2014年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷

1、2014 年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分1（ 5 分）（2014?南通一模）復數(shù)的虛部是_2（ 5 分）（2014?南通一模）某同學在7 天內(nèi)每天參加體育鍛煉的時間（單位：分鐘）用莖葉圖表示如圖，圖中左列表示時間的十位數(shù)，右列表示時間的個位數(shù)則這7 天該同學每天參加體育鍛煉時間（單位：分鐘）的平均數(shù)為_3（ 5 分）（2014?南通一模）函數(shù)f（ x） =的值域為_4（ 5 分）（2014?南通一模）分別從集合 A=1 ， 2， 3， 4 和集合 B=5 ， 6， 7，8 中各取一個數(shù)，則這兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是 _ 5（5 分）（ 2

2、014?南通一模）在平面直角坐標系xOy為，則雙曲線C 的離心率為_中，雙曲線C 的中心在原點，焦點在y 軸上，一條漸近線方程6（ 5 分）（2014?南通一模）如圖是計算的值的一個流程圖，則常數(shù)a 的取值范圍是_7（ 5 分）（ 2014?南通一模）函數(shù)y=的圖象可由函數(shù)y=sinx 的圖象作兩次變換得到，第一次變換是針對函數(shù)y=sinx 的圖象而言的，第二次變換是針對第一次變換所得圖象而言的現(xiàn)給出下列四個變換：A 圖象上所有點向右平移個單位；B圖象上所有點向右平移個單位；C圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍（縱坐標不變） ；D圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變） 請按順序?qū)懗鰞?/p>

3、次變換的代表字母：_（只要填寫一組）8（ 5 分）（ 2014?南通一模）記maxa ，b 為 a 和 b 兩數(shù)中的較大數(shù)設函數(shù)f（x）和 g（ x）的定義域都是R，則 “f（ x）和 g（ x）都是偶函數(shù) ”是 “函數(shù) F（ x）=maxf （ x），g（ x） 為偶函數(shù) ”的_條件（在 “充分不必要 ”“必要不充分 ”“充分必要 ”和 “既不充分也不必要”中選填一個）9（ 5 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，圓 C1：x2+y 2 4x 8y+19=0 關于直線 l ：x+2y 5=0 對稱的圓 C2 的方程為 _ 10（ 5 分）（ 2014?南通一模） 給出以下

4、三個關于x 的不等式： x24x+3 0， 2x2+m2x+m 0若 的解集非空，且滿足 的 x 至少滿足 和 中的一個，則m 的取值范圍是_11（5 分）（ 2014?南通一模）設，且，則 tan的值為_ 12（ 5 分）（ 2014?南通一模）設平面向量， 滿足，則 ?的最小值為_ 13（ 5 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，曲線上的點到原點O 的最短距離為_14（ 5 分）（ 2014?南通一模）設函數(shù)y=f （ x）是定義域為R，周期為 2 的周期函數(shù)，且當x 1， 1）時， f （ x）=1 x2；已知函數(shù)g（x） =，則函數(shù)f （x）和 g（x）的圖象在區(qū)間

5、 5， 10 內(nèi)公共點的個數(shù)為_二、解答題：本大題共6 小題，共90 分15（ 14 分）（ 2014?南通一模）設向量=（ cos， sin），=（ cos， sin ），其中 0 （ 1）若，求的值；（ 2）設向量=，且+=，求 ， 的值16（14 分）（ 2014?南通一模）如圖，在三棱錐PABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， BAC=60 ，E，F(xiàn) 分別是 AP，AC 的中點，點D 在棱 AB 上，且 AD=AC 求證：（ 1） EF 平面 PBC；（ 2）平面 DEF 平面 PAC?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)17（ 14 分）（ 2014?南通一模）如圖，港口A 在港口 O 的正

6、東 120 海里處，小島B 在港口 O 的北偏東60的方向，且在港口 A 北偏西 30的方向上一艘科學考察船從港口O 出發(fā)，沿北偏東30的 OD 方向以 20 海里 /小時的速度駛離港口 O一艘給養(yǎng)快艇從港口A 以 60 海里 /小時的速度駛向小島B ，在 B 島轉運補給物資后以相同的航速送往科考船已知兩船同時出發(fā)，補給裝船時間為1 小時（ 1）求給養(yǎng)快艇從港口 A 到小島 B 的航行時間；（ 2）給養(yǎng)快艇駛離港口 A 后，最少經(jīng)過多少時間能和科考船相遇？18（ 16 分）（ 2014?南通一模）設公差不為零的等差數(shù)列a n 的各項均為整數(shù)，Sn 為其前 n 項和，且滿足（ 1）求數(shù)列 a n

