高等數(shù)學(xué)微積分筆記

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當x1x2時,若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加

2、( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、a1)4.對數(shù)函數(shù)： y=lo

3、ga x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限：

4、 當時，的極限： 當時，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：無窮大量和無窮小量1 無窮大量： 稱在該變化過程中為無窮大量。 X再某個變化過程是指： 2 無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 定理：4 無窮小量的比較： 若,則稱是比較高階的無窮小量； 若 （c為常數(shù)），則稱與同階的無窮小量； 若，則稱與是等價的無窮小量，記作：； 若,則稱是比較低階的無窮小量定理：若：則：兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數(shù)極限存在的判定準則： 設(shè)：對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點 （點x0除外）有：且： 則：極

5、限的運算規(guī)則 若： 則： 推論：兩個重要極限 1 或 2 1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：4. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點都連續(xù)。 在端點和連續(xù)是指： 左端點右連續(xù)； 右端點左連續(xù)。 a+ 0 b- x5. 函數(shù)的間斷點：若在處不連續(xù)，則為的間斷點。間斷點有三種情況： 1o在處無定義； 2o不存在；3o在處有定義，且存在， 但。 兩類間斷點的判斷： 1o第一類間斷點：特點：和都存在?？扇ラg斷點：存在，但，或在處無定義。

6、2o第二類間斷點：特點：和至少有一個為， 或振蕩不存在。無窮間斷點：和至少有一個為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算： 設(shè)， 1o 2o 3o 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則：3. 反函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推論： 在上連續(xù)，且與異號 在內(nèi)至少存在一點，使得

7、：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù)：在的某個鄰域內(nèi)有定義， 2左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： 定理：存在， 且存在。 5.導(dǎo)函數(shù)： 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點 處切線的斜率。 o x0 x求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式： 2.導(dǎo)數(shù)的四則運算： 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)

8、合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分：在的某個鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無關(guān)，是比較高 階的無窮小量，即： 則稱在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價關(guān)系： 定理：在處可微在處可導(dǎo)，且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：滿足條件: 羅必塔法則：（ 型未定式）定理：和滿足條件：1o；2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o 則：注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限

9、化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。 即不是型或型時，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時，要分別對分子、分母 求導(dǎo)，而不是對整個分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即： 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形，化成或型；若是型可 采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線方程：2 曲線的單調(diào)性： 3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點；若對于的某個鄰域內(nèi)的任意點，都有：則稱是的一個極大值（或極小值），稱為的極大值點（或極小值點）。 極值存在的必要條件：定理：稱為的駐點 極值存在的充分條件： 定理一：當漸增

10、通過時，由（+）變（-）；則為極大值； 當漸增通過時，由（-）變（+）；則為極小值。定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。 4曲線的凹向及拐點：若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（）； 5。曲線的漸近線： 水平漸近線： 鉛直漸近線：第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)： 若： 則稱是的一個原函數(shù)， 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱為被積函數(shù)； 稱為被積表達式； 稱為積分變量。 3

11、. 不定積分的性質(zhì)： 或： 或： 分項積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式：換元積分法： 第一換元法：（又稱“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當被積函數(shù)中有時) 2o (當被積函數(shù)中有時) 3o (當被積函數(shù)中有時) 4o (當被積函數(shù)中有時)分部積分法： 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對的類型： 其中： （多項式） 3.選u規(guī)律： 在三角函數(shù)乘多項式中，令， 其余記作dv;簡稱“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令， 其

12、余記作dv;簡稱“指多選多”。 在多項式乘對數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv;簡稱“多對選對”。 在多項式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數(shù)積分： 1. 有理函數(shù)： 其中是多項式。 2. 簡單有理函數(shù)： 3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)1. 定積分的定義： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面

13、積取正號， yx 軸下方的面積取負號。 + + a 0 - b x2. 定積分存在定理： 若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素無關(guān)： 3. 牛頓萊布尼茲公式：*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理： 5. 定積分的性質(zhì)： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x（二）定積分的計算：1. 換元積分 2. 分部積分 3. 廣義積分 4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積

14、分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) . 求出曲線的交點，畫出草圖； . 確定積分變量，由交點確定積分上下限；. 應(yīng)用公式寫出積分式，并進行計算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 0 a b x及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 第四章 多元函數(shù)微積分初步4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一. 主要內(nèi)容：1. 多元函數(shù)的概念3. 二元函數(shù)的定義： 4. 二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：.偏導(dǎo)數(shù)： .全微分：1.定義：