債券的久期和凸性課件

1、債券的久期和凸性,1,債券的久期與凸性,債券的久期和凸性,2,主要內(nèi)容,債券的久期 債券的凸性 債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,3,債券的久期,市場(chǎng)利率的升降對(duì)債券投資的總報(bào)酬具有影響： 債券本身的資本利得，利息收入及其再投資收益。 債券投資管理的重要策略之一就是，如何消除利率變動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，即利率風(fēng)險(xiǎn)免疫（Interest rate immunization），即使得債券組合對(duì)利率變化不敏感,債券的久期和凸性,4,D為Macaulay久期，D*為修正久期，當(dāng)y很小時(shí)，二者近似相等,債券的久期,債券的久期和凸性,5,久期是對(duì)債券價(jià)格對(duì)利率敏感性的度量，久期越大同樣利率變化引起的債券價(jià)格

2、變化越大 久期是到期時(shí)間的加權(quán)平均，權(quán)重是t時(shí)刻現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比例,債券的久期,債券的久期和凸性,6,久期：現(xiàn)金流現(xiàn)值翹翹板的支點(diǎn),久期：以現(xiàn)金流占總現(xiàn)值的比例為權(quán)重，對(duì)每次現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間加權(quán)平均的結(jié)果,債券的久期,債券的久期和凸性,7,一、久期的性質(zhì),久期是債券風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量指標(biāo)，債券的久期與債券投資回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差（即債券的風(fēng)險(xiǎn)）的關(guān)系如下,債券的久期,債券的久期和凸性,8,則債券回報(bào)率的方差為,則債券回報(bào)率的風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）為,在收益率微小變動(dòng)下，債券回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險(xiǎn)）為收益率的D*倍。D *越大債券風(fēng)險(xiǎn)越大,債券的久期,債券的久期和凸性,9,債券的久期與息票率、收益率和到期時(shí)間有關(guān)，

3、故久期性質(zhì)就是討論上述的變量關(guān)系，并以此探討債券風(fēng)險(xiǎn)的特征,債券的久期,債券的久期和凸性,10,定理1：零息債券的Macaulay久期等于它們的到期時(shí)間。 短期國(guó)債的Macaulay久期就是其投資期限,債券的久期,債券的久期和凸性,11,定理2：息票債券的Macaulay久期小于它們的到期時(shí)間,所以，DT,債券的久期,債券的久期和凸性,12,定理3：在到期時(shí)間相同的條件下，息票率越大，久期越短,證明：不妨將面值單位化為1，息票率為c，則,兩邊取對(duì)數(shù)得到,債券的久期,債券的久期和凸性,13,所以，息票率c越大，則Macaulay久期D越小。另外當(dāng)N，久期為1+1/y,債券的久期,債券的久期和凸性

4、,14,對(duì)于每個(gè)支付期的票面利率為c、每個(gè)支付期到期收益率為y，還有N個(gè)支付期的債券，其久期計(jì)算公式為,例：考慮息票率為10%，30年期的債券，每年支付利息2次，假設(shè)該債券按面值發(fā)行，求該債券的久期,若該債券以面值出售,債券的久期,債券的久期和凸性,15,定理4：在息票率不變的條件下，到期時(shí)期越長(zhǎng)，久期越大。 證明要點(diǎn)：若息票率相同，長(zhǎng)期債券的波動(dòng)大于短期債券,持有n+1期的債券，有,債券的久期,債券的久期和凸性,16,由此可見(jiàn),同理可證,以上的證明表明，在息票率不變的條件下，長(zhǎng)期債券總是變化得更加劇烈，即長(zhǎng)期債券的久期大于短期債券,債券的久期,債券的久期和凸性,17,證明：分別觀察n期、n+

5、1期和n2期的債券最后1、2期和3期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，其中,定理5：久期以遞減的速度隨到期時(shí)間的增加而增加。 即債券價(jià)格的波動(dòng)幅度隨著期限的增加而增加，但增加的速度遞減：n2年與n+1年的差異小于n1年與n年之間的差異,債券的久期,債券的久期和凸性,18,債券的久期,債券的久期和凸性,19,久期以遞減的速度隨到期時(shí)間的增加而增加。其原因是：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受市場(chǎng)利率的影響最大。 當(dāng)期限增加時(shí)，本金不斷后移，其現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性程度下降。所以，債券價(jià)格受利率影響雖然加大，但增速遞減,債券的久期,債券的久期和凸性,20,證明：由久期的定義,定理6：在其他條件不變的情況下，債券的到

