基本不等式均值不等式技巧

1、 【基本知識(shí)】22ba?22（當(dāng)且僅當(dāng)，則11.（）若，則 (2)若ba?abb?2a?Ra,b?a,b?R?ab 2”）=時(shí)取“ ba?*ab?b?2aRa,b?R,b?ab?a，則若(1)2. 若 (2)，則（當(dāng)且僅當(dāng)ab? 2 ”）時(shí)取“=2ba?*Ra,b?ba? ，則(3)時(shí)取“=” (當(dāng)且僅當(dāng)若）?ab? 2?333ca?b333?abcabc?R3)，a?b?c?、(ab、c?=ca =b =” ,(4) 當(dāng)且僅當(dāng)“時(shí) 3 號(hào)成立；3c?a?b?a = b = c,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) ,?3)c?Rb?a?b?c?3abcabc?(a、? 3?= .”號(hào)成立“ 22b?a?baba?R?

2、,ba2 ）”，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=若4.?)( 22）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，1注：（ 可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” ）求最值的條件“一正，二定，三取等”（2222b?aba? 。熟悉一個(gè)重要的不等式鏈： ?ab(3) 1122? ba 【技巧講解】條件不滿足時(shí)關(guān)鍵在于利用均值不等式做題時(shí)，技巧一：湊項(xiàng)（增減項(xiàng)）與湊系數(shù)（ 構(gòu)造條件。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造） 51?x：已知，求函數(shù)1的最大值。 ?y?4x?2 45?4x)xy?x(8?2 的最大值。2. 當(dāng)時(shí)，求3)2xx(3?y?4?

3、x0? ，求函數(shù)：設(shè)的最大值。3 211)x?(xy?的最小值。4、求函數(shù) 21)x?2( 已知，且滿足，求的最大值. 5 2y2 2yxxyx . 6已知1，為正實(shí)數(shù)，且的最大值 1，求 2 .若且,求的最小值7 技巧一答案：12?4x?504x不是常數(shù)，所以對(duì)，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又1解：因g2)(4x? 5x4? 要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，511?2?3?1 ，0x?4,?5?xQ?3?4x?54?y?x?2? 44x?55?4x?1y?11?x?1x?5?4x。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng) 時(shí)， max5?4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。 2解析：由知，

4、利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的2x?(8?2x)?8y?x(8?2x)湊上一個(gè)形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將系數(shù)即可。 y?x(8?2x)xx的最大值為時(shí)，當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)，即2 28。 評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不 等式求最大值。2392x2x?3?0?3?2x?x0? 3、解：?2?2x(3?22x)4y?x(3?2x)? 222?33?,0x?,2xx2?3? 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 24? 解析：4111x?11x? 1)?1(x1)(x?(x?1)?1(x?yx?1) 2221)?1)22

5、2(xx2(x?1)2(? 11?1x?x11x?35=1)?(x?1?3?”即“，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，2x?1?3 221)?22(x1)?2(22x225 號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是。 2利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其評(píng)析： （常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng) 而已知是與的和為定 5、分析 , 是二項(xiàng)“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， . 值，故應(yīng)先配系數(shù)，即將變形為，再用均值不等式 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 所以的最大值是. 2 2baab 6分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式。 2 2y11222xyyx

6、y 12 2 同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1 中 前面的系數(shù)為 ， 22 2y1x 22 2y1x，下面將 分別看成兩個(gè)因式： 22 2 21y1y 22 2 ( )xx 22222y312xxxy 2 1 即 42222 2y31 2 224 7分析 初看，這是一個(gè)三元式的最值問題，無(wú)法利用+b來(lái)解決.換個(gè)思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 技巧二 分離或裂項(xiàng) ：210?7xx?y?1)(x?求 的值域。 1. 1?x）x（1+ . 2求函數(shù)的值域=y ）xx1+2（ x）的項(xiàng)，再將其11解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（ 分離。 4951)?y2（x?x 當(dāng),即時(shí)1,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)）。1x?）x+1（ 2、解：可將上式轉(zhuǎn)化為?y -11+2(x+1-1)1）（x? 1+1）（x= = 121