7、 的通項公式；（ 2）試求所有的正整數(shù) m，使得為數(shù)列 a n 中的項19（ 16 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，設橢圓 C 的中心在原點，焦點在x 軸上，短半軸長為2，橢圓 C 長軸的右端點到其右焦點的距離為（ 1）求橢圓 C 的方程（ 2）設直線 l 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點，且 AOB= 求證：原點O 到直線 AB 的距離為定值（ 3）在（ 2）的條件下，求 AB 的最小值20（ 16 分）（ 2014?南通一模）設函數(shù)f（x） =alnx bx2，其圖象在點P（ 2，f （ 2）處切線的斜率為3?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)（ 1）求函數(shù)f（ x）的單

8、調(diào)區(qū)間（用只含有b 的式子表示）；（ 2）當 a=2 時，令 g（ x）=f（ x） kx ，設 x1， x2（ x1 x2）是函數(shù) g（x）=0 的兩個根， x0 是 x1，x2 的等差中項，求證： g（ x0） 0（ g（ x）為函數(shù) g（ x）的導函數(shù)） 【選做題】本題包括 21、22、 23、 24 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟21（ 2014?南通一模） AB 是 O 的直徑， D 為 O 上一點，過點 D 作 O 的切線交 AB 延長線于 C，若 DA=DC ，求證： AB=2BC 22（ 20

9、14?南通一模）已知矩陣A 的逆矩陣，求矩陣A 的特征值23（ 2014?南通一模） 在平面直角坐標系xOy 中，求過橢圓（ 為參數(shù)） 的右焦點且與直線（ t 為參數(shù)）平行的直線的普通方程24（ 2014?南通一模）已知實數(shù)x， y 滿足：，求證：【必做題】第 25 題、第 26 題，每題 10 分，共計 20 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟25（ 2014?南通一模）從棱長為1 的正方體的8 個頂點中任取不同2 點，設隨機變量是這兩點間的距離（ 1）求概率；（ 2）求 的分布列，并求其數(shù)學期望E（ ）26（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中

10、，已知拋物線C： y2=4x ， F 為其焦點，點E 的坐標為（ 2， 0），設M 為拋物線 C 上異于頂點的動點，直線 MF 交拋物線C 于另一點N ，鏈接 ME，NE 并延長分別交拋物線C 與點 P，Q（ 1）當 MN Ox 時，求直線PQ 與 x 軸的交點坐標；（ 2）當直線MN ，PQ 的斜率存在且分別記為k1， k2 時，求證： k1=2k2?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)2014 年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分1（ 5 分）（2014?南通一模）復數(shù)的虛部是考點 ： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的基本概念專題 ：

11、 計算題分析： 根據(jù)復數(shù)的除法法則計算即可解答：解：=，所以復數(shù)的虛部是 故答案為：點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算、復數(shù)的基本概念，屬基礎題2（ 5 分）（2014?南通一模）某同學在7 天內(nèi)每天參加體育鍛煉的時間（單位：分鐘）用莖葉圖表示如圖，圖中左列表示時間的十位數(shù)，右列表示時間的個位數(shù)則這7 天該同學每天參加體育鍛煉時間（單位：分鐘）的平均數(shù)為72 考點 ： 莖葉圖專題 ： 概率與統(tǒng)計分析： 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的公式計算即可得到結論解答：解：由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，對應的平均數(shù)為=72 ，故答案為： 72點評：本題主要考查莖葉圖的應用，利用平均數(shù)的公式是解決本題的關鍵，比

