第五章奇數(shù)與偶數(shù)

1、第五章奇數(shù)與偶數(shù)知識對接1. 奇偶數(shù)我們把自然數(shù)能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)，一切整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。2疑難點（1）運用奇偶性來判斷。（2）根據(jù)奇偶性進行計算。3競賽拓展奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)= 偶數(shù)或奇數(shù) 思維對接一 奇偶數(shù)的判斷整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩大類，做奇偶數(shù)的判斷題，可以利用它們的定義，此外也需要靈活運用奇偶數(shù)的運算性質(zhì)。例1 按要求將下面的數(shù)分類11,32,46,57,94,587,693,2

2、76,548,1532（1）屬于奇數(shù)的有；（2）屬于偶數(shù)的有；思路點撥：能被2整除的是偶數(shù)，不能的則是奇數(shù)。解答：（1）屬于奇數(shù)的有11,57,587,693 （2）屬于偶數(shù)的有32,46,94.276,548,1532【跟蹤練習(xí)1】按要求將下面的數(shù)分類44,67,83,94,846,512,773,1643,1842（1）屬于奇數(shù)的有；（2）屬于偶數(shù)的有； 例2 今有一 隊小朋友，球場上共三種球，每人都拿著一個球，如果其中拿籃球的比拿排球的多1人，而拿排球的又比拿足球的多1人，設(shè)拿足球的人數(shù)是奇數(shù)，那么這隊小朋友的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？思路點撥：因為拿排球的人數(shù)比拿足球的人數(shù)多1人，所以拿排球

3、的人數(shù)=奇數(shù)+1=偶數(shù)，又因為拿籃球的人數(shù)比拿排球的人數(shù)多1人，所以拿籃球的人數(shù)=偶數(shù)+1=奇數(shù)，從而知道這隊小朋友的人數(shù)為偶數(shù)。解答：奇數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)答：這隊小朋友的人數(shù)為偶數(shù)。【跟蹤練習(xí)2】100個箱子，分裝到9只船上，要使在每只船上都裝奇數(shù)個箱子，能否辦到？為什么？例3新年前夕，同學(xué)們相互送賀年卡，每人只要接到別人贈的賀年卡就一定要回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？思路點撥：由于是互送賀年卡，所以賀年卡的總張數(shù)一定能被2整除，即賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。將賀年卡的人分成兩類：一類是送了偶數(shù)張賀年卡的人，他們送出的賀年卡總和是偶數(shù)。因為若干個偶數(shù)的和是偶數(shù)；

4、另一類是送了奇數(shù)張賀年卡的人。他們送的賀年卡總數(shù)=總張數(shù)送偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。只有偶數(shù)個奇數(shù)相加，其結(jié)果才能是偶數(shù)，所以送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是偶數(shù)。解答：送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是偶數(shù)?！靖櫨毩?xí)3】閱覽室的教室是9行9列，坐滿了學(xué)生?，F(xiàn)在做一項游戲，當(dāng)鈴聲響后，每個同學(xué)都要與自己前后或左右相鄰的某個同交換一次座位，問這項游戲能實現(xiàn)嗎？說明道理。 二奇偶數(shù)的計算這類題一般是關(guān)于奇偶數(shù)個數(shù)的問題，解題時要弄清題意，找出規(guī)律，再結(jié)合奇偶數(shù)的運算性質(zhì)求解。例4從公元1年到公元2年，公元3000年。在這些年份當(dāng)中，有多少個奇數(shù)年？有多少個偶數(shù)？思路點撥：我們把這些年份按順

5、序排成一列數(shù)：1,2,3,4,5,6，1999,2000.可以發(fā)現(xiàn)：這些數(shù)，奇數(shù)、偶數(shù)先后依次交替出現(xiàn)，最先是奇數(shù)，最后是偶數(shù)，可見奇數(shù)和偶數(shù)一樣多，而奇數(shù)和偶數(shù)一共有2000個，所以答案就顯而易見了。解答：因為奇數(shù)年份和偶數(shù)年份一樣多，它們一共有2000個，所以，奇數(shù)年份和偶數(shù)年份各有：20002=1000（個） 答奇數(shù)年份1000個，偶數(shù)年份1000個。【跟蹤練習(xí)4】用數(shù)字1、3、0可以組成多少個奇數(shù)和偶數(shù)？例5、有一列數(shù)1,1,1,3,5,8,13,21,34,55，從第個數(shù)開始，每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和。那么在前1000個數(shù)中，有多少個奇數(shù)？思路點撥：根據(jù)“奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)