6、期收益率越小，久期越大,債券的久期,債券的久期和凸性,21,1,下面證明,債券的久期,債券的久期和凸性,22,久期的應(yīng)用,例子：假設(shè)一個(gè)10年期零息債券，10年期即期利率為8且具有0.94%的波動(dòng)，則該債券回報(bào)的波動(dòng)率為,債券的久期,債券的久期和凸性,23,久期對(duì)利率的敏感性進(jìn)行測(cè)量實(shí)際上只考慮了價(jià)格變化與收益率之間的線性關(guān)系。而實(shí)際上，市場(chǎng)的實(shí)際情況是非線性的。 所有現(xiàn)金流都只采用了一個(gè)折現(xiàn)率，也即意味著利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的，不符合現(xiàn)實(shí)。 用3個(gè)月的即期利率來(lái)折現(xiàn)30年的債券顯然是不合理的,債券的凸性,債券的久期和凸性,24,久期可以看作是債券價(jià)格對(duì)利率波動(dòng)敏感性的一階估計(jì)。凸性（conve

7、xity）則是二階估計(jì)，它可以對(duì)久期計(jì)量誤差進(jìn)行有效的校正。 為什么需要凸性，能否從數(shù)學(xué)上給予解釋,債券的凸性,債券的久期和凸性,25,凸性是根據(jù)債券價(jià)格p對(duì)收益率y的二階導(dǎo)數(shù)給出的，其金融學(xué)意義比較難以理解，其中一種解釋把凸性看成久期對(duì)利率的敏感度，這是錯(cuò)誤的,債券的凸性,債券的久期和凸性,26,凸性的金融學(xué)含義,由定理6可知,又由于,則,債券的凸性,債券的久期和凸性,27,記,于是,債券的凸性,債券的久期和凸性,28,債券的凸性,債券的久期和凸性,29,凸性的意義：在久期給定的情況下，凸性反映了債券帶來(lái)的現(xiàn)金流的集中程度，現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)金流越分散則凸性越大。 注意：久期是平均意義

8、上的到期時(shí)間。 凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動(dòng)而引起的價(jià)格變動(dòng)幅度的變動(dòng)程度,債券的凸性,債券的久期和凸性,30,凸性的性質(zhì),現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)金流越分散則凸性越大。 到期收益率越大（息票率越大），則凸性越小 到期日越遠(yuǎn)（同等次數(shù)、同等量的現(xiàn)金流但支付越分散），凸性越大。 凸性減少了債券的波動(dòng)性,債券的凸性,債券的久期和凸性,31,凸性具有減少久期近似誤差的性質(zhì)。利率變化引起債券價(jià)格實(shí)際上升的幅度比久期的線性估計(jì)要高，而下降的幅度要小。因此，在其他條件相同時(shí)，人們應(yīng)該偏好凸性大的債券,債券的凸性,債券的久期和凸性,32,例,給定以上數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)狡谑找媛噬仙?時(shí)，債券的價(jià)格

9、將如何變化,債券的凸性,債券的久期和凸性,33,若債券具有相同的市場(chǎng)利率y,由于久期是債券價(jià)格對(duì)利率敏感性的線性計(jì)量，因此，一個(gè)債券組合的久期就是對(duì)該組合中個(gè)別債券久期的加權(quán)平均。 假設(shè)債券組合包括：N1份債券B1和N2份債券B2，其價(jià)格分別為p1和p2,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,34,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,35,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,36,債券組合（久期）免疫,由債券組合的回報(bào)率公式可知，當(dāng)收益率上升時(shí)，債券組合可能發(fā)生損失，若組合的久期為0，則債券組合一定具有非負(fù)的回報(bào)，即相當(dāng)于獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的回報(bào)率。 在債券組合管理中，希望構(gòu)造一個(gè)久期為

10、零的組合，由此來(lái)避免利率風(fēng)險(xiǎn)，即所謂的免疫性（immunity）。 養(yǎng)老金在一定期限后面臨支付義務(wù)（負(fù)債），為此對(duì)投資（資產(chǎn)）具有一定的約束。 考慮負(fù)債與資產(chǎn)相等，但負(fù)債的久期小于資產(chǎn)的久期的，若利率上升可能惡化組合,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,37,債券組合（久期）免疫,2004年初，經(jīng)測(cè)算某養(yǎng)老金負(fù)債的久期為7年，該基金投資兩種債券，其久期分別為3年和11年，那么該基金需要在這兩種債券上分別投資多少才能不受2004年利率風(fēng)險(xiǎn)變化的影響,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,38,免疫算法： 計(jì)算負(fù)債久期 計(jì)算組合中各個(gè)資產(chǎn)的久期 調(diào)整組合中各個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重，使得組合的久期等于負(fù)債的久期 根據(jù)負(fù)債的現(xiàn)值，計(jì)算需投資的資產(chǎn)數(shù)量（金額,債券組合的久期與凸性,債券的久期和凸性,39,問(wèn)題：如果下一年年初，利率沒(méi)有變化，那么，該公司要不要對(duì)投資權(quán)重進(jìn)行調(diào)整,由于負(fù)債的到期日又接近了，因此，可能導(dǎo)致債務(wù)和債權(quán)之間的久期不一致，就需要再平衡。 問(wèn)題：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味著每天需要調(diào)整？ 債券免疫策略：資產(chǎn)管理者需要不斷再平衡以獲得良好的免疫功能和進(jìn)出市場(chǎng)導(dǎo)致的交易成本之間尋求一個(gè)折衷的方案,債券組合的久期與凸性,債