12、較基礎3（ 5 分）（2014?南通一模）函數(shù)f（ x） =的值域為（ 0， 4考點 ： 指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用專題 ： 函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：22x= （ x1） 2 11，可得04，由此求得函數(shù)f（ x）的值域由于函數(shù) t=x解答： 解：由于函數(shù)t=x 2 2x= （x 1） 21 1， 0=4，?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)故函數(shù) f （ x）=的值域為（ 0， 4，故答案為：（ 0， 4點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題4（ 5 分）（2014?南通一模）分別從集合A=1 ， 2， 3， 4 和集合 B=5 ， 6， 7，8 中各取一個數(shù)，則這

13、兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是考點 ： 等可能事件的概率專題 ： 概率與統(tǒng)計分析：求出所有基本事件，兩數(shù)之積為偶數(shù)的基本事件，即可求兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率解答：解：從集合 A=1 ， 2， 3， 4 和集合 B=5 ， 6， 7， 8 中各取一個數(shù)，基本事件共有 44=16 個， 兩數(shù)之積為偶數(shù)， 兩數(shù)中至少有一個是偶數(shù)，A 中取偶數(shù)， B 中有 4 種取法； A 中取奇數(shù)， B 中必須取偶數(shù)，故基本事件共有24+2 2=12 個， 兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是=故答案為：點評：本題考查概率的計算，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵5（5 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，雙曲

14、線 C 的中心在原點，焦點在y 軸上，一條漸近線方程為，則雙曲線 C 的離心率為 2考點 ： 雙曲線的簡單性質(zhì)專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：由已知條件推導出雙曲線方程為， 0，由此能求出雙曲線的離心率解答： 解： 雙曲線 C 的中心在原點，焦點在y 軸上，一條漸近線方程為， 雙曲線方程為， 0， 雙曲線的標準方程為， a=，c=2， e= =2 故答案為： 2點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)6（ 5 分）（2014?南通一模）如圖是計算的值的一個流程圖，則常數(shù)a 的取值范圍是（19， 21?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)考點 ： 程序框 專題

15、 ： 算法和程序框 分析：根據(jù)程序的功能是求 S= + + +的 ，從而求得 n=21 程序運行 止， 再根據(jù)不 足條件n a 出S，可得 a 的范 解答：解： 程序的運行功能是求的 ， 程序最后一次運行后S=+， n=21 止程序運行， 19a21，故答案 ：（ 19， 21 點 ：本 考 了循 構的程序框 ，根據(jù)框 的流程判斷 止運行的n 是解答本 的關 7（ 5 分）（ 2014?南通一模）函數(shù)y=的 象可由函數(shù)y=sinx 的 象作兩次 得到，第一次 是 函數(shù)y=sinx 的 象而言的，第二次 是 第一次 所得 象而言的 出下列四個 ：A 象上所有點向右平移個 位；B 象上所有點向右平

16、移個 位；C 象上所有點的橫坐 原來的2 倍（ 坐 不 ） ；D 象上所有點的橫坐 原來的倍（ 坐 不 ） 按 序?qū)懗鰞纱?的代表字母：BD （ DA ） （只要填寫一 ）考點 ： 函數(shù) y=Asin （x+ ）的 象 專題 ： 三角函數(shù)的 像與性 分析：先求函數(shù) y=sinx 的 象先向左平移，再求 象上所有的點的橫坐 原來的倍（ 坐 不 ） ，求出所得到的 象 的函數(shù)解析式即可也可以先伸 ，后平移解答：解：將函數(shù) y=sinx 的 象先向左平移，得到函數(shù) y=sin （ x+）的 象，將所得 象上所有的點的橫坐 原來的倍（ 坐 不 ） ，?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)則所得到的圖象對應的函數(shù)解

17、析式為：y=sin （ 2x+），變換順序可以是BD 或者圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變） 得到函數(shù)y=sin2x ，圖象上所有點向右平移個單位；得到y(tǒng)=sin （ 2x+），變換順序可以為DA 故答案為： BD （ DA ）點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin （ x+ ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題8（ 5 分）（ 2014?南通一模）記 maxa ，b 為 a 和 b 兩數(shù)中的較大數(shù)設函數(shù) f（x）和 g（ x）的定義域都是 R，則 “f （ x）和 g（ x）都是偶函數(shù) ”是 “函數(shù) F（ x） =maxf （ x），g（ x） 為偶函數(shù) ”的 充分不必要 條件（在 “充分不

