,4cos,3sin,5sin,其中,sin,4,5,cos,3,5,當(dāng),

12、sin,1,時(shí),2,x,3,y,有最大值為,5,答案,5,7,湖南高考,在直角坐標(biāo)系,xOy,中，已知曲線,C,1,x,t,1,y,1,2,t,t,為參數(shù),與曲線,C,2,x,a,sin,y,3cos,為參數(shù),a,0,有一個(gè),公共點(diǎn)在,x,軸上，則,a,_,解析,曲線,C,1,的普通方程為,2,x,y,3,曲線,C,2,的普通方程為,x,2,a,2,y,2,9,1,直線,2,x,y,3,與,x,軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,3,2,0,故曲,線,x,2,a,2,y,2,9,1,也經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，代入解得,a,3,2,舍去,3,2,答案,3,2,三、解答題,8,已知兩曲線參數(shù)方程分別為,x,5cos,y,sin,

13、0,和,x,5,4,t,2,y,t,t,R,求它們的交點(diǎn)坐標(biāo),解,將,x,5cos,y,sin,0,化為普通方程得,x,2,5,y,2,1(0,y,1,x,5,將,x,5,4,t,2,y,t,代入得,5,16,t,4,t,2,1,0,解得,t,2,4,5,t,2,5,5,y,t,0,x,5,4,t,2,5,4,4,5,1,交點(diǎn)坐標(biāo)為,1,2,5,5,9,對(duì)于橢圓,x,a,cos,y,b,sin,為參數(shù),如果把橫坐標(biāo)縮短為原,來的,1,a,倍，再把縱坐標(biāo)縮短為原來的,1,b,倍即得到圓心在原,點(diǎn)，半徑為,1,的圓的參數(shù)方程,x,cos,y,sin,為參數(shù),那,么，若把圓看成橢圓的特殊情況，試討論

14、圓的離心率，并,進(jìn)一步探討橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系,解,設(shè)圓的參數(shù)方程為,x,r,cos,y,r,sin,為參數(shù),如果將該圓看成橢圓,那么在橢圓中對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為,a,b,r,所以,c,a,2,b,2,0,則離心率,e,c,a,0,即把圓看成橢圓，其離心率為,0,而橢圓的離心率的范圍是,0,1,可見橢圓的離心率越小即越接近于,0,形狀就越接近,于圓，離心率越大，橢圓越扁,10,橢圓,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,與,x,軸正向交于點(diǎn),A,若這個(gè)橢圓上總,存在點(diǎn),P,使,OP,AP,O,為原點(diǎn),求離心率,e,的取值范圍,解,設(shè)橢圓的參數(shù)方程是,x,a,cos,y,b,sin,為參數(shù),a,b,0,則橢圓上的點(diǎn)