6、及第一、第二個數(shù)都是奇數(shù)，按照這列數(shù)的組成規(guī)律知，各數(shù)的奇偶性依次為：奇奇偶奇奇偶奇奇偶即每三個數(shù)為一組，其中前兩個數(shù)是數(shù)，后一個數(shù)是偶數(shù)。10003=3331所以1000個數(shù)中有偶數(shù)333個，有奇數(shù)1000333=667(個)解答:10003=3331,1000333=667（個）答：在前1000個數(shù)中有667個奇數(shù)。【跟蹤練習(xí)5】101個數(shù)排成一行：0,1,3,8,21，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這101個數(shù)中有多少個奇數(shù)?三、利用奇偶數(shù)解答疑難問題當(dāng)我們在分析解答問題時，如果感覺到該數(shù)學(xué)問題與數(shù)的大小無關(guān)，或關(guān)系不大時，要想到利用數(shù)的奇偶性進行分析。例6、

7、十二張撲克牌 ，2點，10點，各4張。能從中選出7張牌，使其上面點數(shù)之和等于52嗎？說明理由。思路點撥：由于各牌點數(shù)分別為以下三種情況：2=21；6=23；10=25.從12張牌中任取七張牌的點數(shù)之和為：2乘7個奇數(shù)之和。因為7個奇數(shù)之和仍為奇數(shù)，故它等于一個奇數(shù)的2倍，而52=226，是一個偶數(shù)的2倍。解答：因為一個奇數(shù)的2倍不可能等于一個偶數(shù)的2倍，所以不能選出。【跟蹤練習(xí)6】一條公路上，從起點起，每隔1米種1棵樹，如果把三塊“愛護樹木” 的小牌分別掛在3棵樹上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）。這是為什么？小學(xué)競賽突破例7今有6只杯口全朝上的杯子，每

8、次將其中的4只同時翻轉(zhuǎn)，問能不能經(jīng)過這樣有限多次的翻轉(zhuǎn)，使杯口全部朝下？為什么？思路點撥：為了更好的理解，我們畫圖表分析。用表示杯口向上，表示杯口向下，那么按照下表的方法，每次翻轉(zhuǎn)四只杯子，經(jīng)過3次這樣的翻轉(zhuǎn)后，就可以使6只杯子的杯口全部向下。杯子號123456開始狀態(tài)1次翻轉(zhuǎn)2次翻轉(zhuǎn)3次翻轉(zhuǎn)解答:根據(jù)上表，我們分析從縱的方向看，第1只杯子翻轉(zhuǎn)了一次，6只杯子翻轉(zhuǎn)的次數(shù)分別為1,3，3,3,1,1，所以6只杯子翻轉(zhuǎn)次數(shù)的總和為1+3+3+3+1+1=12(次)是個偶數(shù)；從橫的方向看，每次同時翻轉(zhuǎn)4只杯子，三次翻轉(zhuǎn)總共翻轉(zhuǎn)34=12（次）也是偶數(shù)【跟蹤練習(xí)7】在圖中的每個中填入一個自然數(shù)（可以相

9、同），使得任意兩個相鄰的中的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標(biāo)的數(shù)。能否辦到？為什么？例8、和的乘積中有多少個數(shù)字為奇數(shù)？思路點撥：這種類型的題，如求出乘積，奇數(shù)字個數(shù)自然可以數(shù)出，然而這樣大的數(shù)，直接求出乘積，比較困難。我們還是用進退思維方法來思考。 奇數(shù)字個數(shù)解答： 19=9 1 1199=1089 2 111999= 3 11119999= 4從這結(jié)果似乎看出有某種規(guī)律，這規(guī)律不會隨著兩個因數(shù)位置的變化而改變。因此我們可以猜想，因數(shù)中數(shù)字1或9的個數(shù)，就是乘積中奇數(shù)的個數(shù)，檢驗一下：1111199999=，由以上分析，得的乘積中有10個奇數(shù)。答：和的乘積中有10個數(shù)字為奇數(shù)。【跟蹤

10、練習(xí)8】任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù)。試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于999.例9、五（二）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題給3分，不答的題每道給1分，答錯一題扣1分，試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？思路點撥：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。解答：因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)?！靖櫨毩?xí)9】某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩個人之間的

