概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試題及答案

1、一、填空題(每小題3分，共30分)1、“事件代B, C中至少有一個不發(fā)生”這一事件可以表示為.2、設(shè) P(A) 0.7, P(AB) 0.3,則 P(AU B) .3、袋中有6個白球,5個紅球，從中任取3個，恰好抽到2個紅球的概率.4、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X k) a, (k 1,2丄，8),則a.85、設(shè)隨機(jī)變量X在(2,8)內(nèi)服從均勻分布，則P( 2X4) .6、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X2101Pk1811515515則Y X9、設(shè)總體X b 10,p ,X1,X2,L ,Xn是來自總體X的樣本，則參數(shù)p的矩估計量為. 110、設(shè)X1,X2,X3是來自總體X的樣本，？X1X2 X3是

2、E(X) 的無偏 3估計，則、(本題12分)甲乙兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.甲企業(yè)生產(chǎn)的60件產(chǎn)品中有12 件是次品乙企業(yè)生產(chǎn)的50件產(chǎn)品中有10件次品.兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品混合 在一起存放，現(xiàn)從中任取1件進(jìn)行檢驗.求：的分布律是.7、設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布,且已知E(X 1)(X2)1,則&設(shè)X1,X2,L ,X9是來自正態(tài)總體N( 2,9)的樣本,X是樣本均植，則X服從的分布是(1)求取出的產(chǎn)品為次品的概率；(2若取出的一件產(chǎn)品為次品，問這件產(chǎn)品是乙企業(yè)生產(chǎn)的概率、(本題12分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為kx, 0x3Xf (x)2 -, 3 x 4(1確定常數(shù)k; (2)求X的分布

3、函數(shù)F(x);20, 其它(3)求 P 1 X 7 .2四、(本題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律為Y X01210.10.20.12a0.10.2試求：(1)a的值；X與丫的邊緣分布律；X與丫是否獨(dú)立？為什么？五、(本題12分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x, 0 x 1,2 x,1 x 2, 求 E X ,D X0,其他.六、（本題12分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為xe小P（X x）, x 0,1,2丄,0x!其中 為未知參數(shù)，Xi,X2, ,Xn為一組樣本觀察值，求 的極大似然估計值.七、（本題10分）某種零件的尺寸方差為2 1.21,對一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)（毫米）:

4、32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是 32.50毫米（0.05）?(附：tg.025 52.5706,to25 62.4469,t0.025 72.3646,石.05 1.65,zq.025 1.96,V6 2.45、填空題(每小題3分，共30分)1、ABC 或 AuBuC2、0.63、c；c：CT或或110.36361x2|0144、15、-6、n1313Pki5557、18、N( 2,1)9、X106、(本題12分)甲乙兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.甲企業(yè)生產(chǎn)的60件產(chǎn)品中有12 件是次品乙企業(yè)生產(chǎn)

5、的50件產(chǎn)品中有10件次品.兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品混合 在一起存放，現(xiàn)從中任取1件進(jìn)行檢驗.求：(1)求取出的產(chǎn)品為次品的概率；(2若取出的一件產(chǎn)品為次品，問這件產(chǎn)品是乙企業(yè)生產(chǎn)的概率解 設(shè)A1, A2分別表示取出的產(chǎn)品為甲企業(yè)和乙企業(yè)生產(chǎn) 次品，則由已知有60650512P(A),P(A2),P(B|A)110 11110 1160(1)由全概率公式得,B表示取出的零件為1 10EE 102.分P(B) P(A)P(B|A) p(A2)p(B|A2)1 11 5 11 557分由貝葉斯公式得p(A2 B) p(A)P(BA2)P(B)5 111 5151112.分.、(本題12分)設(shè)隨機(jī)變量X的

6、概率密度為kx,0x3f(x)2 2,3x40,其它(1確定常數(shù)k ; (2)求X的分布函數(shù)F (x); (3)求P 1 X -2解(1)由概率密度的性質(zhì)知3f(x)dx kxdxdx9k1故k 3.分.6x(2)當(dāng)x0時,F(x)f (t)dt 0;當(dāng)0x 3時,F(x)xf(t)dtx1tdt12 xJ0 612當(dāng)3x 4時,F(x)xf(t)dt31 tdtx2-dt-x2 2x 3063244時，F(xiàn)(x)x314t當(dāng)xf(t)dt 0tdt2dt 1 ;6 32故X的分布函數(shù)為0,x 01 2x,0 x3F(x)129分.1 22x3,3 xx441,x 47715 14112 分.(

7、3) P 1X -FF(1)2216 1248四、(本題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律為Y X01210.10.20.12a0.10.2試求:(1) a的值；(2)X和丫的邊緣分布律；(3)X與丫是否獨(dú)立？為什么？ 解(1)由分布律的性質(zhì)知01. 0.2 0.1 a 0.1 0.2 1X0 1 2P0.4 0.3 0.3Y1 2P0.4 0.6(3)由于P X 0,Y 10.1,P X 0 P Y(X,Y)分別關(guān)于X和丫的邊緣分布律為P X 0,Y1 P X 0 P Y 1故 a 0.34.分6.分8.分10.4 0.4 0.16，故x, 0 x 1,f X2 x,1 x 2,0

8、,其他.求 E X , DX .解 E(X)1 2xf (x)dx 0 x dx13 221 32x3x(2 x)dxxx1.1303 16.分E(X2)2 n -0 得？ 一xixn i 1 3x2f (x)dx ox3dx2 27x2(2 x)dx 1 69.分.D(X)E(X2) E(X)2：.612.分.五、（本題12分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為六、（本題12分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為x 0,1,2,L ,0XeP(X x)所以X與Y不相互獨(dú)立12.分x!其中為未知參數(shù),X1,X2,Xn為一組樣本觀察值，求的極大似然估計值.解似然函數(shù)1Xi!對數(shù)似然函數(shù)In LInXiIn1Xi

9、!6.分&分10.分d I n Ld解似然方程如dXii 1所以 的極大似然估計值為? X12分七、（本題10分）某種零件的尺寸方差為2 1.21,對一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是32.50毫米(0.05)?(附:to.025 52.57O6,to.o25 62.4469,to.o25 72.3646,Z0.05 1.65,z0.o251.96)解 總體X N , 2，總體方差已知，檢驗總體期望值是否等于32.50.（1）提出待檢假設(shè)H。：032.50;比：032.501.分.X 選取統(tǒng)計量Z. 0 ,在H。成立的條件下ZN（0,1） 2.分./ Jn(3) 對于給定的檢驗水平0.05,查表確定臨界值Z /2Z0.025 1.96于是拒絕域為 W(, 1.96)U(1.96,).(4) 根據(jù)樣本