概率統(tǒng)計(jì)及隨機(jī)過(guò)程：6.1 大數(shù)定律與中心極限定理

1、第六章 大數(shù)定律與中心極限定理,本章要解決的問(wèn)題,為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？,為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？,為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？,大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？,大數(shù) 定律,中心極 限定理,1,設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量 X 的期望 E( X )存在， 則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,馬爾可夫（Markov） 不等式,證 僅證連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,6.1 大數(shù)定律,2,設(shè)隨機(jī)變量 X 的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩 E( |X |k)存在， 則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,推論 1,設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差 D ( X )存在， 則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0,推論 2 切貝雪夫（ cheby

2、shev ）不等式,或,3,例1 設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計(jì) 在任選的 6000 粒種子中, 良種所占比例與 1/6 比較上下小于1%的概率.,解 設(shè) X 表示 6000 粒種子中的良種數(shù) ,X B (6000,1/6 ),4,實(shí)際精確計(jì)算：,用Poisson 分布近似計(jì)算：,取 = 1000,5,例2 設(shè)每次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的概率為 0.75, 試用 Chebyshev 不等式估計(jì), n 多大時(shí), 才 能在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件 A 出現(xiàn)的 頻率在0.74 0.76 之間的概率大于 0.90?,解 設(shè) X 表示 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生 的次數(shù) , 則

3、,X B(n,0.75),6,即,即,由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故,令,解得,7,若 E(X ) = , D(X ) = 2, 類似于正態(tài)分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估計(jì),8,大數(shù)定律,貝努里（Bernoulli） 大數(shù)定律,設(shè) nA 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的 次數(shù), p 是每次試驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率，則,有,或,9,證 引入隨機(jī)變量序列Xk,設(shè),則,相互獨(dú)立，,記,由Chebyshev 不等式,10,故,11,貝努里（Bernoulli） 大數(shù)定律的意義：,12,定義,a 是一常數(shù)，,(或,故,13,在 Bernoulli 定理的

4、證明過(guò)程中， Y n 是相互 獨(dú)立的服從 0-1分布的隨機(jī)變量序列 Xk 的 算術(shù)平均值, Y n 依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望 p .,結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨(dú)立隨 機(jī)變量序列.,14,有,Chebyshev 大數(shù)定律,(指任意給定 n 1, 相互獨(dú)立)，,證明：由chebyshev不等式可得。,15,推論： 獨(dú)立同分布時(shí)的 Chebyshev 大數(shù)定律,或,16,定理的意義：,當(dāng) n 足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎就是一個(gè)常數(shù), 可以用算術(shù)平均值近似地代替數(shù)學(xué)期望.,具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.,17,6.2 中心極限定理,定理1 獨(dú)立同分布的中心極

5、限定理,則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ,18,注：,即 n 足夠大時(shí)，Y n 的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 隨機(jī)變量的分布函數(shù),記,近似,近似服從,19,定理2 德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 （DeMoivre-Laplace ）,Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,則對(duì)任一實(shí)數(shù) x，有,是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)， p為A發(fā)生概率，即,20,即對(duì)任意的 a b,Y n N (np , np(1-p) (近似),證明：,21,例1 設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計(jì) 在任選的6000粒種子中，良種所占比例與 1/6比較上下不超過(guò)1%的概率.,解 設(shè) X 表示6000粒

6、種子中的良種數(shù) , 則,X B(6000,1/6),22,23,比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果,用中心極限定理,用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果),用Poisson 分布,用Chebyshev 不等式,24,例2 某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工 率為0.6. 開工時(shí)每臺(tái)耗電量為 r 千瓦. 問(wèn)供 電所至少要供給這個(gè)車間多少電力, 才能以 99.9% 的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足 而影響生產(chǎn)？,解 設(shè)至少要供給這個(gè)車間 a 千瓦的電力,設(shè) X 為200 臺(tái)車床的開工數(shù).,X B(200,0.6) ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 a , 使,X N (120, 48) (近似),25,由于將 X 近似地看成正態(tài)分布，故,26,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得,令,27,例3 檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品, 每檢查一只 產(chǎn)品需要用10秒鐘 . 但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢 查一次，再用去10秒鐘. 假設(shè)產(chǎn)品需要重 復(fù)檢查的概率為 0.5, 求檢驗(yàn)員在 8 小時(shí)內(nèi) 檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率.,解 檢驗(yàn)員在 8 小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè) 即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于 8 小時(shí).,設(shè) X 為檢查1900 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位： 秒),設(shè) Xk 為檢查第 k 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒), k = 1,2,1900,28,0.5 0.5,相互獨(dú)立,且同分布,29,30,中心極限定理