2.3.2平面與平面垂直的判定定理

1、2.3.2平面與平面垂 直的判定定理復習引入1在立體幾何中，“異面直線所成的角”是怎樣定義的？UP直線、是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線2嘰 方7，我們把相交直線力和夕所成的銳角（或直角）叫做異面 直線所成的角范圍：（0役90。2在立體幾何中畀直線和平面所成的角”是怎樣定義的？平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.范圍：0% 90 .空間兩個平面有平行、相交兩種位置關系.對于兩個平面平行, 我們已作了全面的研究，對于兩個平面相交，我們應從理論 上肴進一昜的認識.兩個相交平面的相對位置是由這兩個平面所成的“角”來確定的. 在異面直線所成的角、直線與

2、平面所成的角的學習過程中，我們 將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角，即平面角來刻畫接下來， 我們同樣來研究平面與平面的角度問題.在生產(chǎn)實踐中，有許多問題也涉及到兩個平面所成的角.如:修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的 軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度.L二面角的概念(1)半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做 半平面.(2)二面角的定義從一條直線岀發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.棱/L二面角的概念(3)二面角的畫法和記法：面1平臥式：二

3、面角a- lpB棱面2點1 棱點2二面角 C-AB-DA二面角的概念(4)二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，04丄丄Z ，則ZA0B成為二面角a 1 0的平面角它的大小與點O的選取無關.A二面角的平面角必須滿足:角的頂點在棱上O1角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的邊都要垂直于二面角的棱二面角的概念(4)注1: 鳥二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小為180。； 平面角是直角的二面角叫做直二面角，此時稱兩半平面所在的兩 個平面互相垂直.二面角的范圍為：0 , 180 【二面角的概念(5)二面角的平面角的

4、作法:定義法垂線法作棱的垂面法AB 丄 a.A/3,Ba 過A作40丄I 連接05則丄/補充個平面垂直于二面角的棱I, 且與兩半平面的交線分別是射線加、 OB, O為垂足,則乙AOB為二面角 a/0的平面角例正方體ABCDAiBiGDi中， 二面角B“A廣Ci的大小為45。, 二面角B-AA rD的大小為9T, 二面角C.-BD-C的正切值是一/!_EFGF練 如圖,在長方體ABCD-AiBd中，AB = 2, BC = BBX =1 E為DQi的中點，求二面角E-BD-C的大小.思路分析：找基面 平面BCD 作基面的垂線 過E作EF丄CD于F 作平面角 作FG丄BD于G,連結(jié)EG 解：過E作

5、EF丄CD于F,V ABCDAiBd是長方體， AEF丄平面BCD,且F為CD中點,過F作FG丄BD于G,連結(jié)EG,貝!|EG丄BD.（三垂線定理） 于是，ZEGF為二面角E-BD-C的平面角.VBC= 1, CD = 2, GF =-BC CD _ 1x2 _ 1BD 一 2a/5 一 a/5而EF = 1,在ZXEFG中 tan ZEGF =A例如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜線BC上的高AD折成直二面角.求證：BDVCD.ABAC = 6分析：由直二面角的定義可知，ZBDC 為直角，就是這個直二面角的平面角所 以BD丄CD.若設AD = aJlBD = CD = a,即可求得：AB = A

6、C = BC =,那么ABAC為等邊三角形，即有 ABAC =60例如圖,山坡傾斜度是60度,山坡上一條路CD和坡底 線AB成30度角沿這條路向上走100米,升高了多少？解:因為CDG是坡面，設DH是地平面的垂線 段,DH就是所求的高度.作HG丄AB,垂足為G, 那么DGAB, ZDGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角，所以ZDGH=6O. 又CD與AB所成角為ZDCG=3O.DH二DGsin 60=CD sin 30 sin 60= 100sin 30 sin 60=25、你 a 43.3(/?)答:沿這條路向上走100米,升高約43. 3米.考如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直?廠 廠

7、I.廠/I/1/I/I/1/1/1/1/1/1/ / / / / / Axxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXZAXXXXXXX

8、XXXXXXX xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx IXlxlxlxlxlxuxlxlxlxlxLXlxLXKlxuKulxueecKK平面與平面垂直的判定(1)定義法：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是 直二面角，就說這兩個平面互相垂直記作a丄0a0”(2)面面垂直的判定定理:若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂 軽2：a丄agu )3 n a丄0該定理作用：“線面垂直=面面垂直” 應用該定理，關鍵是找出兩個平面中的其中任一個的垂

9、線.練在正方體ABCDA1B1CJD1中，(1)求證：平面A&丄平面BD(2) E、F分別是AB、BC的中點， 求證：平面A&iFE丄平面BD(3) G是BB的中點，A求證：平面AiGG丄平面BJ)Ai直線ACi丄平面BD,則過直線AjCj的平面都垂直于平面BJ)總結(jié):例如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面 于A, C是圓O上不同于A、B的任意一點.求證：平面PAC丄平面PBC證明：由AB是圓O的直徑，可得AC丄BCPA丄平面ABCBC cz 平面ABC=PABCEC 1AC PAI AC = A=BC -L 平面PAC BCu平面珂C丿d平面PAC丄平面PBC例 過AABC所在平

