教學設計（教案）——橢圓的幾何性質(zhì)[1]

1、教學設計（教案）模板基本信息學 科數(shù)學年 級高二教學形式新授課教 師李鑫單 位渠縣瑯琊中學課題名稱橢圓的簡單幾何性質(zhì)學情分析本課的學習對象為高二年文科班的學生，他們經(jīng)過近一年多的高中學習，已經(jīng)有一定的學習基礎和分析問題、解決問題的能力。作為高二年文科班的學生普遍存在著數(shù)學科基礎知識較為薄弱，對數(shù)學學習有一定的困難。在課堂上的主體作用的體現(xiàn)不是太充分，但是他們能意識到自己的不足，對數(shù)學課的學習興趣高，積極性強。高二年文科班的學生在學習交往上表現(xiàn)為個別化學習，課堂上較為依賴老師的引導。學生的群體性小組交流能力與協(xié)同討論學習的能力不強，對學習資源和知識信息的獲取、加工、處理和綜合的能力較低。教學目標

2、1、知識與技能：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點，掌握幾何意義以及 的相互關系，初步學習利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。2、過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學習解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣；通過多媒體展示，讓學生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的

3、和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質(zhì)。教學過程一創(chuàng)設情境教師：請同學們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運行的模擬圖）：2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發(fā)射， 實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。 我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠的距離，即近地點距地面的距離和遠地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起探求橢圓的性質(zhì)。（引

4、出課題）教師：前面我們學習了橢圓的定義和標準方程，誰能說說橢圓的標準方程（學生回答）。 二探索研究1. 范圍教師：同學們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過A1、A2作y軸的平行線，過B1、B2作x軸的平行線（課件展示），同學們能發(fā)現(xiàn)什么？ 學生能答出：橢圓圍在一個矩形內(nèi)。教師補充完整：橢圓位于四條直線x=a, y=b所圍成的矩形里，說明橢圓是有范圍的。教師：下面我們想辦法再用方程+=1(ab0)來證明這一結(jié)論的正確性。啟發(fā)學生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。 從方程的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。由+=1，利用兩個實數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得，xa且yb,則有xa

5、,yb, 所以-axa,-byb。2對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學生動手折紙，課前教師要求學生把上節(jié)學習橢圓定義時畫的橢圓拿來。）學生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。 教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結(jié)果，怎樣用方程證明它的對稱性？師生討論后，需要建立坐標系，確定橢圓的標準方程。不妨建立焦點在x軸上的橢圓的標準坐標系，它的方程就是+=1。教師：這節(jié)課就以焦點在x軸上的橢圓的標準方程為例

6、來研究橢圓的性質(zhì)。教師：這樣建立的坐標系對稱軸恰好重合于坐標軸，我們先證橢圓關于y軸對稱。為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學過，曲線關于y軸對稱是指什么呢？學生：曲線上的每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。教師：要證曲線上每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上，只要證明-學生：曲線上任意一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。在學生嘗試進行問題解決的過程中，當他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯(lián)系時，這就需要教師適時進行啟發(fā)點撥。教師：同學們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關于y軸對稱”。請一位學生講解橢圓對稱性的

7、證明過程，以此來訓練學生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴謹性。教師對學生的證明進行評價。教師：用類似的方法可以證明橢圓關于x軸對稱,關于原點對稱。課件展示對稱性并總結(jié)：方程+=1表示的橢圓，坐標軸是其對稱軸，原點是其對稱中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心). 教師引導學生對這一環(huán)節(jié)進行反思，即通過建立坐標系，用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)，這種方法我們今后經(jīng)常用到。投影顯示下圖及問題 y o x問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？指導學生思考討論后獲取共識：坐標系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無論橢圓在坐標系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對

8、稱軸，有一個中心，與坐標系的選取無關。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認為橢圓上哪幾個點比較特殊？由學生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。教師啟發(fā)學生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點的坐標嗎？由學生自主探究,求出四個頂點坐標。即令x=0,得 y=b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。結(jié)合圖

