九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 認(rèn)識(shí)圓的軸對(duì)稱性試題 （新版）青島版

1、認(rèn)識(shí)圓的軸對(duì)稱性1. 垂徑定理的內(nèi)容垂徑定理：垂直于非直徑的弦的直徑，平分弦且平分弦所對(duì)的兩段弧。符號(hào)語(yǔ)言：如圖，圓O中，如果直徑CDAB于E，那么有結(jié)論：AEBE，。說(shuō)明：（1）垂徑定理是由圓是軸對(duì)稱圖形（直徑所在的直線是對(duì)稱軸）得來(lái)的。（2）定理中為什么不能遺忘“不是直徑”這個(gè)附加條件？因?yàn)槿羰侵睆?，由于兩條直徑總是互相平分的，因此不會(huì)有垂徑定理的其他結(jié)論。（3）概括成一句話：直徑平分弦（不是直徑）（4）一條直線過(guò)圓心；垂直于一條弦；平分這條弦；平分弦所對(duì)的劣?。黄椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧。這五個(gè)條件只需知道兩個(gè)，即可得出另三個(gè)（平分弦時(shí)，直徑除外）。2. 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理在中考中經(jīng)常和勾股定

2、理結(jié)合使用：如圖，如果直徑CD AB于E，當(dāng)我們連接圓心O和點(diǎn)A時(shí)，利用垂徑定理可以得到直角三角形OAE，進(jìn)而可以利用勾股定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。例如：直徑CD AB于E，弦AB2a，半徑為r，求OE、DE的長(zhǎng)。由AB2a，根據(jù)垂徑定理可以得到AEa，進(jìn)而，DErOEr利用垂徑定理和勾股定理解決圓中的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題例題1 （西青區(qū)二模）如圖，在半徑為5的O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且ABCD8，求OP的長(zhǎng)。 解析：作OMAB于M，ONCD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長(zhǎng)，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)即可求得OM的長(zhǎng)。解：作OMAB于

3、M，ONCD于N，連接OP，OB，OD，ABCD8，BMDN4，OMONABCD，DPB90，OMAB于M，ONCD于N，OMPONP90四邊形MONP是矩形，OMON，四邊形MONP是正方形，OP點(diǎn)撥：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵。例題2 （長(zhǎng)春）如圖，將一個(gè)兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過(guò)圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)D、E，量出半徑OC5cm，弦DE8cm，求直尺的寬。解析：這是一個(gè)關(guān)系到弦長(zhǎng)和半徑的問(wèn)題，因此我們考慮運(yùn)用垂徑定理來(lái)解決。解：過(guò)點(diǎn)O作OMDE于點(diǎn)M，連接OD。DMDE。DE8，DM4。在RtO

4、DM中，ODOC5，OM直尺的寬度為3cm。點(diǎn)撥：這是一個(gè)非常貼近學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題，由問(wèn)題背景我們可以發(fā)現(xiàn)，利用垂徑定理構(gòu)造出合適的直角三角形來(lái)解決此類問(wèn)題。應(yīng)用垂徑定理解決開放性的問(wèn)題例題 不過(guò)圓心的直線交O于C、D兩點(diǎn)，AB是O的直徑，AE于E，BF于F。（1）如圖，在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；（2）請(qǐng)你觀察（1）中所畫的圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論（不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過(guò)程）；（3）請(qǐng)你選擇（1）中的一個(gè)圖形，證明（2）所得出的結(jié)論。 解析：這是一道開放性試題，首先要根據(jù)直線與AB的不同位

5、置關(guān)系畫出不同的圖形（如下圖），直線與AB平行；直線與AB相交；直線與AB或BA的延長(zhǎng)線相交。其次根據(jù)圖形寫出一個(gè)兩條線段相等的正確結(jié)論。解：（1）如下圖所示。 圖1圖2圖3（2）ECFD或EDFC（3）以圖為例來(lái)證明。過(guò)O作OH于HAE，BF，AEOHBF又OAOB，EHHF，再由垂徑定理可得CHDH EHCHFHDH，即ECFD（答題時(shí)間：30分鐘）1. 下列命題中正確的是（ ）A. 平分弦的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；B. 弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦；C. 若兩段弧的度數(shù)相等，則它們是等?。籇. 弦的垂線平分弦所對(duì)的弧。2. 如圖，O中，直徑CD15cm，弦ABCD于

