高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法

1、 數(shù)學(xué)歸納法編寫人：雷州八中高三數(shù)學(xué)組 審稿人： 2014/3/3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法。3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。【重點、難點】重點：數(shù)學(xué)歸納法。難點：用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。【自主探究】1、數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法。2、數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟是：（1）（猜想）（2）（歸納奠基）驗證：n=1時，命題成立。（3）（歸納遞推）在假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時命題成立的前提下，推出當(dāng)n=k+1時，命題成立。根據(jù)（1）（2）（3）可證明命題對一切正整數(shù)n都成立?！竞献魈骄俊?、用數(shù)

2、學(xué)歸納法證明：12+22+n2=(n是正整數(shù))證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=12=1,右邊=1,等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即12+22+k2=.則當(dāng)n=k+1時，由假設(shè)12+22+ k2 +( k+1)2=+( k+1)2=即當(dāng)n=k+1時，等式成立.由(1)(2)知對于nN+等式成立.反思：在數(shù)學(xué)歸納法中最困難的一步是證明當(dāng)n=k+1 時命題也成立，分析n=k+1 命題是什么，并找出與n=k 時命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握代數(shù)變形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添項、拆項、放縮等。2、已知數(shù)列猜想Sn的表達(dá)式,并證明. （試值S1,S2,

3、S3,S4猜想Sn）用數(shù)學(xué)歸納法證明。解：小結(jié)：討論如何直接求此題的Sn.（裂項相消法）探索性問題的解決過程(試值猜想歸納證明).3、比較2n 與 n2 的大小解：n=1時2112即2n n2 ， n=2時22=22即2n=n2n=3時即， n=4時即n=5時即， n=6時即（1）猜想：當(dāng)n5時, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（2）當(dāng)n=5時，由上已知，猜想正確.（3）假設(shè)n=k()時，猜想正確.即當(dāng)n=k+1時,即n=k+1時，猜想也正確。由（1）（2）（3）知n5時, 【對抗質(zhì)疑】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（nN），某學(xué)生的如下證明過程是否正確？（1）, 不等式成立。（2）假設(shè)時不等式成立，即不等式

4、成立。由上述（1）（2）得原不等式成立。分析：上述的證明方法表面上似乎是“數(shù)學(xué)歸納法”，其實不是。因為第二步由n=k推導(dǎo)n=k+1時沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立，數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，必須把歸納假設(shè)“n=k”作為條件來導(dǎo)出“”時的命題。【鞏固提高】1、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1=， (a1，nN)”時，在驗證n=1成立時，左邊應(yīng)該是 （ C ）(A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“,的過程中，當(dāng)由變到時，左邊增加了（ C ）(A)1項 (B) (C)項 (D) 項3、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 時，若已假設(shè)為偶數(shù)）時命題為真

5、，則還需要用歸納假設(shè)再證（ B ）A時等式成立B時等式成立C時等式成立D時等式成立4、數(shù)列中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計算S1，S2，S3，猜想當(dāng)n1時，Sn=（ B ）ABCD15、已知數(shù)列an滿足Snan2n1, (1) 寫出a1, a2, a3,并推測an的表達(dá)式；(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。解： (1) a1, a2, a3 猜測 an2 ？ (2) 由（1）已得當(dāng)n1時，命題成立； 假設(shè)nk時,命題成立，即 ak2, 當(dāng)nk1時, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即當(dāng)nk1時,命題成立. 由上述、得命題成立?！痉椒ㄐ〗Y(jié)】：數(shù)學(xué)歸納