10、面a外一點P,作P0丄a,垂足為O, 連接 PA,PB,PC.1) .若陽二 PE 二 PC,則 0是AABC的 _心.2) .若PAPC, PC 丄 PA,則O是AABC的 垂心. 練習：P79B組23) .若PA = PB = PC, ZC 二 90,則O是AB邊的_ 點過VABC所在平面a外的一點P,作PO丄垂足為O,連接PA, PB, PC.求證:i）若PA二PB二PC,則點O是AB的中點證明:連接OA, OB, OCQ PO丄面ABC.PO丄OA, PO丄OB, PO丄OCQPA=PB=PC, PO=PO=PORtVPOA = RtVPOB = RtVPOC .OA=OB=OC，即O

11、為VABC的外心.P特別地，當VABC為直角三角形，如ZABC=90,貝0O為斜邊AC的中點變式1在三棱錐PABC中，PA = PB = PC, ZABC=90,求證:面PAC丄面ABC.法一:過P作面ABC的垂線PO,垂足為O連接OA, OB, OCQ PO丄面ABCPO丄OA, PO丄OB，PO丄OCQ PA=PB=PC, PO=PO=PO RtVPOA = RtVPOB = RtVPOC OA=OB=OC,即O為VABC的夕卜心.QVABC為直角三角形，ZABC=90,貝憶為斜邊AC的中點. 由POu面PAC, PO丄面ABC,可得面PAC丄面ABC.變式1在三棱錐P-ABC中，PA =

12、 PB = PC, ZABC=90,求證:面PAC丄面ABC.法二:分別取AC, EC的中點E, F,連接PE, EF,QPA = PE,點E為AC的中點,PE丄AC.Q ZABC=90, BC 丄 ABQ在VABC中，E, F分別是邊AC, BC的中點AEF/AB,故有BC丄EF又QPB=PC, F為BC的中點,PF丄BC而QPFI EF二F,BC丄面PEE即有BC丄PE故由PE 丄 AC, PE 丄 BC, AC I BC=C,QPE 丄面ABCQPEcz 面 PAC,/. ffiPAC 丄面 ABC.變式2把等腰RtVABC沿著斜邊AC旋轉(zhuǎn)至IJVACP的位置，使得PB = AB.i）求

13、證面PAC丄面ABC ）求二面角B-PC-A的余弦值. 注意：RtVAPC = RtVABC證明：取AC的中點E,連接PE,往證PE丄ffiABC. QPA = PB,點E為 AC 的中點,PE 丄 AC.接下來往證PE丄BC,可轉(zhuǎn)化為異面直線所成角問題A .取AB的中點F,連接EF, PF,則EF/BC.往證PE丄EF即可.P（PE和EF相交，本題已知的邊角關系較多，可考慮勾股定理）設=在VABC中，EF = -BC = -2 2在等腰RtVAPC中，PE = -AC = 2 2在等腰VAPB 中,PF=VPA2-AF2 = Q PE2 +EF2 =PF2, /. PE 丄 EF 或者考慮二

14、面角定義法2變式2把等腰RtVABC沿著斜邊AC旋轉(zhuǎn)至IJVACP的位置，使得PB = AB. i）求證面PAC丄面ABC ）求二面角B-PC-A的余弦值.解1:取PC的中點G,連接EG, BG, BEQ EG為VCPA的中位線八EG/PA又QPA 丄 PC* EG 1 PC.QBP=BC, G為PC 的中點,/. BG 丄 PCZEGB為所求二面角B-PC-A的平面角.pE /A設BC = / 在RtVAPC 中，EG二丄些在RtVABC 中，EB=-AC= a,2 2 2R 在等邊VPBC中，BG=-a2在VGEB 中，EG2+EB2=GB2, /. ZBEG=90在RtVGEB中，cos

15、ZEGB=GB 3變式2把等腰RtVABC沿著斜邊AC旋轉(zhuǎn)至IJVACP的位置，使得PB = AB. i）求證面PAC丄面ABC ZZ）求二面角B-PC-A的余弦值.解2:由。知面PAC 丄面ABC, ffiPACl 面ABC=AC,故連接BE,則由BE丄AC,可得BE丄面PAC.（或由BA = BP = BC, ZAPC = 90,知BE 丄面PAC.）過E點在平面PAC內(nèi)作EG丄PC于點G,連接BG, 此時BG丄PC. ZEGB為所求二面角B-PC-A的平面角.FG在RtVGEB中，cosZEGB二一GBQ在VPAC內(nèi)，EG/PA, E為AC的中點，故點G為PC的中點，設 BC = a,E

