基本不等式均值不等式技巧

1、 【基本知識】22ba?22（當且僅當，則11.（）若，則 (2)若ba?abb?2a?Ra,b?a,b?R?ab 2”）=時取“ ba?*ab?b?2aRa,b?R,b?ab?a，則若(1)2. 若 (2)，則（當且僅當ab? 2 ”）時取“=2ba?*Ra,b?ba? ，則(3)時取“=” (當且僅當若）?ab? 2?333ca?b333?abcabc?R3)，a?b?c?、(ab、c?=ca =b =” ,(4) 當且僅當“時 3 號成立；3c?a?b?a = b = c,當且僅當時 ,?3)c?Rb?a?b?c?3abcabc?(a、? 3?= .”號成立“ 22b?a?baba?R?

2、,ba2 ）”，則（當且僅當時取“=若4.?)( 22）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，1注：（ 可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” ）求最值的條件“一正，二定，三取等”（2222b?aba? 。熟悉一個重要的不等式鏈： ?ab(3) 1122? ba 【技巧講解】條件不滿足時關鍵在于利用均值不等式做題時，技巧一：湊項（增減項）與湊系數(shù)（ 構(gòu)造條件。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式、平方等方式進行構(gòu)造） 51?x：已知，求函數(shù)1的最大值。 ?y?4x?2 45?4x)xy?x(8?2 的最大值。2. 當時，求3)2xx(3?y?4?

3、x0? ，求函數(shù)：設的最大值。3 211)x?(xy?的最小值。4、求函數(shù) 21)x?2( 已知，且滿足，求的最大值. 5 2y2 2yxxyx . 6已知1，為正實數(shù)，且的最大值 1，求 2 .若且,求的最小值7 技巧一答案：12?4x?504x不是常數(shù)，所以對，所以首先要“調(diào)整”符號，又1解：因g2)(4x? 5x4? 要進行拆、湊項，511?2?3?1 ，0x?4,?5?xQ?3?4x?54?y?x?2? 44x?55?4x?1y?11?x?1x?5?4x。當且僅當，即時，上式等號成立，故當 時， max5?4x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。 2解析：由知，

4、利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的2x?(8?2x)?8y?x(8?2x)湊上一個形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將系數(shù)即可。 y?x(8?2x)xx的最大值為時，當時取等號當，即2 28。 評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不 等式求最大值。2392x2x?3?0?3?2x?x0? 3、解：?2?2x(3?22x)4y?x(3?2x)? 222?33?,0x?,2xx2?3? 即當且僅當時等號成立。 24? 解析：4111x?11x? 1)?1(x1)(x?(x?1)?1(x?yx?1) 2221)?1)22

5、2(xx2(x?1)2(? 11?1x?x11x?35=1)?(x?1?3?”即“，當且僅當時，2x?1?3 221)?22(x1)?2(22x225 號成立，故此函數(shù)最小值是。 2利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關鍵在于構(gòu)造條件，使其評析： （常常是拆底次的式子）等方式進行構(gòu)造。積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項 而已知是與的和為定 5、分析 , 是二項“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， . 值，故應先配系數(shù)，即將變形為，再用均值不等式 當且僅當，即時，等號成立. 所以的最大值是. 2 2baab 6分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式。 2 2y11222xyyx

6、y 12 2 同時還應化簡1 中 前面的系數(shù)為 ， 22 2y1x 22 2y1x，下面將 分別看成兩個因式： 22 2 21y1y 22 2 ( )xx 22222y312xxxy 2 1 即 42222 2y31 2 224 7分析 初看，這是一個三元式的最值問題，無法利用+b來解決.換個思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 技巧二 分離或裂項 ：210?7xx?y?1)(x?求 的值域。 1. 1?x）x（1+ . 2求函數(shù)的值域=y ）xx1+2（ x）的項，再將其11解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（ 分離。 4951)?y2（x?x 當,即時1,（當且僅當時取“”號）。1x?）x+1（ 2、解：可將上式轉(zhuǎn)化為?y -11+2(x+1-1)1）（x? 1+1）（x= = 121