11、通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？能力對接80分鐘演練 1、五哥自然數(shù)相加的和是，這五哥數(shù)中奇數(shù)最多有（ ）A 9 B 5 C 4 D不能確定2、用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)有（）、能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？4、在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手，請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。5、如果十個互不相同的兩位奇數(shù)之和等于898，那么，這十個數(shù)中最小的一個是多少？6、如果兩個人互相握手，那么每個人都握了一次手。問：握了奇數(shù)次手的人的總數(shù)是奇數(shù)還

12、是偶數(shù)？7、有6個學(xué)生都面向北方站成一行，每喊一次口令只能5人向后轉(zhuǎn)，則最少喊多少次口令，才能使這6個學(xué)生都面向南方？8、7個相鄰的奇數(shù)和是147，求這7個數(shù)。9、有12張卡片，其中有三張上面寫著1,三張上寫著3,三張上寫著5，三張上寫著7.問：能否從中選出五張使它們上面的數(shù)字之和為20，為什么？10、37筐水果，由5只小船運過河去，要求每只小船上裝偶數(shù)筐水果，同學(xué)們想一想是否可能？11、在下面的一列數(shù)中，1,9,9,9,8,5,1,3,7,6，從第五個數(shù)起，均為它前面相鄰4個數(shù)之和的個位數(shù)，那么，在這列數(shù)中能否出現(xiàn)相鄰的4個數(shù)字：2,0,0,0？100分鐘演練12、將1100這100個自然數(shù)

13、任意排成一排，在這些相鄰的三個數(shù)之和中，至少有個奇數(shù)，至多有個奇數(shù)。13、五年級全年級共有學(xué)生300名，現(xiàn)在選派一位同學(xué)去觀看文藝會演。挑選的方法是：先把300名同學(xué)排成一排，由第一名開始報數(shù)，報奇數(shù)的同學(xué)落選退出隊列，報偶數(shù)的同學(xué)站在原位置上不動，再報數(shù)，如此繼續(xù)下去最后剩下的一名同學(xué)便是觀看會演的人選。丁丁非常想去，那么讓丁丁站在什么位置上能被選中？14、在55的小方格紙中，每一個小方格中都有一只螞蟻，現(xiàn)在要求每只螞蟻都爬到相鄰格(有公共邊的格子)中去，使得每只螞蟻都有一個小方格，能否做到，為什么？15、圍棋子只有黑色和白色，桌上擺著五堆圍棋子，每堆的棋子數(shù)是任意堆放得的。請你說明：總可以

14、找到其中的兩堆，使得這兩堆的白棋子數(shù)和黑棋子數(shù)都可以平均分給兩人。16、一組黑白相間的方格紙，用記號（2,3）表示從上往下數(shù)第二行，從左往右數(shù)第3列的這一格，如圖，問（19,93）這一格是黑色還是白色？17、紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影，有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐得是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？ 第五章答案跟蹤練習(xí)1解(1)屬于奇數(shù)的有67,83,773,1643（2）屬于偶數(shù)的有44,94,846,512,1842跟蹤練習(xí)2要使9只船上裝有奇數(shù)個箱子，則9只船上箱子的和為9個奇數(shù)的和仍為奇數(shù)，而箱子總數(shù)為10

15、0，是偶數(shù)，因此這樣的裝法是不可能實現(xiàn)的。跟蹤練習(xí)3解:假定閱覽室的座位被黑白相間的圖上顏色。則同色前后左右不相鄰，座位共99=81，假定其中40個座位是白色，41個座位是黑色，40是偶數(shù)，41是奇數(shù)，這兩種顏色座位的個數(shù)奇偶性都不同，因此這次交換座位黑色換成白色是無法實現(xiàn)的。跟蹤練習(xí)4偶數(shù)有：0,10,30,130,310共5個奇數(shù)有：1,3,31,13,103,301共6個跟蹤練習(xí)5解：這101個數(shù)中前面的一些數(shù)是：0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，周期是3,1013=332可分成33組，每組中有2個奇數(shù)，最后余下的2個