6、點(diǎn)M，OMMD32，則AB的長(zhǎng)是（ ）A. 7.5cm B. 15cm C. 12cm D. 12.5cm3. 已知O的半徑為10cm，弦ABCD，AB12cm，CD16cm，則AB和CD的距離是（ ）A. 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 2cm或12cm4. 若圓中一弦與弦高之和等于直徑，弦高為1，則圓的半徑為（ ）A. 1 B. C. 2 D. 5. 在半徑為5cm的O中，有一點(diǎn)P滿足OP3 cm，則過(guò)P的整數(shù)弦有_條。6. 等腰ABC中，ABAC，A120，BC10 cm，則ABC的外接圓半徑為_。7. 圓內(nèi)一弦與直徑相交成30的角，且分直徑為1 cm和5 cm兩段

7、，則此弦長(zhǎng)為_。8. 如圖，AB為O的直徑，AC為弦，ODAC于D，BD交OC于E，若AC4，AB5，則BE_。9. 如圖，已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，C、A、D三點(diǎn)在一條直線上，CD的延長(zhǎng)線交O1 O2的延長(zhǎng)線于P，P30，則CD_。10. 如圖，是一塊殘破的圓輪片，A、B、C是圓弧上的三點(diǎn)。（1）作出弧ACB所在的O（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如果ACBC60cm，ACB120，求該殘破圓輪片的半徑。11. 如圖，RtABC中，C90，AC3，BC4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，求AB、AD的長(zhǎng)。12. 如圖，O的半徑為10cm，G是直徑AB上一點(diǎn)，

8、弦CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，CD16cm，AECD于E，BFCD于F，求AEBF的值。 1. B 解析：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，故A錯(cuò)誤；能重合的弧才是等弧，必須是弧所對(duì)的圓心角和所在圓的半徑都相等的弧才能叫做等弧，故C錯(cuò)誤；只有弦的垂直平分線才能夠平分弧，故D錯(cuò)誤。 2. C 解析：連接AO，OMMD32且直徑CD15cm，易求得，根據(jù)已知條件易證AMO為Rt，cm，根據(jù)垂徑定理可知，AB長(zhǎng)為12cm。所以C選項(xiàng)正確。3. C 解析：本題在解題過(guò)程中一定要注意分類討論的思想，通過(guò)分析題意，本題有兩種可能性，AB、CD可能在圓心的同側(cè)也可能在異側(cè)，當(dāng)AB、CD在同側(cè)時(shí)，如圖

9、1所示，根據(jù)條件易求得，；當(dāng)AB、CD在圓心的異側(cè)時(shí)，。所以C選項(xiàng)正確。 4. D 解析：本題涉及一個(gè)概念弦高，所謂弦高是指弦的垂直平分線與劣弧的交點(diǎn)與垂足之間的線段長(zhǎng)。根據(jù)題意易知，如圖所示，設(shè)半徑為r，再由勾股定理，就可求得或（舍），。所以D選項(xiàng)正確。5. 4 解析：由題意分析可知過(guò)點(diǎn)P的弦最短為8，即過(guò)點(diǎn)P恰好與OP垂直的弦，最長(zhǎng)為10，即與OP重合的直徑，8與10中間還有一個(gè)整數(shù)9，再據(jù)圓的軸對(duì)稱性可知長(zhǎng)度為9的有兩條，過(guò)點(diǎn)P的整數(shù)弦有4條。6. cm 解析：如圖所示，依據(jù)垂徑定理以及勾股定理可求得，外接圓的半徑為cm。7. cm 解析：根據(jù)題意易求得，又，再在RtDOH中，據(jù)勾股定理

10、可求得，。所以此弦長(zhǎng)為。8. 解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，包括垂徑定理，相似，勾股定理等，連接BC，AB為O的直徑，AC為弦，ODAC于D，AC4，AB5，BC3，易證，又O是圓心，在RtBCD中，據(jù)勾股定理，易求得，。9. 6 解析：如圖所示，分別過(guò)兩個(gè)圓心作CP的垂線，所以要想求出CD的長(zhǎng)度，只需要求出MH即可知道CD的長(zhǎng)。又過(guò)作于點(diǎn)I，在Rt中根據(jù)勾股定理可求得，CD6。10. 解析：利用垂徑定理得出AC，BC的垂直平分線，交點(diǎn)即是圓心，到任意一點(diǎn)的距離即是半徑；利用垂徑定理以及等邊三角形的判定得出OBC是等邊三角形，即可得出答案。解：（1）如圖1所示：（2）如圖2，ACBC60cm，ACB120AOCBOC，又AOCO，COBO，AOCCOB，CBOACO60，BOCO，OBCBCO60，OBC是等邊三角形，半徑為60cm。11.