16、G=-PA=-a2 2又在等邊VPBC中，GB=-ap,-.cosZEGB=GB 32一、直線與平面垂直定義：/丄a o唾直于平面Q內(nèi)的所有直線.判定定理：唾直于平面況內(nèi)的兩條相交直線丄G(3) 線線垂直的常用證明方法：a平面內(nèi)的兩直線b.空間內(nèi)的兩直線|1菱形，正方形等對角線互相垂直|1轉(zhuǎn)化為異面直線所成角問題 |2)等腰三角形底邊上的高|2線面垂直=線線垂直.勾股定理要證明/垂直J u內(nèi)的直線b,/往往反過來證明b垂直于過/的某個平面.(4) 兩條平行線垂直于同一個平面，垂直于同一一個面的兩直線平行二、平面與平面垂直(1) 定義：兩平面所成二面角為直二面角(2) 判定定理：平面0過平面a的

17、垂線丄a(3) 性質(zhì)定理：兩平面垂直，則平面&內(nèi)垂直于公共棱的直線是另一個平面贈垂線.1、角度問題名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線紙b是異面直線，經(jīng)過空間 任意一點O,作直線M、b并使 a7/a, b7/b,我們把直線和2所 成的銳角（或直角）叫做異面直 線a和b所成的角./b01 / a -直線與平面 所成的角平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的 射影所成的銳角，叫做這條直線和這 個平面所成的角，特別地，若L丄a則 L與（X所成的角是直角，若L/a或L dC則L與a所成的角是的角。l二面角及它的平面 角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組 成的圖形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一點為端點，在兩

18、個面內(nèi) 分別作垂直于棱的兩條射線，這兩 條射線所成的角叫做二面角的平面 角。1-數(shù)學思想:解決空間甬的問題涉及的數(shù)學思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即 把空間的甬轉(zhuǎn)化為平面的角，進而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后 通過解三甬形求得.2.方法:a求異面直線所成的角：平移構造可解三甬形找平行線方法：中位線，平行四邊形，線段成比例，線面平行的性質(zhì)定理等b.求直線與平面所成的角：找（或作）射影三藥勾造可解三角形 即找面的垂線，找出垂足C.求二面角的大小：找（或作）其平面角構造可解-角形定義法或者垂線法3.步驟:作（找）證點算練習：二面角a-1-p的平面角為。，PA丄疔A點, PB丄殲B點，PA=a, PB=ft,求點

19、P到棱z的距離. 練 如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2, PA=PB=AB, ZACB=90, PCAC.(1)求證：PC丄AB；求二面角BAPC的大小P練2 在長方體ABCD AiBiGDi 中，AB=2, BC=BB=1, E為DAAH練1如圖，M是正方體ABCDAiBiGD的棱AB的中點，求二 面角AiMCA的正切值.思路分析：找基面 平ffiABCD 找基面的垂線AAi 作平面角作AH丄CM交CM的延長線于H,連結(jié)AH解：作AH丄CM交CM的延長線于H,連 結(jié)AH. 上丄平面AC, AH是AH 在平面AC內(nèi)的射影，AiH丄CM,卜ZAjHA為二面角Aj-CM-A的平面角.設正

20、方體的棱長為1. VM是AB的中點，且AMCD,則在 直角ZkAMN中，AM = 0.5, AN=1, MN=.人口 AM AN 1AA 丘 2AH = tan / A HA = =冷5MN V51 AH如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S4BCD中，ZABC=90 ,SA 丄ffiABCD, SA=AB=BC=2f AD=1 求四棱錐S -ABCD的體積；求面SCD與面SB4所成的二面角的正切值.S提不：故先延 然后證因所求二面角無“棱”， 長34、CD以確定棱SE, 明ZBSC為平面角.DA.練已知二面角a / 卩，A為面a內(nèi)一點，A到（3的距離為2點 到2的距離為4.求二面角a-Z-p的大小

21、.解：過A作AO丄a于O,過O作OD丄2于D,連AD, 則AD丄人/. ZADO就是二面角a I 一卩的平面角.且40 = 2點4 = 4在RtAADO中，廠: sin ZADO= = AD 4:.ZADO=60Q 即二面角a 1 p的大小為60 練在二面角a力的一個平面a內(nèi)有一條直線AB,它與棱2所成 的角為45 ,與平面“所成的角為30 ,則這個二面角的大小是45?；?35已知I： a _La, qu0. 求證：a丄0證明：設an“=CD,貝!)BGCD.TAB丄“，CD 爲 A AB丄CD 在平面內(nèi)過B點作直線BE丄CD,貝！) ZABE就是二面角a-CD-/?的平面角，TAB丄0, BE 罕,AAB丄BE二面角處CD-0是直二面角，丄.1過平面久的一條垂線可作無數(shù)b平面與平面伉垂直.3過平面億的一條斜線，可作個平面與平面伉垂直.2 過一點可作無數(shù)個平面與已知平面垂直.4 過平面億的一條平行線可作二個平面與久垂直.練正方體ABCD - ABiCDi中f求證:平面4CC A丄平面練 如圖，4是ABCD所在平面外一點，AB = AD. ZABC = ZADC= 90, E是的中點求證：平面AEC丄平面變式1在三棱錐P-ABC中，PA = PB = PC, ZABC=90,求證:面PAC丄面ABC.P法二:取AC的中點E,連接PE,往證PE丄面AB