9、形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關系。由學生探究得出橢圓的一個焦點F2到長軸兩端點A1 , A2的距離分別為a+c和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關實際問題時經(jīng)常用到。4離心率教師：我們在學習橢圓定義時，用同樣長的一條細繩畫出的橢圓形狀一樣嗎？同學們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。請同學們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關呢？課件動畫演示此時學生展開討論，可能有的說與a、c有關，也可能說與a、b有關等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導學生思考。 教師引導學生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=a,y=

10、b圍成的矩形里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。即當比值越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。由于 =，所以當越大時，越小，橢圓越扁；當越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，分析出離心率的范圍：0e1。結(jié)論：橢圓在- axa，-bxb內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什么定義是橢圓的離心率呢？因為a、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定橢圓形狀最關鍵的

11、要素，隨著今后的學習可以看到還有更重要的幾何意義。三鞏固與創(chuàng)新應用例1求橢圓 的長軸長、短軸長、離心率和頂點，并畫出它的草圖。本題采用講練結(jié)合的方式。前一部分由學生口述求解過程，后一部分由教師介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學生來說比較實用）。解：由于a=5, b=4 ，c=3橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 離心率e=因為焦點在x軸上，所以橢圓的四個頂點的坐標是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4) 教師：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）首先確定橢圓的四個頂點，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后

12、根據(jù)對稱性用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓的基本圖形。教師提醒學生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點附近的平滑性。學生根據(jù)畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。教師說明，如果需要比較準確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點法畫出橢圓在第一象限的部分，再根據(jù)對稱性畫出整個橢圓（要求學生課下閱讀教材中的描點法作圖）。練習：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心率和頂點有什么變化。此處是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題做比較，使學生體會到橢圓的性質(zhì)是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標系的選取無關。學生的回答可能會因為長軸位置發(fā)生變化而導致頂點坐標出錯，教師

13、要予以糾正。（此題用實物投影展示或由學生到黑板板書） 例2 我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心F2為一個焦點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面約為200km,遠地點B（離地面最遠的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且F2、A、B在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結(jié)果精確到0.01km）設置本題的主要意圖是:第一,為增強學生的數(shù)學應用意識和運用數(shù)學知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學生的學習需求。師生共同分析：先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。教師：求橢圓的方程又需要先做什么

14、呢？（建立坐標系）。怎樣建系？（以過A、B的直線為x軸，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，記F1為左焦點建立如圖所示的直角坐標系（課件上作圖、建系）則它的標準方程為+=1 (ab0)。下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？學生對照圖形認真思考，相互討論由學生得出解法。F2 A=6371+200 ，F(xiàn)2 B=6371+350又F2 A=o A-oF2=a-c因此,有 a-c=o A-oF2=F2 A=6371+200=6571同理,得 a+c=o B+oF2=F2B=6371+350=6721解得 a=6646， c=75b2=a2-c2

15、=(a+c)(a-c)=441636916645.582因此，飛船的軌道方程為+=1學生可能出現(xiàn)的另一種解法：由2a =AB=BN+NM+MA=350+26371+200 a =6646 c =oF2=o A-F2 A =6646-6371-200=75以下做法同上。計算過程由學生用計算器求得。教師最后課件展示：用計算機畫出飛船運行的軌跡。 四總結(jié)提煉教師：通過這節(jié)課學習，你學到了什么？（教師引導學生從知識和方法兩方面進行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學生反思自己學習過程的意識）1.知識總結(jié):本節(jié)課我們討論了橢圓的四個簡單性質(zhì),掌握這些性質(zhì)是解決有關問題的基礎。2.數(shù)學思想:本節(jié)主要用到數(shù)形結(jié)合、猜想、類比的思想方法，平時學習中注意運用。 3.數(shù)學方法:掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的重要方法解析法（坐標法），這種方法不僅適用于橢圓也適用于后續(xù)課程中的其它曲線。五.課外閱讀 課本43頁用幾何畫板探究點的軌跡：橢圓板書設計橢圓的性質(zhì)一性質(zhì) 二應用以方程+=1(ab0)為例研究 例11.對稱性.橢圓關于x軸、y軸及原點對稱.2.頂點.頂點坐標:(a,0) , (-a,0), (0,b),(0,-b).3.范圍.橢圓位于x=a,y=b圍成的矩形內(nèi).4.離心