18、必要 ”“必要不充分 ”“充分必要 ”和 “既不充分也不必要”中選填一個）考點 ： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題 ： 簡易邏輯分析：根據(jù) maxa ，b 的定義，結合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義即可得到結論解答： 解： f（ x）和 g（ x）都是偶函數(shù)， f（ x） =f （ x）， g（ x） =g（ x）恒成立，則根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)F（ x）=maxf （x），g（ x） 也關于 y 軸對稱，即 F（ x）為偶函數(shù)成立，若函數(shù) F（ x） =maxf （x）， g（ x） 為偶函數(shù)，則 f（ x）和 g（ x）不一定都是偶函數(shù)，必要f（ x） =x2

19、 為偶函數(shù)， g（ x） =x2 1，（ 0x 1），滿足 F（x） =maxf （ x）， g（ x） = ） =x2 為偶函數(shù)，但g（x） = x21，（ 0 x 1），不是偶函數(shù)， “f（ x）和 g（ x）都是偶函數(shù) ”是 “函數(shù) F（ x） =maxf （ x）， g（x） 為偶函數(shù) ”的充分不必要條件故答案為：充分不必要條件點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)maxa ， b 的定義是解決本題的關鍵9（ 5 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，圓 C1：x2+y 2 4x 8y+19=0 關于直線 l ：x+2y 5=0 對

20、稱的圓 C2的方程為 x2+y 2=1 考點 ：圓的一般方程專題 ：計算題；直線與圓分析： 圓 C1 化為標準方程，求出圓心坐標與半徑，設出圓心C1 關于直線 l： x+2y 5=0 對稱的圓 C2的圓心 C2 的坐標，利用對稱關系，求出圓心C2 的坐標，即可得到圓C2 的方程解答： 解：圓 C1： x2+y 2 4x 8y+19=0 可化為（ x 2） 2+（ y 4） 2=1，則圓心 C1（ 2， 4），半徑為1，設圓心 C1 關于直線 l ： x+2y 5=0 對稱的圓 C2 的圓心 C2 的坐標為（ a， b），則，解得 a=0， b=0， 圓 C1： x2+y 2 4x 8y+19=

21、0 關于直線l ：x+2y 5=0 對稱的圓C2 的方程為x2+y 2=1故答案為： x2+y 2=1點評：本題考查圓的方程，考查點關于直線對稱點的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題10（ 5 分）（ 2014?南通一模） 給出以下三個關于 x 的不等式： x24x+3 0， 2x2+m2x+m 0若 的解集非空，且滿足 的 x 至少滿足 和 中的一個，則 m 的取值范圍是 1， 0） ?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)考點 ： 不等式的基本性質(zhì)專題 ： 不等式的解法及應用分析： 分別求得 、 的解集，可得它們的并集，由題意可得，方程2x2+m2 x+m=0 的兩個實數(shù)根都在區(qū)間 1，3 內(nèi)，令 f

22、（ x） =2x2+m2x+m ，則由題意可得，由此求得m 的范圍解答：解：由： x2 4x+3 0 可得 1x 3；由 可得 0，即 1 x 2；由 2x2+m2x+m 0 的解集非空，可得 =m （m38） 0，即 m 2，或 m0 解集的并集為（ 1， 3），故方程2x2+m2 x+m=0 的兩個實數(shù)根都在區(qū)間 1， 3 內(nèi)，令 f（ x） =2x2+m 2x+m，則由題意可得解得 1m 0，故答案為 1， 0）點評：本題主要考查集合的運算及分式不等式、一元二次不等式的基本解法，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題11（ 5 分）（ 2014?南通一模）設，且，則 tan的值為考點 ： 兩角

23、和與差的正切函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)專題 ： 三角函數(shù)的求值分析：根據(jù)兩角和的正切公式即可得到結論解答：解： ， tan=4， tan（ ） =，則 tan=tan（ ） =，故答案為：點評：本題主要考查三角函數(shù)的求值和化簡，要求熟練掌握正切的公式，以及條件角之間的關系?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)12（ 5 分）（ 2014?南通一模）設平面向量，滿足，則?的最小值為考點 ： 平面向量數(shù)量積的運算專題 ： 平面向量及應用分析：利用向量的數(shù)量積性質(zhì)和基本不等式即可得出解答：， 滿足，解： 平面向量，化為 6，當且僅當，取等號故答案為：點評：本題考查了向量的數(shù)量積性質(zhì)和基本不等式，屬于中檔題13（

