數(shù)字推理 (2)

1、.數(shù)字推理數(shù)的整除的特征我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù)，我們正是以能否被2整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。因此，有下面的結(jié)論：末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k，奇數(shù)總可表為2k1（其中k為整數(shù)）。2末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k（其中k為整數(shù)）。3末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除，可表為5k（k為整數(shù)）。4末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4（25）整除的整數(shù)必被4（25）整除。如1996190096，因?yàn)?00是4和25的倍數(shù)，所以1900是4和25的倍數(shù)，只要考察96是否4或25的倍數(shù)即可。由于496能被25整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00、25、50、75。能

2、被4整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的數(shù)。5末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8（125）整除的整數(shù)必能被8（125）整除。由于10008125，因此，1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。如判斷765432是否能被8整除。因?yàn)?65432765000432顯然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432854，即8|432，所以8|765432。能被8整除的整數(shù)，末三位只能是000，008，016，024，984，992。由于

3、1251125，1252250，1253375；1254500，1255625；1256750；1257875；125810000故能被125整除的整數(shù)，末三位數(shù)只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。6各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被3（9）整除的整數(shù)必能被3（9）整除。如478323是否能被3（9）整除？由于478323410000071000081000310021034（999991）7（99991）8（9991）3（991）2（91）3（49999979999899939929）（478323）前一括號里的各項(xiàng)都是3（9）的倍數(shù)，因此，判斷478323是否能被3

4、（9）整除，只要考察第二括號的各數(shù)之和（478323）能否被3（9）整除。而第二括號內(nèi)各數(shù)之和，恰好是原數(shù)478323各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和。47832327是3（9）的倍數(shù)，故知478323是3（9）的倍數(shù)。在實(shí)際考察478323是否被3（9）整除時(shí)，總可將3（9）的倍數(shù)劃掉不予考慮。即考慮被3整除時(shí)，劃去7、2、3、3，只看48，考慮被9整除時(shí)，由于729，故可直接劃去7、2，只考慮4833即可。如考察9876543被9除時(shí)是否整除，可以只考察數(shù)字和（9876543）是否被9整除，還可劃去9、54、63，即只考察8如問3是否整除9876543，則先可將9、6、3劃去，再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。

5、由于3|（8754），故有3|9876543。實(shí)際上，一個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和被3（9）除所得的余數(shù)，就是這個(gè)整數(shù)被3（9）除所得的余數(shù)。7一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù)。（一個(gè)整數(shù)的個(gè)位、百位、萬位、稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬位稱為偶數(shù)位。）如判斷42559能否被11整除。4255941000021000510051094（99991）2（10011）5（991）5（111）9（4999921001599511）（42559）11（4909291595）（42559）前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一

6、部分42559是否為11的倍數(shù)。而42559（459）（25）恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。由于（459）（25）11是11的倍數(shù)，故42559是11的倍數(shù)。現(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù)，只須直接計(jì)算（1897）（752）是否為11的倍數(shù)即可。由251411知（1897）（752）是1的倍數(shù)，故11|7295871。上面所舉的例子，是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和（即我們平時(shí)認(rèn)為“不夠減”），那么該怎么辦呢？如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為346，而偶數(shù)位數(shù)字和為978。顯然346小于978，即13小于24。遇到這種情況，可在13

7、24這種式子后面依次加上11，直至“夠減”為止。由于1324110，恰為11的倍數(shù)，所以知道867493必是11的倍數(shù)。又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為（223）（987）72472411115（加了兩次11使“夠減”）。由于5不能被11整除，故可立即判斷738292不能被11整除。實(shí)際上，一個(gè)整數(shù)被11除所得的余數(shù)，即是這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)（不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止）。同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。如186這個(gè)三位數(shù)，連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個(gè)六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為618，偶數(shù)位

8、數(shù)字和為861，它們的差恰好為零，故186186是11的倍數(shù)。數(shù)位數(shù)字和為cab，偶數(shù)位數(shù)字和為bca，它們的差恰為零，象這樣由三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)是否能被7整除呢？如186186被7試除后商為26598，余數(shù)為零，即7186186。能否不做1861867，而有較簡單的判斷辦法呢？由于18618618600018618610001861861001而100171113，所以186186一定能被7整除。這就啟發(fā)我們考慮，由于711131001，故若一個(gè)數(shù)被1001整除，則這個(gè)數(shù)必被7整除，也被11和13整除?；?qū)⒁粋€(gè)數(shù)分為兩部分的和或差，如果其中一部分為1001的倍數(shù)，另一部分為7（11或

9、13）的倍數(shù)，那么原數(shù)也一定是7（11或13）的倍數(shù)。如判斷2839704是否是7的倍數(shù)？由于283970428390007042839100070428391001283970428391001（2839704）28397042135是7的倍數(shù)，所以2839704也是7的倍數(shù)；2135不是11（13）的倍數(shù)，所以2839704也不是11（13）的倍數(shù)。實(shí)際上，對于283904這樣一個(gè)七位數(shù)，要判斷它是否為7（11或13）的倍數(shù)，只需將它分為2839和704兩個(gè)數(shù)，看它們的差是否被7（11或13）整除即可。又如判斷42952是否被13整除，可將42952分為42和952兩個(gè)數(shù)，只要看95242910是否被13整除即可。由于9101370，所以13|910，8一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13