16、數(shù)中正好是1個偶數(shù)，1個奇數(shù)，因此這列數(shù)共有奇數(shù)的個數(shù)是332+1=67(個)答：這101個數(shù)中有67個奇數(shù)。跟蹤練習(xí)6解:根據(jù)種植要求可知每棵數(shù)與起點的距離為1米，2米，3米這樣按他們各自與起點的編號為1,2,3于是，這兩棵樹德距離就是這兩棵樹的號碼之差，掛牌的3棵樹的編號只有三個數(shù)都是奇數(shù)，兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，三個都是偶數(shù)，兩個偶數(shù)一個奇數(shù)，根據(jù)奇偶性奇-奇=偶，偶-偶=偶。答至少有兩棵掛牌樹之間的距離數(shù)是偶數(shù)。跟蹤練習(xí)7解：假定圖中5與1之間的中的數(shù)是奇數(shù)，按順時針加上或減去標(biāo)出的數(shù)字，依次得到各個中的數(shù)的奇偶性如下，奇1偶2偶3奇4奇5偶，因為上面兩端是同一個中的數(shù)，而奇偶，矛盾所以題目

17、要求是不能辦到的跟蹤練習(xí)8本題正面求證很困難，假設(shè)結(jié)論正確，設(shè)原數(shù)為abc,改變位置后新數(shù)是abc,設(shè)原數(shù)和新數(shù)的和是999，即abc+abc=999則有a+a=b+b=c+c=9,因為9不可能是進位后得到的。又因為a,b,c是a,b,c,調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a+b+c因此又(a+a)+(b+b)+(c+c)=9+9+9即2（a+b+c）=39=27是奇數(shù)，可見左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和是999是錯誤的。跟蹤練習(xí)9解：因為這次活動是有來有往的，所以總的通信數(shù)是偶數(shù)，寫了偶數(shù)封信的人寫信的總數(shù)是偶數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也是偶數(shù)，因

18、為只有偶數(shù)個奇數(shù)之和才是偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人數(shù)是偶數(shù)。80分演練1、 C因為是偶數(shù)，所以4個奇數(shù)加上1個偶數(shù)為偶數(shù)。2、 B組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有54321=120（個），又2與4是偶數(shù)，占25，所以偶數(shù)有12025=48（個）3、 解：五個奇數(shù)的和不可能等于22.4、 解：握手是2人的事，所以一群人握手總次數(shù)一定是偶數(shù)，用A表示握了偶數(shù)次手的人，用B表示握了奇數(shù)次手的人。A類人握手總次數(shù)是偶數(shù)個偶數(shù)的是偶數(shù)，只有偶數(shù)個奇數(shù)相加才是偶數(shù)，所以B類人共有偶數(shù)個，答案是偶數(shù)。5、 要求十個數(shù)中最小的那個數(shù)必須使9個兩位奇數(shù)足夠大，而且它們不相同，那么這9個數(shù)是9997、95、93、91、8

19、9、87、85、83他們的和是819，所以，最小的一個數(shù)是898-819=796、 兩人握手對每個人來說都握了一次，所以握手總次數(shù)是偶數(shù)，假設(shè)握了奇數(shù)次手的人是奇數(shù)，那么握手總次數(shù)將為奇數(shù)，矛盾。由此，握了奇數(shù)次手的人總數(shù)必是偶數(shù)。7、 每個學(xué)生只做奇數(shù)次向后轉(zhuǎn)，才能由面向北方而轉(zhuǎn)向南方，則向后轉(zhuǎn)得次數(shù)為偶數(shù)，如果每次口令5人向后轉(zhuǎn)所以必須喊偶數(shù)次口令，最少為6次。8、 解法一：設(shè)第一個奇數(shù)為a,則7個奇數(shù)的和為a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)+(a+10)+(a+12)=147,7a+42=147,a=15依次為17，19,21,23,25,27。解法二：在這7個數(shù)中排列與中間的數(shù)是1477=21，這是第4個，依次是15,17,19,21,23,25,27.9、 因為5個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不等于20，所以不能從中選出5張使它們的數(shù)字之和為20.10、 如果能夠滿足要求，即每只船上裝偶數(shù)筐水果。5個船上水果筐的總數(shù)就是5個偶數(shù)之和結(jié)果也是偶數(shù)，而37是奇數(shù)，奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，所以是不可能的。11、 從第25項為3奇1偶之和，從36項，47項，58項都是3奇1偶之和為奇，又出現(xiàn)了四個奇數(shù)相鄰的情形如此4奇1偶的排列規(guī)律。不會出現(xiàn)2,0,0,0的情形。100分演練、12、 因為（1）奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶，25個奇奇偶偶偶偶偶偶偶 25個偶（2