24、 5 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐標系xOy 中，曲線上的點到原點O 的最短距離為5考點 ： 雙曲線的簡單性質(zhì)專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：上的點 P（ x，y）則 P（ x，y）到原點的距離： d=設曲線，由此利用均值定理能求出曲線上的點到原點O 的最短距離解答：解：設曲線上的點 P（ x， y）設 P（ x，y）到原點的距離：d= =5 ，?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)當且僅當時， d 取最小值 曲線上的點到原點O 的最短距離為5故答案為： 5點評：本題考查曲線上的點到原點距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意均值定理的合理運用14（ 5 分）（ 2014?南通一模

25、）設函數(shù)y=f （ x）是定義域為R，周期為 2 的周期函數(shù)，且當x 1， 1）時， f （ x）=1 x2；已知函數(shù)g（ x）=，則函數(shù) f（ x）和 g（ x）的圖象在區(qū)間 5，10 內(nèi)公共點的個數(shù)為14考點 ： 函數(shù)的周期性專題 ： 函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f （x）和 g（ x）的圖象，利用數(shù)形結合即可得到兩個函數(shù)公共點的個數(shù)解答：解： 函數(shù) y=f （ x）是定義域為R，周期為2 的周期函數(shù)，且當x 1， 1）時， f （ x） =1 x2； 作出函數(shù) f （ x）的圖象如圖： g（ x）=， 作出函數(shù) g（ x）的圖象如圖：則由圖象可知兩個圖象的交點個數(shù)為1

26、4 個，故答案為： 14點評：本題主要考查函數(shù)圖象交點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的周期性以及利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵二、解答題：本大題共6 小題，共90 分15（ 14 分）（ 2014?南通一模）設向量=（ cos， sin），=（ cos， sin ），其中 0 （ 1）若，求的值；（ 2）設向量=，且+=，求 ， 的值考點 ： 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角專題 ： 平面向量及應用分析：（ 1）利用數(shù)量積的運算性質(zhì)即可得出；（ 2）利用向量相等和誘導公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出解答：解：（ 1） =（ cos， sin），=（ cos， sin），?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng) | |=

27、1， | |=1，?=0于是=2故（ 2） +=，由此得 cos=cos（ ），由 0 ，得 0 ，又 0 ，故 = 代入，得而 0 ， 點 ：本 考 了數(shù)量 的運算性 、向量相等和 公式、三角函數(shù)的 性等基 知 與基本技能方法，屬于基 16（14 分）（ 2014?南通一模）如 ，在三棱 PABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， BAC=60 ，E，F(xiàn) 分 是 AP，AC 的中點，點D 在棱 AB 上，且 AD=AC 求 ：（ 1） EF 平面 PBC；（ 2）平面 DEF 平面 PAC考點 ： 平面與平面垂直的判定；直 與平面平行的判定專題 ： 空 位置關系與距離分析：（ 1）利用三角

28、形中位 定理推 出EF PC，由此能 明EF 平面 PBC（ 2）由已知條件推 出 ACD 正三角形， DF AC ，從而得到 DF 平面 PAC，由此能 明平面 DEF 平面 PAC解答： 明：（ 1）在 PAC 中，因 E， F 分 是 AP ， AC 的中點，所以 EF PC （ 2 分）又因 EF? 平面 PBC， PC? 平面 PBC，所以 EF 平面 PBC （ 5 分）（ 2） CD因 BAC=60 ，AD=AC ，所以 ACD 正三角形因 F 是 AC 的中點，所以 DF AC （ 7 分）因 平面 PAC 平面 ABC ， DF? 平面 ABC ，?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)平

29、面 PAC平面 ABC=AC ，所以 DF 平面 PAC （ 11 分）因 DF? 平面 DEF ，所以平面DEF 平面 PAC（ 14 分）點 ：本 考 直 與平面平行的 明，考 平面與平面垂直的 明，解 要 真 ，注意空 思 能力的培養(yǎng)17（ 14 分）（ 2014?南通一模）如 ，港口A 在港口 O 的正 120 海里 ，小 B 在港口 O 的北偏 60的方向，且在港口 A 北偏西 30的方向上一艘科學考察船從港口O 出 ，沿北偏 30的 OD 方向以 20 海里 /小 的速度 離港口 O一艘 養(yǎng)快艇從港口A 以 60 海里 /小 的速度 向小 B ，在 B 運 物 后以相同的航速送往科

30、考船已知兩船同 出 ， 裝船 1 小 （ 1）求 養(yǎng)快艇從港口 A 到小 B 的航行 ；（ 2） 養(yǎng)快艇 離港口 A 后，最少 多少 能和科考船相遇？考點 ： 解三角形的 用專題 ： 用 ；解三角形分析： （ 1） 養(yǎng)快艇從港口 A 到小 B 的航行 ，已知其速度， 只要求得AB 的路程，再利用路程公式即可求得所需的 （ 2）由（ 1）知， 養(yǎng)快艇從港口A 離 2 小 后，從小 B 出 與科考船 合，根據(jù) 意確定各 和各角的 ，然后由余弦定理解決 解答： 解：（ 1）由 意知，在 OAB 中， OA=120 ， AOB=30 ， OAB=60 于是 AB=60 ，而快艇的速度 60 海里 /小

31、 ，所以快艇從港口 A 到小 B 的航行 1 小 （ 5 分）（ 2）由（ 1）知， 養(yǎng)快艇從港口A 離 2 小 后，從小 B 出 與科考船 合 使航行的 最少，快艇從小 B 離后必 按直 方向航行，設 t 小 后恰與科考船在 C 相遇 （7 分）在 OAB 中， OA=120 ， AOB=30 ， OAB=60 ，所以，而在 OCB 中， BC=60t ， OC=20 （ 2+t ）， BOC=30 ，（ 9 分）由余弦定理，得 BC2=OB 2+OC 2 2OB ?OC?cos BOC ，即，亦即 8t2+5t 13=0，解得 t=1 或（舍去） （ 12 分）故 t+2=3 即 養(yǎng)快艇

32、離港口A 后，最少 3 小 能和科考船相遇（14 分）點 ： 本 主要考 余弦定理的 用，考 學生分析解決 的能力余弦定理在解 有著廣泛的 用，一定要熟 的掌握18（ 16 分）（ 2014?南通一模） 公差不 零的等差數(shù)列a n 的各 均 整數(shù)，Sn 其前 n 和，且 足?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)（ 1）求數(shù)列 a n 的通 公式；（ 2） 求所有的正整數(shù)m，使得 數(shù)列 a n 中的 考點 ： 數(shù)列的 用專題 ： ；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（ 1）先確定 a4=1，再根據(jù)得 d=3 或， 合數(shù)列 a n 的各 均 整數(shù)，求出公差，即可求數(shù)列 a n 的通 公式；（ 2）根據(jù)，an=3n 11

33、=3（ n 4）+1 ，可得 數(shù)列a n 中的 ，必 是 3 的倍數(shù)， 而 ，可得所有的正整數(shù)m，使得 數(shù)列 a n 中的 解答：解：（ 1）因 a n 是等差數(shù)列，且S7=7，而，于是 a4=1 （2 分）設 a n 的公差 d， 由得，化 得 8d2 27d+9=0 ，即（ d3）（ 8d3） =0 ，解得 d=3 或，但若，由 a4=1 知不 足 “數(shù)列 a n 的各 均 整數(shù)”，故 d=3 （ 5 分）于是 an=a4+（n 4） d=3n 11 （ 7 分）（ 2）因 ， an=3n 11=3（ n 4） +1， （10 分）所以要使 數(shù)列 a n 中的 ，必 是 3 的倍數(shù)，于是

34、am 在 1，2， 3，6 中取 ，但由于 am 1 是 3 的倍數(shù)，所以am=1 或 am=2由 am=1 得 m=4；由 am=2 得 m=3 （ 13 分）當 m=4 ，；當 m=3 ，所以所求m 的 3 和 4 （ 16 分）點 ：本 主要考 了等差數(shù)列的通 公式及前 n 和的公式，解 的重點是要熟 掌握基本公式，并能運用公式， 要具 一定的運算能力19（ 16 分）（ 2014?南通一模）在平面直角坐 系xOy 中， C 的中心在原點，焦點在x 上，短半 2，橢圓 C 的右端點到其右焦點的距離 ?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)（ 1）求橢圓C 的方程（ 2）設直線l 與橢圓 C 相交于 A

35、 ， B 兩點，且 AOB=求證：原點O 到直線 AB 的距離為定值（ 3）在（ 2）的條件下，求AB 的最小值考點 ： 直線與圓錐曲線的綜合問題分析：（ 1）根據(jù)題意設橢圓C 的方程為再利用已知條件求出a， b 的值即可（ 2）設原點O 到直線 AB 的距離為d，則由題設及面積公式知分情況討論當直線OA的斜率不存在或斜率為0 時，解得當直線 OA 的斜率 k 存在且不為0 時，設直線方程為y=kx 與橢圓方程聯(lián)立解得A ， B 兩點的坐標，利用化簡即可得到（ 3） d 為定值，所以求AB 的最小值即求OA ?OB 的最小值求AB 的最小值即求OA ?OB 的最小值OA 2?OB 2=利用基本

36、不等式即可求出AB 的最小值解答：解：（ 1）由題意，可設橢圓C 的方程為則，解得 橢圓方程為（ 2）設原點O 到直線 AB 的距離為d，則由題設及面積公式知 當直線 OA 的斜率不存在或斜率為0 時，有或則?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng) 當直線 OA 的斜率 k 存在且不為0 時，則聯(lián)立方程，得解得或在 Rt OAB 中，則= 綜上，原點O 到直線 AB 的距離為定值?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)（ 3） d 為定值， 求 AB 的最小值即求OA ?OB 的最小值=令，則 t2，于是= t2，當且僅當t=2 ，即 k= 1 時，OA ?OB 取得最小值， A 的最小值為點評：本題考查橢圓方程的求解，

37、直線與橢圓相結合的問題，利用基本不等式求最值等知識屬于難題20（ 16 分）（ 2014?南通一模）設函數(shù) f（x） =alnx bx2，其圖象在點P（ 2，f （ 2）處切線的斜率為 3（ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間（用只含有b 的式子表示）；（ 2）當 a=2 時，令 g（ x）=f（ x） kx ，設 x1， x2（ x1 x2）是函數(shù) g（x）=0 的兩個根， x0 是 x1，x2 的等差中項，求證： g（ x0） 0（ g（ x）為函數(shù) g（ x）的導函數(shù)） 考點 ： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題 ： 導數(shù)的綜合應用分析： （ 1）由函數(shù)圖象在在點P（ 2， f （2）處

38、切線的斜率為3 得到 a 與 b 的關系，用 b 表示 a，代入導函數(shù)解析式，然后分 b=0，b 0， b0 分類求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）由 a 的值求解 b 的值，得到函數(shù) g（x）的解析式，把函數(shù)的兩個零點代入函數(shù)所對應的方程，求解得到 k 的值，求出 g（ x0），借助于等差中項的概念把x0 用 x1， x2 表示，換元后進一步利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性說明g（ x0） 0 成立?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)解答：（ 1）解：函數(shù)f （ x）的定義域為（0， +），則，即 a=8b 6于是當 b=0 時， f （ x）在（ 0，+ ）上是單調(diào)減函數(shù)；當 b 0時，令 f（x） =

39、0，得（負舍）， f（ x）在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)；當 b 0時，若，則 f（ x） 0 恒成立， f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)減函數(shù)；若，令 f （ x） =0，得（負舍）， f（ x）在上單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)減函數(shù)；綜上，若 b 0， f（ x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；若， f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0， +）；若， f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（ 2）證明： a=2，a=8b 6， b=1，即 g（ x） =2lnx x2 kx g（ x）的兩零點為 x1 2， x ，則相減得：， x1x2，于是=令，則，則 （ t）在（ 0， 1）上單調(diào)遞減，?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)則 （ t） （ 1） =0，又，則 g（ x0） 0命題得證點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了換元法，是難度較大的題目【選做題】本題包括 21、22、 23、 24 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟21（ 2014?南通一模） AB 是 O 的直徑， D 為 O 上一點，過點 D 作 O 的切線交 AB 延長線于 C，若 DA=DC ，求證： AB=2BC 考點 ： 圓的切線的性質(zhì)定理的證明專題 ： 證明